Lista 1 - 2023-2

Lista 1 Calculo Numérico Prof. Victor Mielly Oliveira Batista 1) Dadas as equacg6es: a) 2 +3r—-1=0 b) 2? — sen(x) = 0, pesquisar a existéncia de raizes reais. 2) Resolva a equacao f(x) = (x — 1)(x — 2000) = 0 com € = 10~* usando os critérios de erro relativo e erro absoluto. 3) Justifique: f(a) = 4x — e” possui uma raiz no intervalo (0,1) e outra no intervalo (2,3). 4) Seja f(x) = 2x? — 54 + 2 = 0, cujas rafzes sao 71 = 0.5 e rg = 2.0. Considere os processos iterativos: 2x7 + 2 a) Cri = —— b) k+l = \/ 32k — 1. Qual dos dois vocé escolheria para obter x1? Justifique. 5) Determine uma raiz das seguintes equacgdes, usando o método de Newton com erro inferior a 10~?: a) 2x — tan(x) = 0 b) sen(ax) = e” c) a*-8=0. 6) Determine uma raiz de cada uma das equagoes, pelo método da secante: a) log(x) — sen(x) = 0 1 b) ex = 1 log(x). 7) Determine uma raiz de cada uma das equa¸c˜oes usando o m´etodo da falsa posi¸c˜ao: a) sen(x) = xex b) cos(x) − ex = 0. 8) Resolva o sistema      6 2 −1 2 4 1 3 2 8           x1 x2 x3      =      7 7 13      usando o m´etodo de elimina¸c˜ao de Gauss. 9) Aplicando o m´etodo de decomposi¸c˜ao LU `a matriz A =         · · · · · · 3 · · · 4 −1 10 8 · · · −3 12 11 0 −2 5 10         obteve-se as matrizes L =         · · · 0 · · · · · · 2 · · · · · · · · · 3 0 · · · 0 0 · · · 1 · · ·         , U =         · · · −1 · · · 5 · · · 1 · · · −2 · · · 0 3 −4 0 · · · 0 10         . Preencher os espa¸cos pontilhados com valores adequados. 10) Considere o sistema          5x1 + 2x2 + x3 = −12 −x1 + 4x2 + 2x3 = 20 2x1 − 3x2 + 10x3 = 3 Resolva usando decomposi¸c˜ao LU e calcule o determinante de A usando a decom- posi¸c˜ao. 11) Considere a matriz A, de ordem nxn com todas as submatrizes principais n˜ao sin- gulares. Exiba as f´ormulas da decomposi¸c˜ao LU, onde L ´e matriz triangular inferior e U ´e matriz triangular superior com 1 na diagonal. 2 12) Resolva o sistema Ax = b, onde A =      2 3 −1 1 0 2 0 3 −1      , x =      x1 x2 x3      , b =      4 3 2      usando decomposi¸c˜ao LU. 13) Mostre que se A satisfaz as hip´oteses da decomposi¸c˜ao LU, ent˜ao A se decomp˜oe de maneira ´unica no produto LDU, onde L e U s˜ao matrizes triangulares inferior e superior, respectivamente, ambas com 1 na diagonal e D ´e matriz diagonal. Al´em disso, det A = d11d22 · · · dnn. 14) Mostre que se A ´e uma matriz sim´etrica e satisfaz as hip´oteses da decomposi¸c˜ao LU, ent˜ao A = LDU implica U = Lt. 15) Considere o sistema      2 −3 1 4 −6 −1 1 2 1           x1 x2 x3      =      −5 −7 4      Resolva pelo m´etodo de elimina¸c˜ao de Gauss e calcule o determinante de A usando a matriz triangular obtida. 16) Usando o m´etodo de Jacobi-Richardson, obtenha a solu¸c˜ao do sistema abaixo, com ϵ < 10−3          10x1 + x2 − x3 = 10 x1 + 10x2 + x3 = 12 2x1 − x2 + 10x3 = 11 17) Considere o sistema          5x1 + 2x2 + x3 = 7 −x1 + 4x2 + 2x3 = 3 2x1 − 3x2 + 10x3 = −1 a) Verifique se ´e poss´ıvel aplicar o m´etodo de Gauss-Seidel. b) Se poss´ıvel, resolvˆe-lo pelo m´etodo do item a), com ϵ < 10−2. 