Mecânica dos Sólidos 3

UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PARÁ INSTITUTO GEOCIÊNCIAS E ENGENHARIAS FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL 1ª Lista Exercícios Mecânica Sólidos III Docente ProfDr Claudionei Pereira de Oliveira Disciplina Mecânica dos Sólidos III Questão 01 Calcule o deslocamento do ponto A Dados E 2 106 tm2 e bh 5 cm10 cm Figura 1 Barras articuladas Resposta 3 122 mm Solução Vamos dividr a resolução em passos Passo 1 Cálculo dos esforços normais Primeiramente vamos encontrar os ângulos dispostos na figura abaixo 1 Daí temos α arctg32 5631 e β arctg33 45 Agora fazendo somatorio das forças na direção x e y temos FH 0 N1 cosα N2 cosβ 4 0 1 e FV 0 N1senα N2senβ 8 0 2 Isolando N2 na equação 2 e substituindo na equação 1 teremos N1 cosα 8 N1senαsenβ cosβ 4 0 3 Isolando o valor de N1 nessa última equação temse N1 4 8 cotβ cosα senα cotβ 4 e substituindo os valores de α 5631 e β 45 obtemos N1 4 8 cot45 cos5631 sen5631 cot45 8653 t Levando o valor de N1 8653 t em 4 encontramos N2 8 8653 t sen5631 sen45 1131 t Passo 2 Cálculo das deformações Calculando cada uma das deromações provocadas pelos esforços N1 e N2 temos ΔL1 8653 t 13 m 2 106 tm25 cm 10 cm 0312 cm 312 mm 5 e L2 1 131 t 18 m 2 106 tm25 cm 10 cm 0 048 cm 0 48 mm 6 Passo 3 Analise gráfica Observe a figura Vamos analisar primeiro a deformação L1 3 12 mm Projetamos os deslocamentos h e v sobre uma reta paralela a L1 e assim a b 3 12 mm 3 ou ainda Δv cosϕ Δh senϕ 312 ou seja 08832 Δv 0555 Δh 312 7 Agora para o deslocamento ΔL2 temos Projetamos os deslocamentos Δh e Δv sobre uma reta paralela a ΔL2 e então c d 048 ou ainda Δv cosθ Δh senθ 048 ou seja 0707 Δv 0707 Δh 048 8 Resolvendo o sistema formado por 7 e 8 temos Δv 252 mm e Δh 184 mm Por fim calculamos o deslocamento total fazendo uso do Teorema de Pitagoras ous seja ΔA 252 mm2 184 mm2 312 mm UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PARÁ INSTITUTO GEOCIÊNCIAS E ENGENHARIAS FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL 1ª Lista Exercícios Mecânica Sólidos III Docente ProfDr Claudionei Pereira de Oliveira Disciplina Mecânica dos Sólidos III Questão 01 Calcule o deslocamento do ponto A Dados E 2 106 tm2 e bh 510 Figura 1 Barras articuladas Resposta 3 122 mm Questão 02 Calcule o deslocamento do ponto A Dados E 2 106 tm2 Figura 2 Estrutura rígida e sistema de cabos Resposta 8 85 mm 1 Questão 03 Calcular o deslocamento no ponto A e o ângulo de rotação da barra 1 Dados 1 3 1 2 4 1 5 e E 2 107 tm2 Figura 3 Sistema de barras e cabos Resposta A 4 298 mm e α 0 00670 Questão 04 Calcular o deslocamento do ponto A Dados 1 1 e E 2 107 tm2 Figura 4 Sistema de barras e cabos Resposta A 5 068 cm 2 Questão 05 Calcular o deslocamento total do ponto A Dados barras deformaveis bh2 10 cm30 cm bh3 10 cm30 cm E 2 106 tm2 Cabo 1 1 e E 6 107 tm2 Figura 5 Sistema de vigas barras e cabos Resposta A 1 976 mm Questão 06 Calcular o deslocamento total do ponto C Dados E 2106 tm2 e 1 1 Figura 6 Arco suspendido por cabo Resposta C 15 77 cm 3 Questão 07 Calcular o deslocamento horizontal e vertical do ponto C Dados E 2 106 tm2 e 1 2 Figura 7 Arco parabolico suspendido por cabo Resposta HC 0 89 cm e V C 5 341 cm 4 Universidade Federal do Sul e Sudeste do Para Instituto de Geociˆencias e Engenharias Faculdade de Engenharia Civil Aula 2 Deformacao Simples Continuacao ProfDr Claudionei Pereira de Oliveira Maraba PA 2025 Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 1 32 Sumario 1 Deslocamento versus deformacao 2 Calculo de derformacao axial por integrais 3 Equacao Diferencial dos deslocamentos axiais Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 2 32 Deslocamento versus deformacao Deslocamento versus deformacao As deformacoes de uma barra ou cabo descrevem deslocamentos longitu dinais ou angulares em outros elementos cujos apoios dependem daqueles Vejamos os seguintes casos Caso 1 A barra 1 quando deformada encurtamento faz com que a barra 2 se mova translacao vertical Observe que a barra 2 nao tem carga e portanto nao se deforma Figura 1 Deformacao e deslocamento axial Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 3 32 Deslocamento versus deformacao Caso 2 O cabo ao ser deformado alongamento produz a rotacao da barra deslocamento angular θ e o deslocamento do ponto A translacao vertical Figura 2 Rotacao da barra por deformacao do cabo Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 4 32 Deslocamento versus deformacao Caso 3 A deformacao dos cabos 1 e 2 L1 e L2 devido a forca F e transmitida atraves dos cabos 3 e 4 produzindo a translacao vertical e a rotacao θ da barra 2 Note que a barra 2 nao tem carga e portanto os cabos 3 e 4 nao sao deformados Figura 3 Deformacao de um sistema de vigas e cabos Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 5 32 Deslocamento versus deformacao Caso 4 Dois cabos ou barras com caracterısticas simetricas mesma geometria mesmo material e carga simetrica sao deformados e entao giram perpendicularmente ao seu proprio eixo o que produz um deslo camento vertical no no A Figura 4 Deformacao de um par cabos Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 6 32 Deslocamento versus deformacao Caso 5 Duas barras com caracterısticas assimetricas sao deformadas e entao giram perpendicularmente ao seu proprio eixo produzindo um deslocamento vertical e um horizontal Figura 5 Deformacao de um par de barras Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 7 32 Deslocamento versus deformacao Caso 6 Uma estrutura rıgida composta de duas ou mais