Exercícios - Resistência dos Materiais - 2023-2

Questão 1. Desenhe os diagramas de esforço cortante e de momento fletor para a viga abaixo. Questão 2. O eixo de cobre está sujeito às cargas axiais mostradas. Determine o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D se os diâmetros de cada segmento são dAB=15 mm, dBC=20 mm, dCD = 8 mm. Considere o módulo de elasticidade do cobre (Ecob= 126 GPa). Questão 3. Questão 3. Traçar o diagrama Tensão x Deformação Convencional (σ x ε), sabendo que: Comprimento inicial, l₀ = 125 mm; Diâmetro inicial, D₀= 6,60 mm; Diâmetro final, medido após a ruptura, Df = 4,72 mm. Calcular o Módulo de Elasticidade E. Identificar no diagrama, com seus valores numéricos, os seguintes parâmetros: Tensão Limite de Proporcionalidade σₚ; Tensão Limite de Escoamento, σₑ; Tensão Limite de Resistência, σᵣ; e Tensão Limite de Ruptura, σₜ. Usando as relações matemáticas entre tensão real e convencional, trace o Diagrama Tensão x Deformação Real (σᵣ x εᵣ), e determine os parâmetros da equação de Hollomon (coeficiente de resistência, k, e o expoente de encruamento, n). Questão 4. Calcule as anisotropias normal, Rₘ, e planar, ΔR, de um material com as seguintes deformações. Direção de Extração do CP εₛ εₜ Direção paralela (0°) -0,004 -0,002 Direção transversal (90°) -0,0022 -0,0022 Direção oblíqua (45°) -0,003 -0,0015 Questão7. Em cada caso, determine a maior tensão de cisalhamento interna suportada pelo parafuso com diâmetro d=8mm. Inclua todos os diagramas de corpo livre necessários. Questão 8. Um eixo de 60 mm de diâmetro é feito de alumínio 6061-T6. Se a tensão de cisalhamento admissível tadm= 80 MPa, e o ângulo de torção do disco A em relação ao disco C for limitado para que não exceda 0,06 rad, determine o torque máximo admissível T. 30 kN/m 45 kN.m 4,5 m 4,5 m 4,5 m + ∑Fy=0 VA + VB = 45 + ∑MB=0 -3VA + 30x1,5x3,75 - 45 = 0 -3VA + 123,75 = 0 VA = 41,25 kN VB = 45 - 41,25 = 3,75 kN 0 <= x <= 1,5 1,5 <= x <= 3,0 M = -30x^2 / 2 V = -30x M = -45(x-0,75) + 41,25(x-1,5) V = -45 + 41,25 3,0 ≤ x ≤ 4,5 M = -45(x-0,75) + 41,25(x-1,5) + 45 V = -45 + 41,25 = -3,75 kN DEC -45 -3,75 DMF 5,63 -33,75 -39,37 2A 2,0 m 3,75 m 2,5 m A 29,5 kN B C 9 kN 27 kN PAB = 15 mm cBc = 20 mm cCp = 8 mm 36 kN 22,5 kN 9 kN 36 kN 36 kN 9 kN PAD = 36 kN PBC = 9 kN d = 40 mm A = πd^2/4 = π(0,040)^2/4 ρ = 340 kN A = 1,257 x 10^-3 m^2 T = 340 x 10^3 / 1,257 x 10^-3 = 270,49 MPa Grafico: G = τ/γ = 350 x 10^6 / 0,005 = 70 GPa Calculo: γ = 270,49 x 10^6 / 70,10^9 = 0,003864 rad 8. A 1,20m B 0,60m C d = 60 mm Tadm = 80 MPa Θ = 0,06 rad T(Nm) A 2T/3 Θ Mg.T L2(m) P2 = 27 kN → 27 