Teste Qui-Quadrado: Análise Estatística de Contagens em Tabelas de Contingência

Teste Qui quadrado Ana Júlia Câmara Objetivo Estudar métodos estatísticos para analisar contagens em uma tabela de contingência tabela de dupla entrada As tabelas de contingência são tabelas de contagens de dados categóricos de duas variáveis Uma variável é utilizada para categorizar linhas A outra variável é utilizada para categorizar colunas Tabelas de contingência Exemplo 1 numa pesquisa para avaliar a opinião sobre o aborto realizada pelo Instituto Eagleton 1200 homens foram entrevistados sendo 800 entrevistados por pessoas do sexo masculino e 400 por pessoas do sexo feminino Desse total de entrevistados 868 disseram concordar com a seguinte frase O aborto é um problema de natureza privada cuja decisão deve ficar a critério da mulher sem interferência do governo Os resultados de acordo com a resposta do entrevistado e sexo do entrevistador são resumidas na tabela ao lado De acordo com Triola 2017 a palavra contingente entre outros significados refere se a uma dependência de algum outro fator Dessa forma o termo tabela de contingência é utilizado para testar a independência entre as variáveis linha e coluna Em um teste de independência testase a hipótese nula de que em uma tabela de contingência as variáveis linha e coluna são independentes ou seja não existe relação de dependência entre as variáveis Voltando ao exemplo Pergunta A opinião do entrevistado é independente do sexo da pessoa que o entrevista O objetivo da pesquisa consiste em verificar se a opinião do entrevistado sobre o polêmico assunto é influenciada pelo sexo do entrevistador A Tabela 1 também é conhecida como tabela 2 x 2 tabela dois por dois pois cada variável possui duas categorias gerando uma tabela com 4 caselas Existem também tabelas 3 x 2 3 x 3 e assim por diante Teste quiquadrado independência 01 Teste quiquadrado homogeneidade 02 Teste quiquadrado aderência 03 Teste quiquadrado de independência 01 Teste Quiquadrado de Independência Para realizar esse teste vamos utilizar a mesma estrutura dos testes de hipóteses Hipóteses nula e alternativa 𝐻𝑜 as variáveis linha e coluna são independentes 𝐻1 as variáveis linha e coluna são dependentes 𝐻𝑜 a opinião do entrevistado sobre aborto independe do sexo do entrevistador 𝐻1 a opinião do entrevistado sobre aborto depende do sexo do entrevistador Sob a hipótese nula de que as variáveis são independentes qual seria a tabela de contingência que deveríamos esperar no caso da pesquisa da Tabela 1 Do total de 1200 entrevistados 868 723 concordam com a afirmação Portanto se as variáveis são independentes deveríamos esperar esse mesmo percentual tanto entre os que foram entrevistados por pessoas do sexo feminino 400 como entre os que foram entrevistados por pessoas do sexo masculino 800 Logo deveríamos esperar 5786 0723 x 800 homens que concordam com a afirmação e que foram entrevistados por homens A mesma proporção deveria acontecer entre os 400 homens que foram entrevistados por mulheres ou seja deveríamos esperar 2893 0723 x 400 homens que concordam com a afirmação e que foram entrevistados por mulheres Dessa forma podemos montar uma tabela esperada sob a hipótese de independência hipótese nula Podemos comparar a tabela esperada Tabela 2 com a tabela observada Tabela 1 e verificar a distância entre os valores Se a distância entre os valores observados e esperados for pequena então há evidência à favor da hipótese de independência entre as variáveis Se a distância entre os valores observados e esperados for grande então há evidência suficiente para rejeitar a hipótese de independência entre as variáveis Mas como medir e distância entre o observado e esperado sob a hipótese nula A Estatística de teste para medir a distância entre as tabelas observada e esperada é conhecida como 𝜒2 leia quiquadrado e é definida como 𝝌𝟐 𝑶 𝑬𝟐 𝑬 𝒐𝟏𝟏 𝒆𝟏𝟏𝟐 𝒆𝟏𝟏 𝒐𝟏𝟐 𝒆𝟏𝟐𝟐 𝒆𝟏𝟐 𝒐𝟐𝟏 𝒆𝟐𝟏𝟐 𝒆𝟐𝟏 𝒐𝟐𝟐 𝒆𝟐𝟐𝟐 𝒆𝟐𝟐 𝒐𝟏𝟏 frequência observada na linha 1 e coluna 1 𝒐𝟏𝟐 frequência observada na linha 1 e coluna 2 𝒐𝟐𝟏 frequência observada na linha 2 e coluna 1 𝒐𝟐𝟐 frequência observada na linha 2 e coluna 2 𝒆𝟏𝟏 frequência esperada na linha 1 e coluna 1 𝒆𝟏𝟐 frequência esperada na linha 1 e coluna 2 𝒆𝟐𝟏 frequência esperada na linha 2 e coluna 1 𝒆𝟐𝟐 frequência esperada na linha 2 e coluna 2 Tabela 1 Observada Sexo do entrevistador Resposta Total Feminino 308 92 400 Masculino 