barras so pode se mover longitudinal e angularmente sem sofrer deformacao Neste caso o cabo ao ser deformado pela forca F produz a rotacao θ da barra 1 e seu correspondente deslocamento 1 Entao a segunda barra mantem a rotacao θ gerando assim o segundo deslocamento 2 Por fim a barra 3 movese primeiro verticalmente devido a influˆencia do deslocamento da barra 2 entao gira o mesmo ˆangulo θ para finalmente produzir o deslocamento 3 Figura 6 Rotacao de uma estrutura rıgida Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 8 32 Deslocamento versus deformacao Caso 7 Quando uma barra possui um elemento rıgido curvo ele pode ser substituıdo por um ou mais elementos retos para analise sem modi ficar seu comportamento Isso e possıvel porque esses tipos de elemen tos por serem rıgidos nao se deformam eles apenas se movimentam e giram no mesmo ˆangulo em cada uma de suas partes Figura 7 Substituicao de arco por elemento retilineo Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 9 32 Deslocamento versus deformacao Na estrutura a seguir queremos calcular o deslocamento do ponto A Para isso substituımos o arco por elementos retos que ligam o suporte fixo com o cabo a carga e o ponto A Queremos calcular o des locamento do ponto A para o qual podemos substituir o arco por ele mentos retos que ligam o suporte fixo ao cabo ao ponto A e a carga F Figura 8 Substituicao de arco por elementos retilıneos Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 10 32 Deslocamento versus deformacao Exemplo 1 Calcule a deformacao unitaria de cada secao e calcule a deslocamento ver tical do ponto A Dado E 2 106 tm2 Figura 9 Sistema unidimensional Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 11 32 Solução A fim de solucionarmos o exemplo seguiremos os seguintes passos Passo 1 Cálculo dos esforços normais Iniciamos calculando a reação R Fv 0 Daí temos R 7 7 8 8 10 0 ou seja R 8 t Calculemos as tensões normais de cada seção considerando as cargas abaixo de cada seção N12 8 t tração 1 N23 8 7 7 6 t compressão 2 N34 8 7 7 8 8 10 t tração 3 Deslocamento versus deformacao Passo 2 Calculo da deformacao axial Aqui aplicamos a formula L F L E A para cada uma das seccoes Entao L12 8 t 3 m 2 106 tm2 π015 m2 4 0 68 mm L23 6 t 2 5 m 2 106 tm2 π01 m2 4 0 95 mm L34 10 t 2 m 2 106 tm2 π005 m2 4 5 09 mm Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 13 32 Deslocamento versus deformacao Passo 3 Calculo da deformacao unitaria Aqui vamos calcular a deformacao unitaria relativa a cada secao ε12 L12 L12 0 68 mm 3 m 0 226 mmm ε23 L23 L23 0 95 mm 2 5 m 0 382 mmm ε34 L34 L34 5 09 mm 2 m 2 545 mmm Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 14 32 Deslocamento versus deformacao Passo 4 Deslocamento no ponto A O desolcamento do ponto A e A L12 L23 L34 ou seja A 0 68 mm 0 95 mm 5 09 mm 4 8 mm Figura 10 Esquema deformacao Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 15 32 Deslocamento versus deformacao Exercıcio 1 Calcular o deloscamento do ponto A Dados E 2 106 kgm2 e 2 cm cabos Figura 11 Sistema de barras e cabos Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 16 32 Calculo de derformacao axial por integrais Calculo de derformacao axial por integrais Ao calcular a deformacao de um elemento e necessario recorrer a integrais nos seguintes casos Quando a tensao normal nao e constante ao longo da barra onde atua Quando a area da secao varia em funcao do seu comprimento Para estes casos e necessario analisar a variacao da deformacao dL para um comprimento diferencial dx Ja sabemos que L N L E A e daı temos dL N dx E A A partir daı temos os seguintes casos Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 17 32 Caso 1 Quando N é função de x obtemos dΔL Nx dx E A Integrando ambos os membros vem 0L dΔL dx 0L Nx dx E A ou seja ΔL 1 EA 0L Nx dx Caso 2 Quando A é função de x temse dΔL N dx E Ax Integrando ambos os membros vem ΔL N E 0L 1 Ax dx Caso 3 Quando N e A são funções de x temse dΔL Nx dx E Ax Integrando ambos os membros vem ΔL 1 E 0L Nx Ax dx Calculo de derformacao axial por integrais Exemplo 2 Calcule a deformacao da seguinte peca desprezando seu peso proprio Dados E 291241 kgm2 Figura 12 Barra de secao variavel Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 20 32 Calculo de derformacao axial por integrais Solucao Vamos seguir os seguintes passos Passo 1 Calculo da funcao area A funcao area da secao desta cada e Ax bx hx Vamos analisar a base bx e a altura hx como funcao de x Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 21 32 Calculo de derformacao axial por integrais Temos que bx mx n Levando x 0 e bx 50 cm nessa equacao teremos 50 m 0 n n 50 Agora substituindo x 300 cm e bx 20 cm temse 20 m 300 50 ou seja m 1 10 Logo bx 1 10x 50 Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 22 32 Calculo de derformacao axial por integrais Calculemos agora a altura hx como funcao de x a saber hx px q Em x 0 temse hx 40 cm entao 40 p 0 q donde temos q 40 Em x 300 cm temse hx 20 cm e entao 20 300 p 40 p 1 15 Portanto hx 1 15x 40 Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 23 32 Tendo as funções bx e hx a função área fica Ax 110 x 50115 x 40 ou ainda Ax 1150x2 22 3x 2000 Passo 2 Cálculo da deformação ΔL 8000 291241 0300 1 1 150x2 22 3x 2000 dx Resolvendo essa integral definida o valor da deformação é ΔL 00092 cm Equacao Diferencial dos deslocamentos axiais Equacao Diferencial dos deslocamentos axiais Suponha que temos uma barra submetida a uma tensao normal N e uma secao s s arbitraria definida em sua posicao por uma variavel x A uma distˆancia