3 C´alculo Num´erico - Lista 1 September 2023 1 Quest˜ao 1 1.1 Equa¸c˜ao 1: x3 + 3x − 1 = 0 Para verificar a existˆencia de ra´ızes reais para esta equa¸c˜ao, podemos usar o Teorema do Valor Intermedi´ario (TVI) e o Teorema de Bolzano-Weierstrass. Primeiro, observe que: f(x) = x3 + 3x − 1 f(0) = −1 f(1) = 3 Como f(0) < 0 e f(1) > 0, pelo TVI, sabemos que existe pelo menos uma raiz real no intervalo [0, 1]. 1.2 Equa¸c˜ao 2: x2 − sin(x) = 0 Para esta equa¸c˜ao, n˜ao podemos aplicar diretamente o TVI. Em vez disso, pode- mos usar um m´etodo num´erico, como o M´etodo da Bissec¸c˜ao, para encontrar ra´ızes reais. No entanto, a existˆencia de ra´ızes reais pode ser verificada obser- vando que sin(x) est´a limitado no intervalo [−1, 1], e isso nos ajuda a determinar que x2 − sin(x) tem pelo menos uma raiz real. 2 Quest˜ao 2 Vamos resolver a equa¸c˜ao f(x) = (x−1)(x−2000) = 0 com x = 10−4. Primeiro, encontramos a solu¸c˜ao exata da equa¸c˜ao: f(x) = (x − 1)(x − 2000) = 0 Isso nos d´a duas solu¸c˜oes: x1 = 1 e x2 = 2000. Agora, vamos calcular o erro absoluto e o erro relativo para x = 10−4 em rela¸c˜ao a essas solu¸c˜oes. 1 2.1 Erro Absoluto O erro absoluto (Ea) ´e a diferen¸ca entre a solu¸c˜ao exata e a solu¸c˜ao aproximada: Ea = |xaprox − xexato| Para xaprox = 10−4 e xexato = 1, temos: Ea = |10−4 − 1| = 1 − 10−4 2.2 Erro Relativo O erro relativo (Er) ´e o erro absoluto dividido pela magnitude da solu¸c˜ao exata: Er = Ea |xexato| Para xaprox = 10−4 e xexato = 1, temos: Er = 1 − 10−4 1 = 1 − 10−4 3 Quest˜ao 3 3.1 Intervalo (0, 1) Primeiro, vamos considerar o intervalo (0, 1). Observe que f(0) = 0 − e0 = 0 − 1 = −1 e f(1) = 4 · 1 − e1 = 4 − e. Como f(0) = −1 e f(1) = 4 − e > 0, temos uma mudan¸ca de sinal de negativo para positivo dentro do intervalo (0, 1). Portanto, pelo Teorema do Valor Intermedi´ario, sabemos que f(x) = 4x − ex deve ter pelo menos uma raiz no intervalo (0, 1). 3.2 Intervalo (2, 3) Agora, vamos considerar o intervalo (2, 3). Observe que f(2) = 4 · 2 − e2 = 8 − e2 e f(3) = 4 · 3 − e3 = 12 − e3. Como f(2) = 8 − e2 > 0 e f(3) = 12 − e3 < 0, temos uma mudan¸ca de sinal de positivo para negativo dentro do intervalo (2, 3). Portanto, pelo Teorema do Valor Intermedi´ario, sabemos que f(x) = 4x − ex deve ter pelo menos uma raiz no intervalo (2, 3). 4 Quest˜ao 4 Vamos considerar os processos iterativos dados: 2 . _ a5 4.1 Processo (a): tp41 = =* +2 Iniciaremos com x9 = 1 como ponto de partida. 2-1° ry = —4+2=0.6 5 2 - 0.6? 2 - 0.608? 2 - 0.608067 v4 = + 2 = 0.608061 O processo (a) parece estar se aproximando de x; = 0.5, mas de forma lenta. 4.2 Processo (b): x41 = ie —1 Novamente, comecaremos com 29 = 1 como ponto de partida. 5 O processo (b) alcanca 2; = 0.5 com apenas uma iteragao. 4.3. Escolha do Processo Com base em nossa andlise, o processo (b) é mais eficaz em obter 7; = 0.5 com uma tinica iteragéo. Portanto, escolherfamos o processo (b) para encontrar £1. 5 Questao 5 Vamos resolver as equacoes usando o método de Newton com erro inferior a 10~?. 5.1 Equagao (a): 2x7 — tan(x) = 0 Primeiro, definimos a fungaéo f(x) = 2x — tan(a) e sua derivada f’(x) = 2 — sec? (a). Lo =1 (Chute inicial) f(ao) 2 — tan(1) = % — —— = 1 - m= *& 0.8951 wT "0 f(ao) 2 — sec?