560 240 800 Total 868 332 1200 Tabela 2 Esperada Sexo do entrevistador Resposta Total Feminino 2893 1107 400 Masculino 5786 2214 800 Total 868 332 1200 Estatística de teste χ² 308 2893² 2893 92 1107² 1107 560 5786² 5786 240 2214² 2214 χ² 653 𝝌𝟐 𝟔 𝟓𝟑 pode ser considerada uma diferença grande sob a hipótese de que as variáveis são independentes Grandes valores da estatística de teste 𝜒2 revelam diferenças significativas entre as frequências observadas e esperadas Para decidirmos se 653 é um valor grande vamos recorrer à distribuição de probabilidade de 𝝌𝟐 sob a hipótese nula A distribuição de 𝝌𝟐 sob a hipótese de independência chamase distribuição Qui quadrado Grandes valores das estatística de teste 𝝌𝟐 formam a região de rejeição da hipóteses nula Esses valores encontramse na região extrema direita da distribuição qui quadrado Assim como a distribuição tstudent a distribuição quiquadrado também depende dos graus de liberdade Para cada valor do grau de liberdade existe uma distribuição quiquadrado Para determinar o valor crítico que delimita a região de rejeição existe uma tabela Quiquadrado Área à Direita do Valor Crítico Graus de liberdade 995 975 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 25 1 05 1 0010 0020 0001 0004 0016 0071 0211 0605 0847 1408 2319 3841 5024 6635 7879 2 0010 0020 0001 0004 0016 0071 0211 0605 0847 1408 2319 3841 5024 6635 7879 3 0072 0115 0216 0352 0584 0784 1064 1447 1942 2568 3325 4251 5385 6636 7832 4 0207 0297 0484 0711 1064 1647 1964 3574 5938 7927 10018 12337 15023 18061 21800 Hipóteses nula e alternativa H0 a opinião do entrevistado sobre o aborto é independente do sexo do entrevistador H1 a opinião do entrevistado sobre o aborto é dependente do sexo do entrevistador Estatística de teste χ² 308 2893² 2893 92 1107² 1107 560 5786² 5786 240 2214² 2214 653 Nível de significância e Região crítica Graus de liberdade 2 1 2 1 1 α 5 χ²vc 3841 Conclusão Existe evidência estatística ao nível de 5 de significância a favor da hipótese de que a opinião do entrevistado sobre o aborto é dependente do sexo do entrevistador Exercício 1 Perguntouse a sujeitos selecionados aleatoriamente sobre o uso da maconha para finalidades médicas Os resultados são apresentados na tabela abaixo a Qual o valor da estatística de teste b Considerando que o teste será realizado ao nível de significância de 10 qual o valor crítico c Há evidência estatística para rejeitar a hipótese nula de independência d Conclua o teste Instructions for use Observado Esperado Exercício 2 Um pesquisador está interessado em determinar se existe alguma associação entre o tipo de mídia que as pessoas consomem e sua faixa etária Ele entrevista 300 participantes e pede que eles indiquem sua faixa etária jovem adulto ou idoso e seu tipo de mídia preferido TV internet ou rádio Os dados coletados são os seguintes Jovem TV 50 Internet 30 Rádio 20 Adulto TV 60 Internet 40 Rádio 30 Idoso TV 40 Internet 20 Rádio 10 Use um teste quiquadrado para verificar se a preferência de mídia é independente da faixa etária das pessoas Use um nível de significância de 005 02 Teste quiquadrado de homogeneidade Teste Quiquadrado de Homogeneidade Com o teste de independência estávamos interessados em verificar se variáveis linha e coluna de uma tabela de contingência eram ou não independentes Além disso em uma tabela de contingência podemos estar interessados em avaliar se populações distintas possuem ou não a mesma proporção de uma determinada característica O teste de homogeneidade é um teste da afirmativa de que populações diferentes têm a mesma proporção de alguma característica Exemplo 2 Em um estudo para verificar a eficácia de duas marcas de remédio no controle de hiperatividade 400 hiperativos foram divididos aleatoriamente em 2 grupos de mesmo tamanho O objetivo do estudo é saber se as drogas possuem ou não a mesma eficácia para o controle da hiperatividade Essa pergunta foi feita da seguinte maneira 1 A proporção de pessoas que tiveram hiperatividade controlada com a droga A é igual à proporção de pessoas que tiveram a hiperatividade controlada pela droga B 2 As proporções são homogêneas Exemplo 2 cont Após o tratamento verificouse quantas pessoas ainda estavam com sintomas de hiperatividade A classificação dos grupos se dá em duas categorias da qual uma será chamada de sucesso geralmente a categoria de mais interesse No ex 2 o sucesso será a