dx da secao s s localizamos uma secao r r e a distˆancia entre ambas as secoes tende a zero Figura 13 Seccoes adjacentes Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 25 32 Se neste elemento de comprimento dx calcularmos a deformação dΔ esta será equivalente ao deslocamento da seção s s Isso é facilmente compreensível pois as distâncias entre os dois trechos são praticamente nulas ΔL N LE A dΔ N dxE A Geralmente escrevemos essa equação em variáveis separáveis dΔ NE Adx A fim de determinar as constantes de integração dessas equações diferenciais devemos aplicar condições de contorno nos apoios sabendo que seus deslocamentos são zero nessas posições Equacao Diferencial dos deslocamentos axiais Exemplo 3 Faca o diagrama de variacao dos deslocamentos axiais Dados E 2 106 tm2 e bh 20 cm30 cm Figura 14 Viga com carga axial Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 27 32 Equacao Diferencial dos deslocamentos axiais Solucao Vamos seguir os passos Passo 1 Calculo dos esforcos normais N12 10 N23 10 30 Passo 2 Equacao dos deslocamentos a Secao 12 0 x 3 Como N12 10 t EA 2 106 0 2 0 3 120000 Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 28 32 Equacao Diferencial dos deslocamentos axiais Logo d 10 120000dx ou seja x 12000 C1 b Secao 23 3 x 5 Como N23 20 t EA 2 106 0 2 0 3 120000 temse d 20 120000dx isto e x 6000 C2 Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 29 32 Equacao Diferencial dos deslocamentos axiais c Condicoes de bordo 1ª Condicao x 5 0 Levando isso na equacao da secao 2 3 temse 0 5 6000 C2 C2 1 1200 Logo a equacao na secao 2 3 e x 6000 1 1200 2ª Condicao x 3 12 23 Daı vem 3 12000 C1 3 6000 1 1200 ou seja C1 1 12000 Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 30 32 Equacao Diferencial dos deslocamentos axiais Portanto a equacao da secao 1 2 e x 12000 1 12000 Passo 3 Diagrama dos deslocamentos axiais Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 31 32 Equacao Diferencial dos deslocamentos axiais Obrigado Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 32 32 Universidade Federal do Sul e Sudeste do Para Instituto de Geociˆencias e Engenharias Faculdade de Engenharia Civil Aula 3 Deformacao em vigas ProfºDr Claudionei Pereira de Oliveira Maraba PA 2025 Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 1 28 Sumario 1 Introducao 2 Conceitos gerais Convencao de sinais para deslocamentos e ˆangulos Condicoes de bordo ou contorno Equacao da Linea Elastica 3 Flecha de uma viga 4 Comportamento dos apoios e juntas frente a deformacao da viga Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 2 28 Introducao Introducao Vigas sao elementos que fazem parte de uma estrutura e que pelas caracterısticas de sua posicao e cargas sao deformados por flexao ou seja admitem uma leve curvatura chamada deflexao como deformacao Estas alteracoes de forma devem ser controladas pelo engenheiro pois quando sao excessivas tendem a deteriorar os elementos que as vigas suportam como por exemplo as paredes de uma casa que podem sofrer fissuracoes Figura 1 Viga deformada e sem deformacao Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 3 28 Introducao As deformacoes em vigas sao inevitaveis porem suas magnitudes devem estar dentro do permitido pelo material e alem disso as deformacoes nao devem ser percebidas a olho nu pois produzem sensacao de inse guranca nos usuarios Nesta aula analisaremos as deformacoes com o seguinte propositos 1 Analisar as deformacoes de flexao em vigas e deduzir as equacoes que os representam 2 Dimensionar a secao transversal de uma viga com base em um limite de sua deformacao 3 Analisar vigas hiperestaticas determinando suas reacoes diagramas de forcas internas e deformacoes Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 4 28 Conceitos gerais Convencao de sinais para deslocamentos e ˆangulos Convencao de sinais para deslocamentos e ˆangulos Os deslocamentos verticais para cima e rotacoes no sentido antihorario sao considerados positivos Os deslocamentos verticais para baixo e rotacoes no sentido horario sao considerados negativos Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 5 28 Conceitos gerais Condicoes de bordo ou contorno Condicoes de bordo ou contorno As condicoes de contorno sao pontos na viga onde o valor do seu deslo camento ou rotacao e conhecido ou uma relacao entre eles e conhecida Vejamos o seguinte exemplo Figura 2 Viga com numeracao de nos Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 6 28 Conceitos gerais Condicoes de bordo ou contorno Nos apoios 1 Apoio movel x x1 y1 0 2 Apoio fixo x x3 y3 0 3 Engaste x x7 y7 0 e θ7 0 Nas juntas 1 Uniao 2 x x2 y2esq y2dir e θ2esq θ2dir 2 Uniao 3 x x3 y3esq y3dir e θ3esq θ3dir 3 Uniao 4 articulacao x x4 y4esq y4dir 4 Uniao 5 x x5 y5esq y5dir e θ5esq θ5dir 5 Uniao 6 x x6 y6esq y6dir e θ6esq θ6dir Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 7 28 Conceitos gerais Equacao da Linea Elastica Equacao da Linea Elastica Suponha que temos uma viga afetada por um conjunto de cargas e em estado de equilıbrio estatico Figura 3 Viga deformada de altura real Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 8 28 Conceitos gerais Equacao da Linea Elastica Se idealizarmos a viga anterior temos Figura 4 Viga deformada idealizada Analisemos um un elemento diferencial dx Figura 5 Segmento diferencial deformado Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 9 28 Conceitos gerais Equacao da Linea Elastica Figura 6 Elemento diferencial A partir daı temos tg θ dy dx Para θ 0 temos tg θ θ E entao a equacao anterior