kN AAB = πDAB/4 = π(0,015)/4 = 1,761 x 10^-4 m^2 AAC = πDac/4 = π(0,010^2)/4 = 3,141 x 10^-4 m^2 ACC = πD^2c/4 = π(0,010^0)/4 = 5,026 x 10^-5 m^2 δAB = PALn / E(AAB) = -36 x 10^3 x 2 / (126 x 10^9 x 1,761 x 10^-4) = -3,2339 mm δAC = (PA + 2Pb)(Lc) / E(Aac) = (-36 + 2x2,25)(3,75)x10^3 / (126 x 40^3 x 3,141 x 10^-4) = 0,8528 mm δcC = (PA + 2Pb + 2Pc)(Lc) / E(Acc) = (-36 + 2x2,25 + 2x9,25)2,25 / (126x40^3 x 5,026x10^-5) = 0,0106 mm ΣA12 = -3,2339 + 0,8528 + 0,0106 = -2,3705 mm 300 N ← 200 mm → L = 200 mm E = 2,7 GPa d = 20 mm ν = 0,3 A = πd^2/4 = π(0,020)^2/4 = 3,142 x 10^-4 m^2 σ = P / A = 300 / 3,142x10^-4 = 47,955 Mpa Elong = σ / E = 0,955 x 10^6 / 2,7 x 10^9 = 0,0003537 mm/mm δ = Elong x L = 0,07074 mm Elect = -ν x δlong Elect = -0,3 x 0,0003537 / 4 = -1,0611x10^-24 Wm/Wm Δd = Elect x d = -4,0611x10^-24 x 20 Δd = -0,0021222 mm ε = Lf - L0/L0 q06 = \frac{TL}{JG} \hspace{1cm} G = 26\ GPa \\ q·06 = \frac{( 2\ T/3 ) \hspace{0.3cm} 1,2 }{\frac{\pi (0,060)^4}{32}\cdot 26\times10^9} - \frac{(-4\ T) \hspace{0.3cm} 1\lambda 2}{\frac{\pi (0,060)^4}{32}\cdot 26\times10^9} 0,06 = \frac{25,6\ T - 12,8\ T}{\pi (0,060)^2 \cdot 26\times10^9} \\ T = 4,96\ kN 4.) \\ \begin{array}{c|c|c} &E_w & E_t \\ \hline 0^o &-0,0004 & -0,002 &\\ 90^o & -0,0002 & -0,0022 &\\ 45^o & -0,0003 & -0,0015 \\ \end{array} \\ I. r = \frac{E_w}{E_t} \\ II Anisotropic\ \Delta\epsilon\ \Delta\ep = \frac{r_0 - 2\gamma_{45} + r_{90}}{2} \\ III Anisotropic\ Normal \ Index\ (RM) \\ rm = \frac{r_0 + 2\gamma_{45} + r_{90}}{4} \\ I. \hspace{0.2cm} r = \frac{E_w/E_t} \rightarrow \ r_0 = \frac{-0,0004}{-0,002} = 2\ ; \ \gamma_{45} = \frac{-0,0003}{-0,0015} = 2 \\ r_{90} = \frac{-0,0022}{-0,0022} = 1 \\ II \\ \Delta\ep = \frac{0,0004 - 2\left(-0,0003\right) + \left(-0,0022\right)}{-0,0002} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad - \frac{1 - 0,0015\cdot 2}{2}\ \\ \Delta r = -0.15 \\ III \hspace{0.8cm} RM = \frac{2 + 4 \cdot 1 - \frac{7}{4}}{4} = 1.75 3. \\ Tensão\times\ Deformação\ Convencional \\ \begin{array}{l l} Ponto & \sigma (MPa) & \epsilon (mm/mm) \\ 1 & & 0 \\ 2 & 19,13 & 0,000080 \\ 3 & 60,02 & 0,000300 \\ 4 & 102,79 & 0,000410 \\ 5 & 137,45 & 0,000540 \\ 6 & 167,28 & 0,000640 \\ 7 & 223,04 & 0,000840 \\ 8 & 226,35 & 0,001140 \\ 9 & 226,12 & 0,001280 \\ 10 & 303,56 & 0,001660 \\ 11 & 307,56 & 0,002030 \\ 12 & 309,56 & 0,002300 \\ 13 & 299,46 & 0,002380 \\ 14 & 315,84 & 0,002380 \\ 15 & 324,78 & 0,003840 \\ 16 & 238,08 & 0,004720 \\ 17 & 354,10 & 0,006000 \\ 18 & 366,72 & 0,008800 \\ 19 & 374,91 & 0,010050 \\ 20 & 372,59 & 0,012080 \\ 21 & 383,10 & 0,017780 \\ 22 & 381,93 & 0,021000 \\ 