Prova Matematica Discreta Logica e Demonstracoes 2023-3

ATENÇÃO Leiam atentamente os critérios de correção desta prova Critérios de Correção da prova Critério1 125 ponto Todas as questões devem possuir uma resolução que apresente justificativas plausíveis Critério 2 125 ponto Questões feitas sem escrita textual e sem a formalidade matemática necessária não serão aceitas mesmo que o resultado numérico final esteja correto Critério 3 Cada questão vale 20 pontos e serão corrigidas obedecendo os critérios 1 e 2 1ª Questão Escreva cada uma das afirmações a seguir na forma se A então B 1 O crescimento sadio de plantas é consequência de quantidade suficiente de água 2 O aumento da disponibilidade de informação é uma condição necessária para um maior desenvolvimento tecnológico 3 Só serão introduzidos erros se forem feitas modificações no programa 4 A economia de energia para aquecimento implica bom isolamento ou vedação de todas as janelas 2 ª Questão Quais das frases a seguir são proposições Justifique suas respostas 1 A lua é feita somente de areia e minérios PROFESSOR A Paulo César Linhares da Silva CURSO LICENCIATURA EM COMPUTAÇÃO EAD DISCIPLINA Matemática Discreta PERÍODO 20233 DATA DE ENTREGA até 10102023 ALUNOA PONTOS OBTIDOS 1 ª Questão 2 ª Questão 3 ª Questão 4 ª Questão 5 ª Questão MATRÍCULA Simulado de matemática discreta Assuntos Introdução á lógica técnicas de demonstração NOTA OBTIDA Instruções Esta atividade se refere ao conteúdo da Unidade I Deve ser respondia e postada no MOODLE 2 Ele é certamente um homem alto 3 Dois é um número primo 4 O jogo vai acabar às 16 horas 5 Os juros vão subir ano que vem 6 Os juros vão cair ano que vem 7 𝑥2 4 0 3ª Questão Para um inteiro positivo n n fatorial é definido como 𝑛𝑛 1𝑛 2 1 e denotado por n Prove ou encontre um contra exemplo para a conjectura Para todo inteiro positivo n 𝑛 𝑛2 4ª Questão Prove a seguinte proposição A diferença entre dois cubos consecutivos é ímpar 5ª Questão Encontre o erro na seguinte demonstração de que um número ímpar menos um número par é sempre igual a 1 Seja x um número ímpar e seja y um número par Então x 2m 1 e y 2m em que m é um inteiro logo x y 2m 1 2 m 1 Simulado de Matematica Discreta 1 1ª Questao Nesta questao e preciso ler cada frase e identificar qual e a condic ao necessaria e qual a consequˆencia e daı reformular a escrita na forma Se condic ao ne cessariaentao consequˆencia 1 Se ha quantidade suficiente de agua entao as plantas crescem sadias 2 Se ha o aumento da disponibilidade de informac ao entao ocorre um maior desenvolvimento tecnologico 3 Se forem feitas modificac oes no programa entao serao introduzidos erros 4 Se ocorre economia de energia para aquecimento entao ocorre o bom isolamento ou vedac ao de todas as janelas 2 2ª Questao Proposic oes sao sentencas onde e possıvel atribuir apenas um valor logico verdadeiro ou falso Resposta As frases 1 3 e 7 sao proposic oes pois e possıvel atribuir um unico valor logico a elas que pode ser verdadeiro ou falso A frase 2 nao e proposic ao pois alto e um conceito vago e depende de comparac ao Tratase de uma opiniao emitida As frases 4 5 e 6 nao sao proposic oes pois tratam de previsoes Temos que chegar ao tempo estipulado para so entao descobrir se a previsao vai se realizar ou nao No momento nao temos condic ao de atribuir valor logico a estas frases o que as descaracteriza como proposic oes 1 Simulado de Matematica Discreta 3 3ª Questao A conjectura nao e verdadeira pois 4 e um inteiro positivo e 4 4 3 2 1 24 mas 42 16 Entao 4 42 o que serve de contra exemplo para a conjectura apresentada 4 4ª Questao Seja n um inteiro positivo Seu sucessor entao e n 1 Temos que n 13 n3 3n2 3n 1 Entao para todo inteiro positivo a diferenca entre dois cubos consecutivos e dada por n3 n 13 n3 n3 3n2 3n 1 3n2 3n 1 Caso fizessemos n 13 n3 obterıamos como resultado 3n2 3n 1 ou seja so muda o sinal e como o sinal nao interfere na paridade do numero iremos desconsideralo Como n e um inteiro positivo temos duas possibilidades n e par ou n e ımpar Se n e par entao n 2k para algum k inteiro Nesse caso temos 3n23n1 32k232k1 34k26k1 12k26k1 26k23k1 Se n e ımpar entao n 2k 1 para algum k inteiro Nesse caso temos 3n2 3n 1 32k 12 32k 1 1 34k2 4k 1 6k 3 1 12k2 12k 3 6k 3 1 12k2 18k 6 1 26k2 9k 3 1 Nos dois casos conseguimos escrever 3n3 3n1 na forma 2k 1 com k inteiro o que prova que 3n2 3n 1 e ımpar qualquer que seja n inteiro e portanto a diferenca de dois cubos consecutivos e sempre ımpar 5 5ª Questao O erro na demonstrac ao esta em ter usado m como numero inteiro na representac ao de x e y O correto seria utilizar letras diferentes ou seja escrever x 2m 1 com m inteiro e y 2n com n inteiro Da forma como foi feito x e y seriam numeros consecutivos e nao numeros inteiros quaisquer 2