fica θ dy dx 1 Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 10 28 Derivando a equação 1 com relação a x temse ddx θ ddx dydx ou seja dθdx d2ydx2 Figura 7 Segmento diferencial deformado Da figura anterior temos ds r dθ e daí 1r dθds Usando o Teorema de Pitagorás vem ds2 dx2 dy2 de onde temse ds dx1 dydx2 A curvatura tem uma inclinação que tende a zero dydx 0 Daí temse ds dx 1 0² dx 4 Levando 4 em 3 teremos 1r dθdx 5 Substituindo 5 em 2 segue que 1r d²ydx² 6 Aplicando a Lei de Hooke σ Eε Conceitos gerais Equacao da Linea Elastica Analisando a tensao veja a figura Figura 8 Analise de tensao Daı vem σ dF dA Temos ainda dF σ dA e dM dF y Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 14 28 Conceitos gerais Equacao da Linea Elastica Daı segue dM σ y dA Analisando a deformacao unitaria temos Figura 9 Deformacao segmento diferencial Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 15 28 A partir daí vem ε yr Levando a última equação na Lei de Hooke temse σ E yr De onde temos dM E yr y² dA Integrando vem M Er y² dA Logo M E Ix r ou ainda ME Ix 1r 7 Conceitos gerais Equacao da Linea Elastica Igualando as equacoes 7 e 6 temse d2y dx2 M E Ix onde y e a linha elastica ou deformada M e o momento fletor E e o modulo de elasticidade e Ix e a inercia em x Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 17 28 Flecha de uma viga Flecha de uma viga A deflexao de uma viga e o deslocamento vertical maximo que Sua linha esta deformada devido a uma ou mais cargas A localizacao e a magnitude da deflexao dependem do tipo de viga e das cargas que ela suporta por exemplo em vigas simplesmente apoiada a seta localizase proxima ao segmento central da viga porem em vigas cantilever embutidas a seta localizase na extremidade livre da viga Veja as seguintes figuras Figura 10 Vigas com flechaf Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 18 28 Flecha de uma viga Para determinar a flecha em uma viga sugerese deduzir a equacao elastica para identificar atraves de sua representacao grafica a posicao e valor da flecha No caso de uma viga simplesmente apoiada deve ser realizada uma analise maxima utilizando derivadas para encontrar a posicao exata da flecha e posteriormente sua magnitude Por outro lado em vigas engastada com balanco devemos substituir a posicao x da extremidade livre do cantilever na equacao elastica para encontrar a magnitude da flecha Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 19 28 Comportamento dos apoios e juntas frente a deformacao da viga Comportamentos dos apoios e juntas A curva da linha deformada de uma viga depende de sua trajetoria do tipo de carga mas tambem dos seus diferentes tipos de suporte e ligacoes Vamos analisar o seguinte exemplo Figura 11 Viga com linea elastica Para desenhar a deformacao da viga devemos considerar a seguintes caracterısticas no comportamento de seus nos Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 20 28 Comportamento dos apoios e juntas frente a deformacao da viga No 1 Este suporte movel tem uma reacao que restringe qualquer rotacao vertical No entanto pode moverse horizontalmente quando e afetado por uma carga horizontal Alem disso a barra pode girar livremente em torno deste ponto E por isso que se observa que sua linha deformada flexiona a partir do no 1 No 2 Movese livremente mantendo a continuidade da linha elastico No 3 Este suporte nao pode ser movido nem horizontalmente nem verticalmente Entretanto observase que a reta elastica permanece contınua devido as suas torcoes que sao diferentes de zero No 4 Ela se move verticalmente livremente e alem disso observase que a linha deformada e descontınua neste ponto A descontinuidade da linha elastica so ocorre neste tipo de articulacoes articulacoes No 5 Esta junta se move livremente e alem disso e observada a continuidade da linha elastica No 6 Movese livremente e a curva elastica permanece contınua Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 21 28 Comportamento dos apoios e juntas frente a deformacao da viga No 7 Os apoios embutidos restringem qualquer tipo de rotacao e translacao por isso se observa que a viga mantem um pequeno segmento sem flexionar neste ponto Exemplo Para a viga seguinte faca um grafico da sua deformacao e calcule a sua deflexao Figura 12 Viga com balanco Dados E 2 106 tm2 e bh 20 cm40 cm Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 22 28 Comportamento dos apoios e juntas frente a deformacao da viga a Equacao do momento A partir daı a equacao do momento e M 10x b Equacao da linha elastica Temos que E I 2 106 0 2 0 43 12 2133 33 Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 23 28 Comportamento dos apoios e juntas frente a deformacao da viga Daı temos 2133 33 d2y dx2 10x Integrando temos 2133 33 dy dx 5x2 C1 Integrando essa ultima equacao em x temos 2133 33y 5x3 3 C1x C2 Equacao de elastica Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 24 28 Comportamento dos apoios e juntas frente a deformacao da viga Condicoes de bordo 1 Quando x 4 m temos θ dy dx 0 Entao 2133 33 0 5 42 C1 Logo C1 80 2 Quando x 4 m temos y 0 Entao 2133 33 0 5 3 43 80 4 C2 Logo C2 213 33 Portanto temos y 1 2133 335 3x3 80x 213 33 Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 25 28 Comportamento dos apoios e juntas frente a deformacao da viga Diagramas de deslocamento Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 26 28 Comportamento dos apoios e juntas frente a deformacao da viga Calculo da flecha Quando x 0 implica em y f ou seja f 1 2133 335 3 03 80 0 213 33 0 1 m Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 27 28 Comportamento dos apoios e juntas frente a deformacao da viga Obrigado Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 28 28 Universidade Federal do Sul e Sudeste do Para Instituto de Geociˆencias e Engenharias Faculdade de Engenharia Civil Aula 4 Flambagem em colunas ProfºDr Claudionei Pereira de Oliveira Maraba PA 2025 Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 1 36 Sumario 1 Introducao 2 Conceitos previos 3 Classificacao das colunas 4 Carga crıtica de Euler 5 Formula de Euler 6 Criterios de verificacao de resistˆencia e estabilidade de colunas Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 2 36 Introducao Introducao Tambem chamadas de pilares ou suportes as colunas sao pecas funda mentais das estruturas porque transmitem cargas vindo de cada andar e depois descarregandoos no chao As colunas geralmente sao direcionadas verticalmente e concentram grandes forcas de compressao embora em muitos casos possam aco modar flexoes de menor intensidade Figura 1 Esforcos internos N e M em colunas Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 3 36 Conceitos previos Na figura anterior os vetores Pi e Mi sao as forcas e momentos que cada andar descarrega nos diferentes nıveis dos pilares Tambem sao observadas as reacoes de RF e RM exercidas pelo solo ao receber cargas da estrutura Flambagem Quando aplicamos uma forca de compressao em uma coluna e logico pensar que ela sofrera uma deformacao por encurtamento Entretanto quando o pilar e geometricamente esbelto e alem disso sua carga apresenta uma intensidade conhecida como crıtica ocorrem deformacoes bruscas de flexao que colocam em risco a estabilidade parcial ou total de uma estrutura Veja a figura a seguir Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 4 36 Conceitos previos Figura 2 Tipos de colunas Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 5 36 Conceitos previos Instabilidade Dizemos que um corpo e estavel quando ao ser perturbado por uma ou mais cargas ele permanece em equilıbrio ou em repouso Uma coluna e instavel quando sua condicao de equilıbrio e interrompida ou e afetada por danos significativos em sua estrutura como resultado de uma carga axial crıtica que causa flambagem Forca crıtica de flambagem E a forca limite a partir da qual ocorre a flambagem em um coluna Figura 3 Forca crıtica que produz flambagem Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 6 36 Classificacao das colunas Dependendo do motivo do seu colapso as colunas sao classificadas da seguinte modo Colunas curtas Essas colunas falham por tensao de compressao ou seja a tensao gerada no interior do elemento superou a tensao ad missıvel do material σ σadm Colunas intermediarias Essas colunas colapsam devido a uma com binacao de tensao e flambagem Em outras palavras a tensao e a forca normal na coluna sao maiores que a tensao admissıvel e a forca de flambagem crıtica σ σadm e N Pcrit Colunas esbeltas Sua esbeltez faz com que essas colunas falhem por flambagem ou seja a tensao normal da coluna excede a forca crıtica em magnitude N Pcrit Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 7 36 Carga crıtica de Euler Carga crıtica de Euler O matematico fısico e filosofo suıco Leonhard Paul Euler publicou em 1757 uma formula para calcular a carga crıtica de flambagem em colunas perfeitamente retas feitas de um material homogˆeneo e de secao constante Para concluir sobre esta expressao chamada carga crıtica de Euler Euler procedeu da seguinte forma Passo 1 Coloque uma viga simplesmente apoiada direcionada verti calmente conforme mostrado na figura a seguir Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 8 36 Carga crıtica de Euler Figura 4 Coluna biarticulada Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 9 36 Carga crıtica de Euler Passo 2 No ponto medio da viga coloque uma forca horizontal que produza sua flexao Figura 5 Coluna flexionada por F Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 10 36 Carga crıtica de Euler Passo 3 No topo da viga introduza uma forca normal muito pequena P 0 que nao modifica sua configuracao deformativa Figura 6 Introducao de carga P Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 11 36 Carga crıtica de Euler Passo 4 Aumente gradualmente a forca P e diminua a forca F mantendo a deformacao da barra Passo 5 Quando a forca F chega a zero a carga P e chamada crıtica Figura 7 Carga crıtica em sua maxima intensidade Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 12 36 Formula de Euler A formula para analise da carga crıtica de flambagem proposta por Euler apresenta um coeficiente que depende das condicoes de apoio do pilar Os casos mais comuns sao Articulado Articulado EngastadoLivre EngastadoEngastado EngastadoArticulado Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 13 36 Formula de Euler Apoio da coluna ArticuladoArticulado Figura 8 Deformacao de coluna biarticulada Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 14 36 Nesse caso como d²ydx² MEl temos d²ydx² P yEl Assim teremos d²ydx² PyEl 0 A equação caracteristica associada a essa EDO 2ª ordem é λ² PEl 0 cuja solução é y c₁ cos PEl x c₂ sen PEl x Condição de bordo x0 e y0 Essa condição implica em 0 c1 cosPEI 0 c2 senPEI 0 e daí vem c10 Condição de bordo x0 e yL Com essa condição temos 0 c2 senPEI L e daí temse PEI L nπ n123 Formula de Euler Isolando P temos Pcrit n2 E I π2 L2 E I π2 Ln2 Substituindo 1n k temos Pcrit E I π2 k L2 ou ainda Pcrit E I π2 Le2 onde Le comprimento efetivo de flambagem k Coeficiente de comprimento de