Física 1 - Notas de Aula cinemática

Sistema de Coordenadas\n\nPara localizar um corpo no espaço, precisamos de um sistema de coordenadas. Distância e ângulos são utilizados para fixar a posição de um ponto no espaço, em relação a um dado referencial.\n\nSistema de coordenadas cartesianas.\n\nSistema de coordenadas polares. Medida do Tempo\n\nQualquer fenômeno periódico, ou seja, que se repete sem alteração cada vez que transcorrre um intervalo de tempo determinado (período), pode em princípio ser associado com um relógio.\n\nO nascento e o pôr do sol tornam os mais antigos relógios. Atualmente o relógio atômico é a medida padrão do tempo, onde utiliza-se o padrão da frequência característica associada a uma radiação emitida por átomos de Césio 133. A definição de segundo atual; a duração de 9.192.631.770 períodos da radiação características do Césio 133 que é empregada no relógio atômico.\n\nMedida de Massa\n\nEm 1795 o grama foi definido como sendo igual à massa de um volume de água igual ao um cubo com aresta da centímetro. Atualmente a unidade de medida padrão de massa é o quilograma definido como sendo igual à massa do IPK (International Prototype Kilogram) que tem peso igual a um litro de água. Unidades de Medida\n\nMedidas de Comprimento\n\nO primeiro padrão preciso de medida de comprimento foi introduzido após a Revolução Francesa, para fins de navegação. O metro foi definido como 10^-7 da distância do Polo Norte ao equador, ao longo do meridiano de Paris. Após um século, para aumentar a precisão, introduziu-se o metro padrão, distância entre dois traços numa barra mantida de forma a minimizar efeitos da dilatação térmica, no Office Internacional de Pesos e Medidas de Paris. Em 1960, foi adotada uma definição muito mais satisfatória e precisa, em termos de um padrão associado a uma grandeza física fundamental e o comprimento de onda de uma radiação luminosa característica emitida por átomos de criptônio 86 (8^Kr), um gás raro existente nas atmosferas. \n\n∆m = 1.650.763,73λ\n\nEm 1983 decidiu-se adotar um novo esquema, mantendo o protótipo da unidade de tempo baseado no relógio atômico. O metro é então a distância percorrida pela luz num tempo t = 1/299.792.458 segundos. Movimento Unidimensional\nO estudo do movimento é um problema fundamental em física, e a forma mais simples de abordá-la é considerar primeiro os efeitos que intervêm na descrição do movimento (cinemática), sem considerar o problema de como determinar o movimento que se produz numa dada situação física (dinâmica).\n\nPara descrever o movimento, é necessário inicialmente um referencial que no caso unidimensional é uma reta orientada, em que se escolhe a origem O, e a posição da partícula em movimento no instante t é dada pela abscissa correspondente x(t).\n\nPodemos conferir por exemplo uma tabela abaixo:\n\nt(s) 0 1 2 3\nx(m) 0 0.8 3.4 1.5\n\nA ideia de movimento surge, analisando a tabela acima, onde podemos ver que para cada instante de tempo diferente o objeto ocupa diferentes posições. Então podemos imaginar que existe uma relação entre a posição ocupada X em função do tempo t. O movimento mais simples é o movimento uniforme, em que a relação entre posição ocupada pelo corpo e o tempo é linear.\n\nX(t) = a + bt\n\nEste tipo de movimento caracteriza-se pelo fato de que deslocamentos iguais \\Delta x = x_4 - x_3 = x_2 - x_1 são feitos em tempos iguais \\Delta t = t_1 - t_2 = t_4.