Matemática Financeira - Juros Simples e Compostos: Conceitos e Aplicações

TEMA 1 Matemática Financeira Juros Simples e Compostos A evolução tecnológica e as transformações nas relações entre empresas cada vez mais instáveis e impressionantemente rápidas induzem a busca de alternativas para garantir a sustentabilidade dos negócios neste ambiente hostil A Engenharia Econômica que usa a matemática financeira como ferramenta básica de avaliação entre as relações entre tempo e dinheiro é a alternativa usada nesta situação Quando situações econômicas são avaliadas as quantias de dinheiro são relacionadas a um fator incontrolável o tempo A data de uma operação é a base por onde serão calculados os juros envolvidos até a data futura desejada Juros e Taxa de Juros Não considerar o efeito dos juros em uma análise leva invariavelmente a uma decisão errada o que pode comprometer o sucesso de uma atividade econômica Uma soma de dinheiro pode ser equivalente a outra diferente mas num ponto diferente no tempo O que proporciona a equivalência é o dinheiro pago pelo uso do dinheiro os JUROS Enfim o juro é quem cria o valor do dinheiro no tempo O juro devese entre outros fatores de menor importância a Oportunidade Inflação Risco Um real recebido hoje não será equivalente a um real recebido dentro de n anos Juros Simples São aqueles onde somente o capital renderá juros ou seja os juros serão diretamente proporcionais ao capital requerido onde Principal presente Taxa de Juros Número de Períodos de Juros P i n Exemplo didático Uma empresa toma emprestados 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 ao mês Quanto ela deverá pagar ao final de 6 meses J 10000 x 005 x 6 J 300000 A empresa deve pagar 1300000 pelo empréstimo feito sendo que 300000 serão somente referente aos juros do período do empréstimo Juros Compostos Irão incorporar ao capital os próprios rendimentos dos juros do período anterior Desta forma quando compostos os juros também irão render juros são os juros sobre juros onde Principal presente Taxa de Juros Número de Períodos de Juros Exemplo didático Uma empresa toma emprestados 1000000 a uma taxa de juros compostos de 5 ao mês Quanto ela deverá pagar ao final de 6 meses J 10000 x 10056 10000 J 340096 A empresa deve pagar 1340096 pelo empréstimo feito sendo que 340096 serão referentes aos juros do período do empréstimo P i n P i P J n 1 P i n J Recapitulando Juros Compostos é quando o juro gerado pela aplicação será incorporado à mesma passando a participar do cálculo do juros do período seguinte Dizse então que os juros são capitalizados pois não só o valor inicial rende juros como também os juros devidos são calculados sobre os juros formados anteriormente A maioria das operações financeiras empréstimos pessoais compras à prazo etc utiliza juros compostos e valores iguais nas prestações a famosa Tabela Price Juros Simples vs Compostos Comportamento destes juros quando solicitado um capital P 10000 a uma taxa de juros i 10 ao ano por um período n 10 anos Taxa Nominal e Efetiva Taxa Nominal in São taxas que servem de referência para uma capitalização É aquela em que a unidade de referência de tempo não coincide com a unidade de tempo dos seus períodos de capitalização Taxa nominal de 60 aa com capitalização mensal cm Taxa nominal de 5 am com capitalização nos dias úteis de determinado mês Taxa Efetiva ie São aquelas em que a unidade de referência de tempo a que se referem coincidem com a unidade de tempo efetiva dos períodos de capitalização Taxa de 5 am com capitalização mensal cm Taxa de 12 aa com capitalização anual ca A matemática financeira baseiase em taxas de juros efetivas Sendo assim as taxas nominais devem ser convertidas em taxas efetivas Conversão de taxas de juros de mesmo período de capitalização Para converter uma taxa de juros nominal em taxa de juros efetiva de mesmo período de capitalização fazse onde taxa de juros efetiva taxa de juros nominal número de períodos de composição da taxa de juros isto é número de vezes que a taxa nominal é capitalizada Exemplo didático 20 aa cm Determinar a taxa efetiva mensal 20 aa cm 