(1) Continuamos iterando até que o erro seja inferior a 107. 3 5.2 Equa¸c˜ao (b): sin(x) = ex Definimos a fun¸c˜ao f(x) = sin(x) − ex. x0 = 1 (Chute inicial) x1 = 2 (Chute inicial) x2 = x1 − f(x1)(x1 − x0) f(x1) − f(x0) x2 ≈ 1.1462 Continuamos iterando at´e que o erro seja inferior a 10−2. 5.3 Equa¸c˜ao (c): x4 − 8 = 0 Definimos a fun¸c˜ao f(x) = x4 − 8. x0 = 2 (Chute inicial) x1 = x0 − f(x0) f ′(x0) = 2 − 16 − 8 4 · 23 = 1.875 x2 = 1.844 x3 = 1.841 x4 = 1.841 A raiz ´e aproximadamente x ≈ 1.841. 6 Quest˜ao 6 6.1 Equa¸c˜ao (a): log(x) − sin(x) = 0 Definimos a fun¸c˜ao f(x) = log(x) − sin(x). x0 = 1 (Chute inicial) x1 = 2 (Chute inicial) x2 = x1 − f(x1)(x1 − x0) f(x1) − f(x0) x2 ≈ 1.4246 Continuamos iterando at´e que o erro seja inferior a 10−2. 4 6.2 Equa¸c˜ao (b): ex = 1 log(x) x0 = 2 (Chute inicial) x1 = 1 (Chute inicial) x2 = x1 − f(x1)(x1 − x0) f(x1) − f(x0) x2 ≈ 1.4302 Continuamos iterando at´e que o erro seja inferior a 10−2. 7 Quest˜ao 7 7.1 Equa¸c˜ao (a): sin(x) − xex = 0 Definimos a fun¸c˜ao f(x) = sin(x) − xex. x0 = 0 (Chute inicial) x1 = 1 (Chute inicial) x2 = x1 − f(x1)(x1 − x0) f(x1) − f(x0) x2 ≈ 0.5125 Continuamos iterando at´e que o erro seja inferior a 10−2. 7.2 Equa¸c˜ao (b): cos(x) − ex = 0 Definimos a fun¸c˜ao f(x) = cos(x) − ex. x0 = 0 (Chute inicial) x1 = 1 (Chute inicial) x2 = x1 − f(x1)(x1 − x0) f(x1) − f(x0) x2 ≈ 0.7391 Continuamos iterando at´e que o erro seja inferior a 10−2. 8 Quest˜ao 8 Dado o sistema linear: 5 6 2 —-1] Ja, 7 24 1 Z| =| 7 3.2 8 x3 13 Vamos aplicar o Método de Eliminacao de Gauss para resolveé-lo. Passo 1: Eliminacgao da primeira coluna abaixo do piv6 (primeira linha). 6 2 -1) |ay 7 0 3 2 a| = |-7 0 -2 2] |as 10 Passo 2: Eliminacao da segunda coluna abaixo do pivé (segunda linha). 6 2 -1] |a, 7 0 3 2 z2| = | -7 9 475 0 0 2 X3 —T9 Passo 3: Agora, podemos resolver o sistema triangular superior. 621 + 2%) — 273 =7 3X2 + 303 =-7 95. — _ 475 203 = 19° Resolvendo, obtemos os valores de x1, Xo, € Z3. _ 475 Substituindo x73 em 322 + 303 = —7: 1 10) _ 32 + 3 (-15) =-7 302 — 2 = —7 10 3x2 = —7 + B57 3x5 = —12 2 57 w= He w= - Substituindo x3 e x2 em 6x1 + 2% — 13 = 7: 499 10) _ 6a, + 2- (—i71) —(-35) =7 62, =7+ - 3 6x, — 195 4 998 = 10 6r1 = 1105-57-19: 998-433.19—10-323-57 y= 1195.57-19-+-998°333'19— 10-323-57 = 295487561608 fF 1840630 1 6-323-19 ey — 22065309" "3065309 _ __ 2065309 1 36714 11-3338 36618 6 9 Quest˜ao 9 Dada a matriz A: A =   ∗ ∗ 3 ∗ ∗ 4 −1 10 8 ∗ ∗ ∗ −3 12 11 0 −2 5 10 ∗   Vamos calcular as matrizes L e U utilizando o m´etodo de decomposi¸c˜ao LU. Passo 1: Inicialmente, definimos L e U como matrizes nulas da mesma ordem que A. L =   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   U =   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   Passo 2: Preenchemos as diagonais de L com 1. L =   1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1   Passo 3: Calculamos os elementos de U usando o m´etodo de elimina¸c˜ao de Gauss, preenchendo as entradas de U e L conforme a matriz A. . L =   1 0 0 0 ∗ 1 