23 & 371,25 & 0,022080 \\ 24 & 397,19 & 0,024640 \\ 25 & 228,44 & 0,025640 \\ 26 & 283,67 & 0,024980 \\ 27 & 289,05 & 0,024960 \\ 28 & 246,92 & 0,025120 \\ 29 & 252,43 & & -0,053000 \\ 30 & 209,97 & & -0,053060 \\ \end{array} \\ \sigma = \frac{P}{A} \hspace{1cm} \epsilon = \frac{\Delta L}{L} \hspace{1cm} A = 34,496\ mm^2 \hspace{0.6cm} d = 6,6\ mm \hspace{0.6cm} L = 125\ mm Tensão x Deformação Convencional ---> limita por retsistirncia tensão ruptiva Endurcei Men to por deformação estligcecao 373,10 riqueso elastinca Escroanmento 315,84 σlp = 266,12 MPa Limito de elasticidade = 303,56 MPa escoamento (o = 315,84 MPa Limite da resiststancia = 383,10 MPa Tensão da ruptivea = 204,97 MPa F = σlp = 266,12 = 207,31 GPa elp 0,001280 Tensão Verdadeira (Real) Vr = Vi Aelo = Ai Li Ai = A Eo Li = eope no imstante Lo Ao = Ava Inicial dli = disumento ins e tumto do = elemento inicial σR = Fl Li / Aslo Ao = ¶do² σR = 4FlLi = (σR = σ (1 + ε) 4 πdo²Lo σR = 4 Fl Li πdol o => Funciona eté o o rompesconmento estclgeção εR = In ( Li ) = In(1 + ε) Lo σR = 4E πdo² -- > apos o rompescomnto di = 4,72 mm σR = 4 x 7180 = 410,35 MPa π (0,00472)² Tensão Verdadeira Ponto σ (MPa) Ev (lver/m) 1 0 0,00028 2 48,13 0,0003189 3 69,04 0,0003999 4 108,83 0,0005598 5 131,52 0,0006328 6 162,38 0,0007997 7 192,47 0,0010395 8 224,59 0,0013792 9 266,46 0,0015987 10 304,04 0,0019803 11 304,14 0,0021583 12 304,26 0,0023413 13 300,30 0,0027961 14 316,88 0,0032746 15 327,03 0,0038326 16 329,64 0,0047089 17 354,21 0,0055981 18 362,66 0,0079862 19 378,69 0,0100295 20 384,48 0,0140076 21 389,90 0,0176041 30 410,35 0,10250438 Grafico \sigmaD x \varepsilonD \sigma real Tensao de ruptura real (410,35MPa) \varepsilon real \sigmaR = K\varepsilonRn log \sigmaD = log K + n / log \varepsilonD Y = B + Ax log 410,35 = 2,61 log 18,13 = 1,26 log \sigmaD 0,256438 = -1,60 log \varepsilonD 0,00008 = -4,10 y pelo gráfico K = 4 n = \frac{4 - 0}{0 + 4,8} = \theta,83 escala: 1/100 7) Letra a) \leftarrow 5kN \rightarrow 6kN \rightarrow 2kN \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ \end{array}\right) V1 = -5kN V2 = 6kN V3 = 2kN \tau = - \frac{5000}{\pi (0,008)^{2}/4} + \frac{6000}{\pi (0,008)^{2}/4} + \frac{2000}{\pi (0,008)^{2}/4} \tau_{\text{max}} = \frac{30000}{\pi (0,010)^{2}/4}/2 = 22,84 MPa Letra b) 6kN \rightarrow 10kN \rightarrow 4kN \rightarrow 8kN \rightarrow 20kN 1 2 3 4 \tau' = \frac{6000}{\pi (0,008)^{2}/4} + \frac{10000}{\pi (0,008)^{2}/4} - \frac{4000}{\pi (0,008)^{2}/4} + \frac{20000}{\pi (0,008)^{2}/4} = \frac{32000}{\pi (0,008)^{2}/4} = 636,62 MPa \tau'_{\text{max}} = \frac{636,62}{4} = 159,16 MPa