flambagem efetivo Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 17 36 Formula de Euler O valor de n depende do numero de intervalos da coluna Figura 9 Coluna varias secoes Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 18 36 Formula de Euler Apopio da coluna EngastadoLivre Figura 10 Deformacao da coluna em balanco Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 19 36 Nesse caso temos a equação diferencial de 2ª ordem d²ydx² PEIy P ΔEI cuja solução geral é y c1 cosPEI x c2 senPEI x Δ A partir daí impondo as condições de contono temse Pcrit E I π² Le² donde k 2 Formula de Euler Apopio da coluna EngastadoEngastado Figura 11 Deformacao da coluna biengastada Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 21 36 Nesse caso temos a equação diferencial de 2ª ordem d²ydx² PEI y MEI cuja solução geral é y c1 cosPEI x c2 senPEI x MP A partir daí impondo as condições de contono temse Pcrit E I π² Le² donde k 05 Formula de Euler Apopio da coluna EngastadoArticulado Figura 12 Deformacao da coluna engastadaarticulada Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 23 36 Nesse caso temos a equação diferencial de 2ª ordem d²ydx² PEIy HxEI cuja solução geral é y c₁ cosPEIx c₂ senPEIx HxP A partir daí impondo as condições de contono temse Pcrit Elπ²Le² onde k 07 Formula de Euler Resumindo temos Figura 13 Deformacao da coluna engastadaarticulada Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 25 36 A partir da carga crítica de flambagem temos a tensão crítica de flambagem σcr PcrA π²EAr²AL² ou ainda σcr π²ELr² onde E é o módulo de elasticidade do material r IA é o raio de giração e L é o comprimento da coluna A razão Lr na equação acima representa o índice de esbeltez λ de uma coluna Formula de Euler Segundo a NBR 6118 2014 O espacamento longitudinal entre estribos medido na direcao do eixo do pilar para garantir o posicionamento impedir a flambagem das barras longitudinais e garantir a costura das emendas de barras lon gitudinais nos pilares usuais deve ser igual ou inferior ao menor dos seguintes valores 1 200mm 2 menor dimensao da secao 3 24 ϕ para CA25 12 ϕ para CA50 Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 27 36 Formula de Euler Figura 14 Deformacao por flambagem Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 28 36 Formula de Euler Figura 15 Espacamento dos estribos Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 29 36 Criterios de verificacao de resistˆencia e estabilidade de colunas Uma coluna para ser resistente e estavel deve atender as seguintes condicoes 1ª Condicao A tensao de compressao maxima deve ser menor ou igual a tensao admissıvel do material σ N A σadm onde 1 N e o esforco normal maximo na coluna 2 A e a area da secao tranvesal 3 σadm e a tensao admissıvel por compreensao Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 30 36 Criterios de verificacao de resistˆencia e estabilidade de colunas 2ª Condicao A forca de compressao na coluna nao deve exceder a forca de flambagem crıtica proposta por Euler c P Pcrit ou ainda c P E I π2 k L2 onde 1 c e o coeficiente de seguranca que depende do material 2 P e a forca de compreensao 3 E e o modulo de elasticidade 4 I e o momento de inercia 5 L e comprimento da coluna 6 k e o coeficiente de comprimento de flambagem efetivo Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 31 36 Criterios de verificacao de resistˆencia e estabilidade de colunas Exemplo Verifique a resistˆencia da seguinte coluna Dados E 291241kgm2 σadm 250kgcm2 γ 2 5 tm3 bh 20cm40cm e c 1 5 Figura 16 Coluna engastada em balanco Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 32 36 Criterios de verificacao de resistˆencia e estabilidade de colunas Solucao Condicao de tensao Devemos verificar se NA σadm Note que N P Peso proprio ou seja N 80 2 5 0 2 0 4 6 81 2 t 81200 kg Logo 81200 kg 20 40 101 5 kgm2 250 kgm2 ok Condicao de flambagem Devemos verificar se c P E I π2 k L2 k 2engastadolivre Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 33 36 Criterios de verificacao de resistˆencia e estabilidade de colunas A coluna sempre estara predisposta a flexionar na direcao da menor inercia A partir disso temos 1 5 80000kg 291241 kgm2 40 cm20 cm3 12 π2 2 600 cm ou seja 12000 kg 5 32 kg nao ok Logo a coluna falha por flambagem Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 34 36 Criterios de verificacao de resistˆencia e estabilidade de colunas Exercıcio Calcule a secao mınima que suporta a seguinte carga Despreze o peso proprio Dados σadm 200 kgcm2 E 2 9 105 kgcm2 c 1 4 Figura 17 Coluna engastadaarticulada Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 35 36 Criterios de verificacao de resistˆencia e estabilidade de colunas Obrigado Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 36 36 Questão 02 Calcule o deslocamento do ponto A Dados E 210⁶ tm² Figura 2 Estrutura rígida e sistema de cabos Resposta 885 mm Solução Observe os passos seguintes Passo 1 Cálculo do esforço normal no cabo Fazendo o somatório dos momentos no ponto B temos ΣMB 0 3N₁ 510 0 N₁ 1666 t Passo 2 Cálculo da deformação axial Usando a expressão ΔL NLEA teremos ΔL 1666 t3 m210⁶ tm²π00254²4 49318 cm Passo 3 Cálculo do deslocamento do ponto A Observe a figura Note que todas as barras giram o mesmo ângulo θ Da geometria da figura temse tgθ 4931 cm 3m 00164 Logo tgθ Δ₁ 3 Δ₁ 00164 3 m Δ₁ 49318 cm Do mesmo modo temos tgθ Δ₂ 2 Δ₂ 00164 2 m Δ₂ 32879 cm e tgθ Δ₃ 2 Δ₃ 00164 2 m Δ₃ 32879 cm Além disso da figura temse ΔH Δ₂ 32879 cm e ΔV Δ₁ Δ₃ 49318 cm 32879 cm 82197 cm Portanto ΔA ΔH² ΔV² 32879 cm² 