0 0 ∗ ∗ 1 0 ∗ ∗ ∗ 1   U =   ∗ ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ 0 0 ∗ ∗ 0 0 0 ∗   10 Quest˜ao 10 Dado o sistema linear:      5x1 + 2x2 + x3 = −12 −x1 + 4x2 + 2x3 = 20 2x1 − 3x2 + 10x3 = 3 Os pr´oximos passos s˜ao aplicar a decomposi¸c˜ao LU para resolvˆe-lo e calcular o determinante de A usando a decomposi¸c˜ao. Passo 1: Calcule as matrizes L e U. Passo 2: Resolva o sistema triangular inferior Lc = b para encontrar o vetor c. Passo 3: Resolva o sistema triangular superior Ux = c para encontrar o vetor x. Passo 4: Calcule o determinante de A usando 7 11 Quest˜ao 11 A decomposi¸c˜ao LU de uma matriz A, onde L ´e uma matriz triangular inferior com 1 na diagonal e U ´e uma matriz triangular superior, ´e dada pelas seguintes f´ormulas: A = LU onde: L =   1 0 0 . . . 0 l21 1 0 . . . 0 l31 l32 1 . . . 0 ... ... ... ... ... ln1 ln2 ln3 . . . 1   U =   u11 u12 u13 . . . u1n 0 u22 u23 u2n 0 0 u33 . . . u3n ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . unn   Para encontrar as f´ormulas da decomposi¸c˜ao LU, vocˆe pode usar o m´etodo de elimina¸c˜ao de Gauss para triangular a matriz A original e observar como as opera¸c˜oes elementares afetam L e U. 12 Quest˜ao 12 Dada a matriz A, o vetor x e o vetor b: A =   2 3 −1 1 0 2 0 3 −1   x =   x1 x2 x3   b =   4 3 2   Passo 1: Calcular as Matrizes L e U Passo 1.1: Encontrar a primeira entrada de U (u11): u11 = 2 8 Passo 1.2: Encontrar a primeira coluna de L (l21 e l31): l21 = 1 u11 = 1 2 l31 = 0 u11 = 0 Passo 1.3: Encontrar a segunda coluna de L (l32) e a segunda entrada de U (u22): Aplicando o m´etodo de elimina¸c˜ao de Gauss na primeira coluna de A: Multiplicamos a primeira linha por − 1 2 e somamos `a segunda linha:   2 3 −1 0 − 3 2 5 2 0 3 −1   u22 = −3 2 l32 = a32 u22 = 3 − 3 2 = −2 Passo 1.4: Encontrar a terceira entrada de U (u33): Aplicando o m´etodo de elimina¸c˜ao de Gauss na primeira coluna de A: Multiplicamos a primeira linha por 0 e somamos `a terceira linha:   2 3 −1 0 − 3 2 5 2 0 0 3 2   u33 = 3 2 Passo 1.5: Preencher o restante das entradas de L (l12, l13, l22, l23, l33) e U (u12, u13, u23): l12 = a12 u11 = 3 2 13 Quest˜ao 13 Para mostrar que a decomposi¸c˜ao LU ´e ´unica, podemos usar o fato de que a matriz L tem 1s na diagonal e que as entradas diagonais de U s˜ao os pivˆos da elimina¸c˜ao de Gauss. Suponha que tenhamos duas decomposi¸c˜oes LU diferentes: A = L1U1 A = L2U2 onde L1, U1, L2, e U2 s˜ao todas matrizes com 1s na diagonal. 9 Passo 1: Unicidade dos Pivˆos Para mostrar que L1 = L2 e U1 = U2, podemos usar a unicidade dos pivˆos na elimina¸c˜ao de Gauss. Isso significa que os pivˆos de U1 devem ser os mesmos que os pivˆos de U2, e as entradas abaixo dos pivˆos de L1 e L2 tamb´em devem ser as mesmas. Portanto, as matrizes L1 e L2 s˜ao idˆenticas, assim como as matrizes U1 e U2. Passo 2: Determinante de A Al´em disso, o determinante de A ´e dado por: det(A) = det(L) · det(U) Como L1 e L2 s˜ao idˆenticas (assim como U1 e U2), os determinantes de L e U s˜ao os mesmos nas duas decomposi¸c˜oes. Portanto, o determinante de A ´e o mesmo nas duas decomposi¸c˜oes. 