Questao 13 Exercício Livro Resolvida-2023-1

176 Analise numerica 6. Os dados do Exercicio 4 foram gerados usando as seguintes funcoes. Use os splines cubicos construidos no Exercicio 4 para o valor dado de x para obter uma aproximacao de f(x) e f '(x) e calcule o erro absoluto. a. f (x) = e^(−x); aproxime f (0.4) e f '(0.43). b. f (x) = x⁴ − x⁵ + x + 1; aproxime f(0) e f '(0). c. f (x) = cos( x² − 3x); aproxime f(0.18) e f '(0.18). d. f (x) = ln(2 + 2x), aproxime f(0.25) e f '(0.25). 7. Construa o spline cubico fixado usando os dados do Exercicio 3 e o fato de que a. f '(3) = 1,116256 e f '(8) = 1,151762. b. f '(0.8) = 1,6917758 e f '(1.0) = 0,2466965. c. f '(0.5) = -0,7510000 e f '(0.7) = 0,2000000. d. f (7.0) = 3,5852082 e f '(0.4) = 2,1625366. 8. Construa o spline cubico fixado usando os dados do Exercicio 3 e o fato de que a. f '(0) = 2e^ x/5 − 3,54366. b. f '(0.25) = 0,4375007 e f '(0) = −0,6250000. c. f '(0.7) = −2,000496 e f '(0) = −2,9734308. d. f '(1.1) = 0,15536440 e f '(0.5) = 0,45186276. 9. Repita o Exercicio 5 usando os splines cubicos fixados construidos no Exercicio 7. 10. Repita o Exercicio 6 usando os splines cubicos fixados construidos no Exercicio 8. 11. Um spline cubico natural S em [0, 2] é definido por S(x) = { 1 + 4x² − 3x³, se 1 ≤ x < 2, 1 + 8x² − 7x³, se 2 ≤ x ≤ 3 Encontre B, C e D. 12. Um spline cubico natural S é definido por S(x) = { 1 + B(x − 1) − D(x − 1)³, se 1 ≤ x < 2, 1 + 8(x − 2)² + D(x − 2)³, se 2 ≤ x ≤ 3. Se T interpolar os dados (1, 1), (2, 1), (3, 0), encontre A, B, c e D. 13. Um spline cubico fixado S para uma funcao f está definido em [1, 3] por S(x) = { 1 + 6x³ − 1 + 2x − 1)², se 1 ≤ x < 2, 3 + 8(x − 2)² − 4(x − 2)³, se 2 ≤ x ≤ 3. Dado que f '(1) = f '(3) = f '(3), encontra A, B, c e D. 14. Um spline cubico fixado S para uma função f é definido por S(x) = { 1 + Bx² − 2x², se 1 ≤ x < 2, 1 + 4x − 1)³, se 2 ≤ x ≤ 3. Encontre f '(0) e f '(2). 15. Dada a partição x₀ = 0, x₁ = 0,05 e x₂ = 0,1 de [0, 0.1], encontre a função E interpolada linear por partes para f(x) = e^ x . Obtenha uma aproximacao de x e de f com E(0) e a^(3)(0) e compare os resultados ao valo real. 16. Dada a partição x₀ = 0, x₁ = 0,2 e x₂ = 0,3, x₃ = 0,5 de [0, 0.5], encontre a função interpolada linear por partes F para f (x) = sin x. Aproxime 5cm e o erro para F(0) e compare o resultado ao valor real. 17. Construa um spline cubico livre para obter uma aproximação de f(x) = cosx usando os valores dados em x = 0, 0.25, 0.5, 0.75 e 1.0. (a) Integre o spline sobre [0, 1]. (b) Compare o resultado com ∫ cos zx dx =:-! (c) Use as derivadas do spline para obter uma aproximação de f'(0.5) e compare essas approximacoes com os valores reais. Para encontrar os valores de a, b, c e d, precisamos impor algumas condições adicionais. Aqui, vamos usar as seguintes condições: 𝑓(1) = (𝑠0)(1) 𝑓(3) = (𝑠1)(3) 𝑓′(1) = (𝑠0)′(1) 𝑓′(3) = (𝑠1)′(3) 𝑓′′(1) = (𝑠0)′′(1) 𝑓′′(3) = (𝑠1)′′(3) A primeira condição nos dá: 𝑓(1) = (𝑠0)(1) = 3(1 − 1) + 2(1 − 1)2 − (1 − 1)3 = 0 A segunda condição nos dá: 𝑓(3) = (𝑠1 )(3) = 𝑎 + 𝑏(3 − 2) + 𝑐(3 − 2)2 + 𝑑(3 − 2)3 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 A terceira condição nos dá: 𝑓′(1) = (𝑠0)′(1) = 3 + 4(1 − 1) − 3(1 − 1)2 = 3 A quarta condição nos dá: 𝑓′(3) = (𝑠1)′(3) = 𝑏 + 2𝑐(3 − 2) + 3𝑑(3 − 2)2 = 𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 A quinta condição nos dá: 𝑓′′(1) = (𝑠0)′′(1) = 4 − 6(1 − 1) = 4 A sexta condição nos dá: 𝑓′′(3) = (𝑠1)′′(3) = 2𝑐 + 6𝑑(3 − 2) = 2𝑐 + 6𝑑 Agora, precisamos encontrar os valores de a, b, c e d que satisfazem essas condições. Vamos começar encontrando b em termos de c e d, usando as condições 4 e 6: 𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 = 𝑓′(3) = 𝑓′(1) = 3 2𝑐 + 6𝑑 = 𝑓′′(3) = 𝑓′′(1) = 4 Resolvendo esse sistema de equações, obtemos: 𝑐 = 1 3 𝑑 = 1 6 𝑏 = 3 − 2𝑐 − 3𝑑 = 5 3 Agora, podemos encontrar o valor de a usando a condição 2: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 𝑓(3) Substituindo os valores de b, c e d, obtemos: 𝑎 + 5 3 + 1 3 + 1 6 = 𝑓(3) 𝑎 = 𝑓(3) − 7 6 Portanto, os valores de a, b, c e d que satisfazem as condições dadas são: 𝑎 = 𝑓(3) − 7 6 𝑏 = 5 3 𝑐 = 1 3 𝑑 = 1 6 A expressão para 𝑎 depende da função 𝑓(3). Isso acontece porque a condição que impomos é a igualdade entre a função 𝑓 e o spline cúbico S no ponto x = 3. Como o valor de 𝑓(3) não é dado, precisamos expressar a em termos de 𝑓(3). Podemos pensar nisso de outra maneira: a escolha do valor de 𝑎 é arbitrária, já que a função 𝑓 não é conhecida. A única coisa que sabemos é que 𝑓(3) é igual ao valor do spline cúbico S no ponto x = 3. Portanto, podemos escolher qualquer valor para a e, em seguida, ajustar 𝑓(3) para garantir que a igualdade seja satisfeita. A escolha natural é definir 𝑎 = 𝑆(3) − 7 6, que garante que a igualdade seja satisfeita para 𝑓(3) = 𝑆(3). De qualquer forma, a escolha de 𝑎 não afeta os valores de b, c e d que encontramos, já que eles são determinados pelas condições 4, 5 e 6, que não dependem de 𝑎. Para encontrarmos 𝑓′(0) 𝑒 𝑓′(2), precisamos primeiro encontrar o spline cúbico S para a função f. O spline cúbico S é composto por diferentes polinômios cúbicos em cada intervalo [𝑥𝑖, 𝑥𝑖 + 1], onde 𝑥𝑖 são os pontos de interpolação. No nosso caso, temos apenas dois intervalos: [0, 2] e [1, 2]. Então, para encontrarmos o spline cúbico, precisamos encontrar os coeficientes B, b e as condições de continuidade e suavidade nos pontos x = 1 e x = 2. Para a continuidade, temos que 𝑆(1) = 𝑓(1) e que 𝑆′(1) = 𝑓′(1). Usando essas condições, obtemos: 1 + 𝑏(1 − 1) − 4(1 − 1)2 + 7(1 − 1)3 = 𝑓(1) 𝑏 − 8(1 − 1)1 + 21(1 − 1)2 = 𝑓′(1) Simplificando, temos: 1 = 𝑓(1) 𝑏 = 𝑓′(1) Para a suavidade, temos que 𝑆′′(1) = 𝑆′′(2). Usando o polinômio cúbico dos intervalos [1,2] e [0,2] podemos calcular a segunda derivada em x = 1 e em x = 2. (𝑠1)′′(𝑥) = −8 + 42(𝑥 − 1) (𝑠0)′′(𝑥) = 4 − 12(3𝑥2 − 2𝑥) Substituindo x = 1 e x = 2, obtemos: (𝑠1)′′(1) = −8 (𝑠0)′′(2) = −92 Assim, temos: −8 + 42(𝑥 − 1) = 4 − 12(3𝑥2 − 2𝑥) Resolvendo essas equações, temos: 𝑥 = 1 𝑜𝑢 𝑥 = 2 3 Como a suavidade deve ser mantida em todos os pontos, precisamos escolher 𝑥 = 1 como o ponto de suavidade. Assim, temos o seguinte spline cúbico: S(x) = { 1 − 5x + 2x2 + 2x3, se 0 ≤ x < 1 1 + f ′(1)(x − 1) − 4(x − 1)2 + 7(x − 1)3, se 1 ≤ x < 2 Agora podemos encontrar 𝑓′(0) 𝑒 𝑓′(2) derivando o spline cúbico em seus respectivos pontos: 𝑓′(0) = 𝑆′(0) = −5 𝑓′(2) = 𝑆′(2) = 𝑓′(1) − 8 = 𝑏 − 8 Mas como já sabemos que 𝑓′(1) = 𝑏, podemos escrever: 𝑓′(2) = 𝑓′(1) − 8 = 𝑓′(0) − 8 = −13 Portanto, 𝑓′(0) = −5 𝑒 𝑓′(2) = − 13.