82197 cm² 88529 cm Universidade Federal do Sul e Sudeste do Para Instituto de Geociˆencias e Engenharias Faculdade de Engenharia Civil Aula 1 Deformacao Simples Revisao ProfDr Claudionei Pereira de Oliveira Maraba PA 2025 Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 1 23 Sumario 1 Conceito de deformacao 2 Conceitos gerais Tipos de deformacoes 3 Curva de TensaoDeformacao Curva de TensaoDeformacao 4 Formula para o calculo da deformacao axial Formula para o calculo da deformacao axial 5 Elementos deformaveis e nao deformaveis 6 Representacao grafica das deformacoes 7 Deslocamente versus deformacao Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 2 23 Conceito de deformacao Conceito de deformacao A deformacao e a mudanca de forma que um corpo experimenta quando e afetado por uma ou varias cargas Consiste no rearranjo que as partıculas sofrem no interior de um mate rial quando este e afetado por um agente externo como seu proprio peso forcas externas variacoes termicas etc As estruturas sofrem diferentes tipos de deformacoes dependendo das cargas que atuam sobre elas Por exemplo em um edifıcio deformacoes de compressao e flexao devido a cargas gravitacionais sao muito co muns assim como deformacoes laterais produzidas por cargas como o vento Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 3 23 Conceito de deformacao Veja as figuras a seguir Figura 1 Deformacoes devido a carga gravitacional e carga lateral Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 4 23 Conceitos gerais Tipos de deformacoes Tipos de deformacoes Deformacao axial normal ou linear Sao deformacoes causadas por alongamento ou encurtamento produ zido no sentido longitudinal de uma barra Flexao Curvatura que ocorre em um elemento do tipo barra devido a uma carga transversal ao seu eixo central Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 5 23 Conceitos gerais Tipos de deformacoes Figura 2 Deformacao por flexao Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 6 23 Conceitos gerais Tipos de deformacoes Distorcao angular Deformacao do tipo rosca produzida por momentos girando em torno do eixo central da barra Figura 3 Deformacao devido ao momento de torcao Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 7 23 Curva de TensaoDeformacao Curva de TensaoDeformacao Curva de TensaoDeformacao Suponha que temos o seguinte corpo de prova ao qual aplicaremos forca axial gradualmente Figura 4 Corpo de prova de tracao Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 8 23 Curva de TensaoDeformacao Curva de TensaoDeformacao De maneira continua mediram sua tensao e deformacao unitaria 1 Tensao axial σ F A 2 Deformacao unitaria ε L L Com estes valores sao formados pares ordenados ε σ e com eles e ajustada a seguinte curva de tensoes e deformacoes Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 9 23 Curva de TensaoDeformacao Curva de TensaoDeformacao Figura 5 Curva de tensaodeformacao Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 10 23 Curva de TensaoDeformacao Curva de TensaoDeformacao onde A Inicio do ensaio B Limite de proporcionalidade C Limite elastico D Inicio de fluˆencia E Fim da fluˆencia F Ponto de maxima tensao G Colapso As tensoes mais representativas deste ensaio sao σy resistˆencia a tensao caracteristica do regime elastico σflu tensao de fluˆencia σrot tensao de ruptura σmax tensao maxima Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 11 23 Curva de TensaoDeformacao Curva de TensaoDeformacao Os intervalos de comportamento produzidos durante o teste sao Faixa Elastica Nesta faixa o material tem a capacidade de reverter sua deformacao quando a carga que a produz e removida Faixa plastica O material perde a capacidade de reverter sua deformacao Tambem e observada uma secao significativa de fluˆencia que e caracterizado por manter uma deformacao prolongada sem que mude sua tensao Faixa de fissuracao e colapso Nesta faixa o material comeca a adquirir seu limite maximo de tensoes e fissuras e rachaduras sao geradas ate que termina em colapso Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 12 23 Curva de TensaoDeformacao Curva de TensaoDeformacao Estudaremos as deformacoes dentro da faixa elastica adotando o limite de proporcionalidade Figura 6 Faixa elastica Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 13 23 Curva de TensaoDeformacao Curva de TensaoDeformacao A partir daı tg θ σ1 ε1 σ2 ε2 Por definicao temos tg θ E onde E e o modulo de elasticidade do material Logo temse E σ ε ou seja σ E ε Lei de Hooke Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 14 23 Formula para o calculo da deformacao axial Formula para o calculo da deformacao axial Suponha que temos uma barra com carga axial em equilıbrio Figura 7 Deformacao axial Dependendo do material e de seu comportamento elastico linear temos as seguintes expressoes σ E ε 1 σ FA 2 ε LL 3 Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 15 23 Formula para o calculo da deformacao axial Formula para o calculo da deformacao axial Substituindo 2 e 3 em 1 teremos F A E L L e isolando L obtemos L F L E A onde L e a deformacao axial L e comprimento inicial F e a forca normal ou axial A e a area da secao transversal E e o modulo de elasticidade do material Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 16 23 Elementos deformaveis e nao deformaveis Elementos rıgidos ou indeformaveis Os sistemas estruturais que analisaremos neste topico conterao os seguintes tipos de elementos a Elementos rıgidos ou indeformaveis Sao elementos que nao se deformam mas podem se mover