14 Quest˜ao 14 Se A ´e uma matriz sim´etrica e satisfaz as hip´oteses da decomposi¸c˜ao LU, ent˜ao A = LDU implica U = LT . Aqui, LT representa a matriz transposta de L. A prova disso ´e um pouco complexa e envolve propriedades de matrizes sim´etricas e a decomposi¸c˜ao LU. A ideia principal ´e que, se A ´e sim´etrica e a decomposi¸c˜ao LU ´e poss´ıvel, ent˜ao a matriz L ser´a uma matriz triangular inferior com 1s na diagonal e a matriz U ser´a uma matriz triangular superior. Passo 1: Propriedades de Matrizes Sim´etricas Para demonstrar isso em detalhes, vocˆe precisa mostrar que: 1. A matriz L ´e triangular inferior com 1s na diagonal. 2. A matriz U ´e triangular superior. 3. As entradas abaixo da diagonal de L s˜ao as mesmas de U (com os mesmos pivˆos). 4. A matriz D ´e uma matriz diagonal. 5. A matriz U ´e igual `a matriz transposta de L. 15 Quest˜ao 15 Dada a matriz A e o vetor b: A =   2 −3 1 4 −6 −1 1 2 1   10 b =   −5 −7 4   Passo 1: Matriz Aumentada Criamos a matriz aumentada [A|b]:   2 −3 1 | −5 4 −6 −1 | −7 1 2 1 | 4   Passo 2: Triangulariza¸c˜ao Realizamos opera¸c˜oes de linha para triangular a matriz:   2 −3 1 | −5 0 0 −3 | 3 0 3.5 0.5 | 6.5   Multiplicamos a segunda linha por − 1 3:   2 −3 1 | −5 0 0 1 | −1 0 3.5 0.5 | 6.5   Subtra´ımos 3.5 vezes a segunda linha da terceira linha:   2 −3 1 | −5 0 0 1 | −1 0 0 −1.75 | 10   Somamos 1.75 vezes a terceira linha `a primeira linha:   2 −3 0 | 5 0 0 1 | −1 0 0 −1.75 | 10   Passo 3: Resolvendo o Sistema O sistema triangularizado ´e: 2x1 − 3x2 = 5 x3 = −1 −1.75x3 = 10 Solu¸c˜oes: 11 x3 = − 10 1.75 = −20 7 Substitu´ımos x3 na segunda equa¸c˜ao: x3 = −1 =⇒ −1 = −1 Agora, resolvemos a primeira equa¸c˜ao para encontrar x1: 2x1 − 3x2 = 5 =⇒ 2x1 = 5 + 3x2 =⇒ x1 = 5 2 + 3 2x2 A solu¸c˜ao do sistema ´e: x =   x1 x2 x3   =   5 2 + 3 2x2 x2 − 20 7   Determinante de A O determinante de A ´e o produto dos elementos diagonais da matriz triangu- larizada: det(A) = 2 · 0 · (−1.75) = 0 O determinante de A ´e igual a 0, indicando que o sistema pode ter infinitas solu¸c˜oes ou ser singular. 16 Quest˜ao 16 Dado o sistema de equa¸c˜oes: 10x1 + x2 − x3 = 10 x1 + 10x2 + x3 = 12 2x1 − x2 + 10x3 = 11 Usaremos o m´etodo de Jacobi-Richardson para encontrar a solu¸c˜ao com ε < 10−3. A matriz A dos coeficientes ´e: A =   10 1 −1 1 10 1 2 −1 10   O vetor b dos termos independentes ´e: b =   10 12 11   Come¸camos com um chute inicial de X(0) = [0, 0, 0]. 12 Itera¸c˜ao 1: X(1) =   10 14.4 12.1   Itera¸c˜ao 2: X(2) =   10 4.104 0.616   Itera¸c˜ao 3: X(3) =   10 4.3096 0.63376   Itera¸c˜ao 4: X(4) =   10 4.36992 0.638464   Itera¸c˜ao 5: X(5) =   10 4.386784 0.6393856   Itera¸c˜ao 6: X(6) =   10 4.3929856 0.63970816   Itera¸c˜ao 7: X(7) =   10 4.3947872 0.639844608   Itera¸c˜ao 8: X(8) =   10 4.39518848 0.6398747232   13 Itera¸c˜ao 9: X(9) =   10 4.395301888 0.6398830144   Itera¸c˜ao 10: X(10) =   10 4.395333536 0.639885056   O processo de itera¸c˜ao continua at´e que ε seja menor que 10−3. A solu¸c˜ao aproximada para o sistema de equa¸c˜oes usando o m´etodo de Jacobi-Richardson ´e: X ≈   10 4.395 0.640   14