\n\nA quantidade que mede o movimento do corpo é a velocidade, que é definida por\n\nv = \\frac{\\Delta X}{\\Delta t}, v é constante\n\nA inclinação do gráfico mede a velocidade; logo a legislação do movimento uniforme é dada por\n\nX(t) = X_0 + v(t - t_0) Uma viagem de carro de uma cidade a outra tira alguns parâmetros, portanto o automóvel irá desempenhar uma única velocidade desde a origem até o destino da viagem. No entanto é comum atribuirmos uma velocidade ao carro, sendo esta velocidade, a velocidade média para que o carro complete a viagem no mesmo tempo considerado em paradas. A esta velocidade chamamos de velocidade média.\n\nVelocidade Instantânea\nAgora quando, através de algum instrumento, conseguimos medir a velocidade de um corpo em instantes de tempos muito curtos, aumentamos a precisão sobre o movimento do corpo. A velocidade instantânea é dada pela como\nv(t) = lim ΔX\nΔt→0 = dx\ndt\nA derivada da posição em relação ao tempo.\nAceleração\nSe um carro se movimentando tem sua velocidade mudada em cada instante de tempo, tal como mostra uma tabela\nt(s) 0 1 2 3 4 5\nv(m/s) 0 3 10 18 29 40\nEntão houve variação na velocidade. Assim como a velocidade mede a taxa de variação da posição do corpo no\ntempo, a aceleração mede a taxa de variação da velocidade do objeto em função do tempo. O caso mais simples é quando a aceleração é constante,\nque é mais utilizado como movimento uniformemente variado.\nv\nÁrea da trapézio\nA Δt = (t-t0) a.(t-t0)\nLogo\nx(t) = x0 + v0(t-t0) + 1/2 a(t-t0)²\nv(t) = v0 + a(t-t0) Podemos ainda eliminar o tempo na equação v²(x)\nsem favor de x(t), com dois termos sem ter aplicado\nvalorizando x0 e t. Que fica\nv² = v0² + 2a(x-x0)\netx: Um motorista freia seu carro instantaneamente tal\nque a velocidade cai de 60km/h para 5m/s.\nQue distância o carro ainda percorre após estar\nparar? E quanto tempo haverá para percorrer esta\ndistância adicional? Neste capítulo vamos nos prender ao estudo do movimento dos corpos em um plano (bidimensional). Alguns exemplos interessantes como o lançamento de projetéis, ou ainda, o movimento circular de um corpo, são interessantes e importantes de serem estudados no curso de mecânica básica.\n\nConforme havíamos mencionado anteriormente, podemos especificar a posição de um ponto num plano através de 2 parâmetros, que são suas coordenadas em relação a um dado referencial. Se adotarmos coordenadas cartesianas, por exemplo, a posição de uma partícula em movimento no plano será descrita pelo par de funções\n\n(x(t), y(t))\n\nonde x(t) é a abscissa e y(t) é a ordenada da partícula no instante t.\n\nPodemos dizer que à medida que o ponto P se move, descrevendo a trajetória da partícula no plano, suas projeções sobre o eixo Ox e Oy se movem correspondentemente, descrevendo movimentos unidimensionais. Podemos assim a descrição do movimento bidimensional à de dois movimentos unidimensionais simultâneos cuja composição leva ao movimento no plano.\n\nEm muitos casos os movimentos ao longo de dois eixos ortogonais são independentes um do outro. O caso do movimento de projetéis (estudados por Galileu) é um exemplo.\n\nA posição de uma partícula no plano (x(t),y(t)) pode ainda ser descrita por uma unidade muito importante, o vetor.\n\nA velocidade de uma partícula é uma quantidade vetorial, assim como sua aceleração. Para ser uma quantidade vetorial, para ter sentido completo precisamos especificar seu módulo, direção e sentido.\n\nComo no movimento unidimensional, a coordenada x(t) aprecia a posição do corpo, e sua taxa de variação é igual a sua velocidade.\n\n\ndx(t)\ndt\n\nNo caso bidimensional, a velocidade é a taxa de variação do vetor posição do objeto. dy \n\nΔr → = r → (t+Δt) - r → (t)\n\nEntão\n\nv → t→Δt = Δr →\nΔt\n\nQuando Δt → 0, temos\n\nlim\nΔt→0\nd r →(t+Δt) - r →(t) \nΔt = (x(t+Δt)-x(t),y(t+Δt)-y(t))\nΔt\n\nlogo\n\nv_x(t) = x(t+Δt)-x(t)\nΔt ;    v_y(t) = y(t+Δt)-y(t)\nΔt\n\ncom o vetor velocidade dado por\n\nv →(t) = (v_x(t), v_y(t)) (velocidade instantânea) Quando o objeto é lançado da origem, então x0 = y0 = 0.