167 am cm 12 Para converter uma taxa de juros nominal em taxa de juros efetiva de mesmo período de aplicação fazse onde taxa de juros efetiva taxa de juros nominal número de períodos de composição da taxa de juros isto é número de vezes que a taxa nominal é capitalizada n i i NOMINAL EFETIVA EFETIVA i NOMINAL i n EFETIVA i NOMINAL i n Exemplo didático 20 aa cm Determinar a taxa efetiva anual 1 02 aa cm 12 1 2194 aa ca 12 Equivalência de Taxas Taxas Equivalentes Duas taxas são equivalentes se considerados o mesmo prazo e o mesmo valor é indiferente aplicar uma ou outra taxa produzem o mesmo rendimento Na capitalização simples duas taxas proporcionais são também equivalentes Por exemplo uma taxa de juros de 05 ao mês é equivalente a 6 ao ano im ia 12 Na capitalização composta não Veja o caso No regime de juros compostos o capital de R 10000 em uma aplicação que paga 10 am representa o rendimento em um trimestre de F 100113 S 10 1331 F R 13310 Portanto o rendimento no trimestre foi de 331 Logo 10 ao mês é equivalente a 331 ao trimestre A expressão matemática básica para equivalências em juros compostos é 1 ia 1 ipn onde ia taxa anual ip taxa período n número de períodos Podemos generalizar o cálculo da equivalência entre taxas assim F P 1 iⁿ Conversão de taxas de juros efetivas de períodos diferentes juros compostos taxa de juros efetiva do período maior taxa de juros efetiva do período menor quantidade de períodos menores m existentes no período maior M A PARTIR DA TAXA MENSAL DE 2 AO MÊS JUROS COMPOSTOS DETERMINAR AS SEGUINTES TAXAS EQUIVALENTES id is e ia EFEM i EFEm i Q Fluxo de Caixa Exemplo didático Represente o seguinte fluxo de caixa de um projeto O projeto consiste de um investimento de 800 hoje e 500 daqui a um ano e renderá 2000 em 4 anos e 1500 dentro de 5 anos Equivalência entre P Valor Presente e F Valor Futuro Investindo hoje uma quantia P qual será o montante F que eu terei após n períodos juros compostos Qual valor deverá ser investido hoje P para se obter um montante F após n períodos dada uma taxa de juros compostos i Exemplo didático Carlos solicitou um empréstimo de R 600000 a uma taxa de juros compostos de 3 ao mês para saldar em um ano Quanto ele deverá pagar ao final do ano de empréstimo Permite calcular um valor presente P equivalente a uma série uniforme p pagamentos ou recebimentos dada a taxa de juros compostos i i n P F 1 Exemplo didático Você recebeu uma oferta para aquisição de uma máquina através de um financiamento em 36 meses Considerando que o pagamento máximo mensal que você pode admitir é de R50000 e que você pode dar uma entrada de R300000 qual é o valor da máquina que você poderá comprar dado que a taxa juros compostos é de 2 am Permite calcular um valor futuro F equivalente a uma série uniforme p pagamentos ou recebimentos dada a taxa de juros compostos i Correção Monetária A contínua desvalorização da moeda exige que novos métodos sejam incorporados à análise para que seja possível representar esta desvalorização Desta forma a correção monetária é o método que a matemática financeira utiliza para levar em conta a desvalorização reduzindo a mesma PréFixada PósFixada Correção Monetária PréFixada Nestes casos a inflação é considerada na análise através da correção monetária que aumenta a taxa percentual passando a incluir na mesma a taxa de juros e a correção monetária préfixada conforme segue onde taxa global de juros ou inflacionada taxa referencial correção monetária taxa real de juros Correção Monetária Pós Fixada Nessa situação a correção monetária fica em aberto e seus valores só serão conhecidos com o decorrer do tempo à medida em que os índices de inflação ou de correção vão sendo publicados Esse tipo de prática exige a indexação dos valores do fluxo de caixa Esses índices IGPM CUB OURO DÓLAR entre outros funcionarão como deflatores enxugando a inflação Exemplo didático Uma financeira oferece duas modalidades alternativas de financiamento a Com correção monetária pósfixada mais 12 aa b Com correção monetária préfixada 102 ao ano Qual a taxa de correção monetária TR prevista pela financeira i TR i