Exercícios Resolvidos - Matemática Discreta - Contagem e Probabilidade

2 Considere que um PIN é uma sequência de 4 dígitos alfanuméricos Quantos PINs existem Resposta com a regra da multiplicação 36 36 36 36 1º passo 36 2º 36 3º 36 4º 36 Resposta 36 36 36 36 364 3 Sejam A1 A2 A3 e A4 conjuntos com respectivamente n1 n2 n3 e n4 elementos Quantos elementos tem o produto cartesiano A1xA2xA3xA4 B A 15 3 C 3 D 19 Δ 21 BxC A 3 A 15 3 15 BxCxD A 3 19 A 3 Δ A 3 21 A 19 Resposta n1 n2 n3 n4 1º passo n1 2º n2 3º n3 4º n4 Resposta n1 n2 n3 n4 4 Considerando os PINs do exemplo 2 a Quantos PINs existem sem dígitos repetidos b Qual é a probabilidade que um PIN não contenha dígitos repetidos Respostas a 36 35 34 33 1º Passo 36 2º 35 3º 34 4º 33 Resposta 36 35 34 33 5 Quantas tabelas de verdade existem com duas entradas Resposta 1º passo 2 2º 2 3º 2 4º 2 Resposta 2 2 2 2 2⁴ 16 6 Quantas vezes será executado o laço interno for i 1 i 4 i for j 1 j 3 j Resposta 4 3 12 Regra da adição Exemplo Quantas senhas alfanuméricas de tamanho entre 1 e 3 existem Todas as senhas alfanuméricas de tamanho entre 1 e 3 A Senhas de tamanho 1 B Senhas de tamanho 2 C Senhas de tamanho 3 O conjunto A tem 36 elementos 36 O conjunto B tem 36² elementos 36 36 Resposta 36 36 36² O conjunto C tem 36³ elementos 36 36 36 Resposta 36 36 36 36³ Resposta 36 36² 36³ 36 1 36 36² 36 37 36² Exemplo Quantas sequências de 4 símbolos em MISSISSIPPI existem 1M 4 I 4 S 2 P 3 4 X Matemática Discreta Turma 02 Contagem Árvores de Possibilidades Exemplo Os times A e B irão jogar um torneio O time ganhador sera aquele que ganhar 2 jogos consecutivos ou três jogos no total a De quantas formas possíveis o torneio pode se desenvolver b Qual é a probabilidade que sejam necessárias de 5 jogos para poder definir o ganhador do torneio Respostas 1º jogo 2º jogo 3º jogo 4º jogo 5º jogo A A A A A B B B B B B A A A B B B B a 10 b 410 100 40 Regra da multiplicação Se uma operação é realizada em k passos e O 1º passo pode executado de n1 formas diferentes O 2º passo pode executado de n2 formas diferentes sem importar como foi realizado o 1º passo O 3º passo pode executado de n3 formas diferentes sem importar como foram realizados os passos anteriores O kº passo pode executado de nk formas diferentes sem importar como foram realizados os passos anteriores então a operação como um todo pode ser efetuada em n1 n2 n3 nk formas diferentes Exemplos 1 Suponha que você tem as portas de ES A B C e D e os processadores X Y e Z De quantas formas possíveis você pode formar um par composto por uma porta de ES e um processador Resposta com árvore de possibilidades ES Processador A X Y Z B X Y Z C X Y Z D X Y Z Resposta 12 Resposta com a regra da multiplicação 4 3 1º passo selecionar uma porta de ES 4 2º passo selecionar um processador 3 Resposta 4 3 12