\n\nLogo x = voseno t\ny = voseno t - 1/2gt²\n\ny = tgθx - 2x²/(2voseno²cos²θ)\nequação da trajetória.\n\nAltura máxima\nNa altura máxima, o objeto não se move verticalmente, o que corresponde a vY = 0. Podemos muitu-condição, obter tempo em que isso ocorre.\n\nQuando t = tM, vY(tM) = voseno - gtM = 0\nLogo tM = voseno/g\n\nO valor da altura máxima (YM) é obtido substituindo tM em y(t).\n\ny(tM) = voseno.voseno/g - 1/2g(voseno/g)²\n\nYM = (voseno²senθ)/g - (voseno²senθ)/2g\n\nYM = voseno²senθ/(2g). Quanto tempo leva para o projétil atingir o solo? Quando o projétil atinge o solo (X = A), temos que y(tA) = 0. Podemos encontrar tA fazendo y(t) = 0.\n\nQuando t = tA => y(tA) = 0\ny(tA) = voseno(tA) - 1/2gtA² = 0\n\nvoseno = gtA\ntA = 2voseno/g\n\nX(tA) = voseno 2sinθ/g = 2voseno²cosθ/g\n\nA = v0²sen(2θ)/g\n\nQual a velocidade com que o objeto toca o solo? Basta substituir t = tA em vY(tA).\n\nvY(tA) = voseno - gtA\ny(tA) = voseno(tA)\nvX(tA) = voseno cosθ\n\nLogo ao atingir o solo, a velocidade do projétil se define da velocidade inicial pela maneu de sua componente Y. (vY(tA) - vY(t0)) Movimento Circular Uniforme\n\nUm tipo de movimento plano de grande importância na física é o movimento circular uniforme, em que a trajetória é um círculo e o módulo da velocidade instantânea é constante de modo que a partícula descreve arcos de círculo iguais em tempo iguais.\n\ns = rθ\n\nEm termos das coordenadas polares (r, θ), a vetor velocidade pode ser escrito como\n\nv = rω\n\nonde ω = dθ/dt.\n\neu r = (x(t), y(t)) = (r cosθ, r senθ) como r é constante vimos que na verdade θ é função do tempo e v é a medida da posição angular da partícula, em análise ao X no caso do movimento circular.\n\nO módulo do vetor velocidade pode ser escrito como\nθ = ds/dt = d(rθ)/dt = r dθ/dt = rω é o período e o tempo necessário para a partilha dar uma volta completa. Como θ anda o deslocamento em ângulo, os HC têm:\n\nθ = ωt\n\nQuando t = T (período), θ = 2π, logo\n\n2π = ωT ou T = 2π/ω\n\nA fórmula f (ciclos) é dada como o inverso de períodos.\n\nf = 1/T = |ω|/2π\n\nA lei horária do MAU é dada por\n\nθ = θ0 + ωt\n\nComo \\vec{a} = \\vec{v} * θ = ωrθ, sua derivada é a aceleração.\n\na^2 = dθ/dt = d/dt (ωrθ) = -ω²r\n\\vec{a} = -ω²r\\vec{r} Velocidade Relativa\n\nConsideremos duas partículas em movimento em relação à origem de um sistema de coordenadas (referencial), que num dado instante ocupam as posições P1 e P2, correspondendo aos deslocamentos \\vec{r}_1(t) e \\vec{r}_2(t) em relação a O. O devemos relativo \\vec{v}_{12}(t) de P2 em relação a P1, no instante t,\n\n\\vec{v}_{12}(t) = \\vec{v}_2 - \\vec{v}_1\n\nDerivando ambos os números em relação ao tempo, obtemos\n\nd\\vec{v}_{12}(t)/dt = d\\vec{v}_2(t)/dt - d\\vec{v}_1(t)/dt\n\nOu seja, a velocidade relativa \\vec{v}_{12} é dada por \\vec{v}_{12}(t), e a diferença entre as velocidades dos 2 em relação à origem. Podemos interpretar \\vec{v}_{12} como a velocidade da partícula 2 num referencial com origem na partícula 1. Assim, no exemplo dado por Galileo onde uma bola de canhão cai do alto sob mestre d um navio em movimento horizontal, as componentes horizontais das velocidades do corpo e do navio são iguais e se anulam, de forma que a velocidade do corpo relativa no navio continua sendo vertical (ele cai no pé do mastro). Se estivermos no interior de um veículo em movimento horizontal (um nível do solo) com velocidade \\vec{v}_s e se gotar de chuva estiveiro caindo verticalmente (em relação ao solo) com velocidade \\vec{v}_c, vemos as gotas de chuva aparecerem sobre uma jaula do veículo segundo um ângulo θ com a horizontal, correspondendo à direção \\vec{v}_{30}, ou seja, tge = \\vec{v}_c/\\vec{v}_s.