longitudinalmente e angularmente Isso dependera do tipo de suporte ou junta que eles contˆem Esses tipos de elementos sao representados por meio de figuras bidimensionais preenchidas com linhas de sombra ou linhas hachuradas Figura 8 Barras indeformaveis Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 17 23 Elementos deformaveis e nao deformaveis Elementos deformaveis b Elementos deformaveis Representados por cabos ou barras flexıveis sem enchimentos estes elementos se deformam axialmente e tambem se movem longitudinalmente e angularmente Figura 9 Elementos deformaveis Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 18 23 Representacao grafica das deformacoes Criterio de Williot Criterio de Williot As barras ou cabos que formam as estruturas ao girarem um pequeno ˆangulo α descrevem uma trajetoria circular na qual ao se decompor em um deslocamento perpendicular e outro paralelo a barra fica evidente que o deslocamento que e paralelo a barra tende a zero e portanto e desprezıvel Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 19 23 Representacao grafica das deformacoes Aplicando o criterio de Williot o deslocamento dessas barras sera o seguinte Figura 10 Rotacao com trajetoria perpendicular Para resumir o criterio de Williot diremos que qualquer barra ou cabo ao girar um pequeno ˆangulo α descreve uma trajetoria perpendicular ao eixo central da barra Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 20 23 Deslocamente versus deformacao Deslocamente versus deformacao As deformacoes de uma barra ou cabo descrevem deslocamentos longitu dinais ou angulares em outros elementos cujos apoios dependem daqueles Vejamos os seguintes casos Caso 1 A barra 1 quando deformada encurtamento faz com que a barra 2 se mova translacao vertical Observe que a barra 2 nao tem carga e portanto nao se deforma Figura 11 Deformacao e deslocamento axial Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 21 23 Deslocamente versus deformacao Caso 2 O cabo ao ser deformado alongamento produz a rotacao da barra deslocamento angular θ e o deslocamento do ponto A translacao vertical Figura 12 Rotacao da barra por deformacao do cabo Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 22 23 Deslocamente versus deformacao Obrigado Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2025 23 23 Dados 00254 m 1 in d1 00381 m 15 in d2 00254 m d1 d3 00381 m d2 d4 2 m 2 1010 kg 2 m t 2 107 E 00005 m2 2 4 d1 π Area1 00011 m2 2 4 d2 π Area2 00005 m2 2 4 d3 π Area3 3 m l1 00011 m2 2 4 d4 π Area4 3 m l2 3 m l3 3 m l4 Diagrama de corpo livre Barra 1 Como o sistema tem simetria geométrica e de esforços as reações em vermelho são idênticas 8000 kg 2 2 8 t R1 8000 kg R1 R2 Ambos os cabos estão sob tração então a variação de tamanho nos cabos 1 e 2 é l Δ E σ l Δ E A F 00024 m Area1 E l1 R1 Δ1 00011 m Area2 E l2 R2 Δ2 Diagrama de corpo livre Barra 2 Somatória de momentos em relação a ponta do cabo 3 12000 kg m 45 45 m R2 2 m 3 m 3 m t 4 R4 Somatória de forças em y 16000 kg R4 3 m m 4 t R1 R2 R3 12 mai 2025 055859 11sm 1 2 Novamente ambos os cabos estão em tração A variação de tamanho de ambos os cabos é 00047 m Area3 E l3 R3 Δ3 00016 m Area4 E l4 R4 Δ4 Calculando o deslocamento do ponto C e B 00071 m Δ3 Δ1 ΔC 00026 m Δ4 Δ2 ΔB Então o deslocamento do ponto A é 56136 mm ΔB ΔC 45 15 ΔC ΔA 00569561 asin m 45 ΔB ΔC 00569561 atan m 45 ΔB ΔC 12 mai 2025 055859 11sm 2 2 1 in d1 2 m 2 1010 kg 2 m t 2 107 E 00005 m2 2 4 d1 π A Comprimento do cabo 44721 m 4 m 2 2 m 2 L Ângulo do cabo 634349 atan 2 4 α Equlibrio de momentos pela rótula 52500 kg m 4 30 t 7 m F1y Calculo da força no cabo 586967844 kg sin α F1y Fcabo Deformação no cabo 00259 m A E L Fcabo ΔL 4498 m L ΔL Lfinal m 00289 80289 m m solve 2 m 2 Δy Δy m 2 4 m Lfinal Δy 00289 m Max Δy Δy Então fazendo a regra de 3 para o ponto A 50643 cm 4 Δy 7 ΔyA 12 mai 2025 055916 2sm 1 1 00254 m 1 in d1 2 m 2 109 kg 2 m t 2 106 Ebarra 01 m 10 cm b2 03 m 30 cm h2 01 m 10 cm b3 03 m 30 cm h3 003 m2 h2 b2 A2 003 m2 h3 b3 A3 2 m 6 1010 kg 2 m t 6 107 Ecabo 00005 m2 2 d1 4 π Acabo 35 m Lcabo Encontrando o comprimento das barras pelo teorema dos senos 29282 m sin 60 45 180 4 m sin 45 L3 35863 m sin 60 45 180 4 m sin 60 L2 25359 m sin 45 L2 h Força no cabo 10000 kg m 6 20 t 3 m Fcabo Deformação cabo 00012 m Acabo Ecabo Lcabo Fcabo ΔLcabo Balanço de forças no nó B 20000 kg Fcabo 10 t Fy 10000 kg 10 t Fx 223606798 kg 2 Fy 2 Fx Fresultante 265651 atan Fy Fx α 186591678 kg sin 5656 Fresultante F2 70729379 kg sin 1844 Fresultante F3 12 mai 2025 055947 3sm 1 2 Deformação nas barras 00011 m Ebarra A2 L2 F2 ΔL2 00003 m Ebarra A3 L3 F3 ΔL3 Comprimentos finais 35874 m L2 ΔL2 Lf2 29285 m L3 ΔL3 Lf3 Com o novo triangulo Descobrindo Beta 450009 solve 0 1 β cos β Lf2 4 m 2 2 Lf2 4 m 2 2 Lf3 β Então h2 25367 m Lf2 sin β h finalmente a variação de cota do nó das barras 00008 m h h Δy Somando com a deformação do cabo 19811 mm ΔLcabo Δy Δa 12 mai 2025 055947 3sm 2 2 2 m 2 109 kg 2 m t 2 106 E 00254 m 1 in d1 2 m Lcabo Somatória de momentos em A 40000 kg m 3 20 t 6 m Fcabo 00005 m2 2 d1 4 π Acabo 00789 m Acabo E Lcabo Fcabo ΔLcabo Então o deslocamento do ponto C fica 157882 cm m 3 m ΔLcabo 6 ΔLC 12 mai 2025 055957 4sm 1 1 2 cm t 200 2 m t 2 106 E 00508 m 2 in d1 3 m Lcabo Somatória de momentos em relação a A 24000 kg m 2 4 m 4 m m t 3 Fcabo Area do cabo 0002 m2 2 d1 4 π Acabo 00178 m Acabo E Lcabo Fcabo ΔLcabo Então o deslocamento vertical em C 53285 cm m ΔLcabo 2 6 m Δvc Angulo de rotação 05088 atan m 6 Δvc α 08881 cm 1 m sin α ΔHC 12 mai 2025 060008 5sm 1 1