hiperatividade controla ou seja a resposta Não da Tabela 3 Hipóteses nula e alternativa 𝐻𝑜 as proporções de sucesso nos 2 grupos são homogêneas iguais 𝐻1 as proporções de sucesso nos 2 grupos não são homogêneas 𝐻𝑜 a proporção de pessoas com hiperatividade controlada nos dois grupos são homogêneas 𝐻1 a proporção de pessoas com hiperatividade controlada nos dois grupos não são homogêneas Considerando a hipótese de homogeneidade das proporções hipótese nula poderíamos pensar no que seria esperado caso essa hipótese fosse verdadeira Novamente vamos obter a tabela de frequências esperadas e utilizar a Estatística de teste Quiquadrado para decidir sobre a homogeneidade das proporções Do total de 400 hiperativos do estudo 116 29 tiveram os sintomas de hiperatividade controlados Se as proporções de sucesso são homogêneas esperase a mesma proporção de pessoas que tiveram os sintomas de hiperatividade controlados 29 tanto no grupo que tomou a droga A quanto no grupo que tomou a droga B Seguindo o mesmo raciocínio esperase uma proporção de pessoas com sintomas de hiperatividade de 28440071 tanto no grupo A quanto no B Instructions for use Estatística de teste Tabela 2 x 2 Graus de liberdade 2 1 2 1 1 α 5 χ²vc 3841 Nível de significância e Região crítica Graus de liberdade 2 1 2 1 1 α 5 χ²vc 3841 Região de não rejeição 5 Região de rejeição 3841 486 Conclusão Existe evidência estatística ao nível de 5 de significância a favor da hipótese de que as proporções de pessoas com a hiperatividade controlada nos dois grupos não são iguais Exercício 3 Duzentos estudantes do sexo masculino com idade entre 15 e 18 anos foram consultados a respeito de seu esporte preferido A mesma consulta foi feita para duzentos estudantes do sexo feminino nessa faixa etária Os resultados são apresentados na tabela ao lado a Qual o valor da estatística de teste b Considerando que o teste será realizado ao nível de significância de 1 qual o valor crítico c Há evidência estatística para rejeitar a hipótese de homogeneidade d Conclua o teste Grupo Esporte Total Masculino 85 45 70 200 Feminino 60 80 60 200 Total 145 125 130 400 Exercício 4 Um pesquisador está investigando se a distribuição de preferência por três diferentes tipos de alimentos A B e C é homogênea entre três grupos populacionais X Y e Z Para isso ele entrevistou 300 pessoas de cada grupo e registrou suas preferências alimentares Os dados estão resumidos na tabela abaixo Formule uma hipótese nula e uma hipótese alternativa para testar se a preferência por alimentos é homogênea entre os três grupos populacionais usando o teste quiquadrado para homogeneidade Em seguida realize o teste e interprete os resultados Tipo de Alimento A Tipo de Alimento B Tipo de Alimento C Grupo X 90 60 150 Grupo Y 80 90 130 Grupo Z 70 80 150 03 Teste quiquadrado de aderência Objetivo Testar a adequabilidade de um modelo probabilístico a um conjunto de dados observados Instructions for use Exemplo Segundo Mendel geneticista famoso os resultados dos cruzamentos de ervilhas amarelas redondas com ervilhas verdes enrugadas ocorrem na proporção de 9331 ou seja seguem uma distribuição de probabilidades dada por Uma amostra de 556 ervilhas resultantes de cruzamentos de ervilhas amarelas redondas com ervilhas verdes enrugadas foi classificada da seguinte forma Há evidências de que os resultados desse experimento estão de acordo com a distribuição de probabilidades proposta por Mendel Teste quiquadrado de aderência Metodologia Considere uma tabela de frequências com 𝑘 2 categorias de resultados em que 𝑂𝑖 é o total de indivíduos observados na categoria 𝑖 𝑖 1 𝑘 Teste Quiquadrado de Aderência Seja 𝑝𝑖 a probabilidade associada à categoria 𝑖 𝑖 1 𝑘 O objetivo do teste de aderência é testar as seguintes hipóteses Hipóteses nula e alternativa 𝐻𝑜 𝑝1 𝑝01 𝑝𝑘 𝑝0𝑘 𝐻1 Existe pelo menos uma diferença sendo 𝒑𝟎𝟏 a probabilidade especificada para a categoria 𝑖 𝑖 1 𝑘 fixada através do modelo probabilístico de interesse Teste Quiquadrado de Aderência Se 𝐸𝑖 é o total de indivíduos esperados na categoria 𝑖 quando a hipótese 𝐻0 é verdadeira então 𝐸𝑖 𝑛 𝑝0𝑖 𝑖 1 𝑘 Expandindo a tabela de frequências original temos A quantificação da distância entre as colunas de frequência é dada por 𝝌𝟐 𝑶𝒊 𝑬𝒊𝟐 𝑬𝒊 𝝌𝒌𝟏 𝟐 Exemplo cont Cruzamento de ervilhas De forma alternativa podemos escrever 𝐻𝑜O modelo probabilístico proposto por Mendel é adequado 𝐻1 O modelo proposto por Mendel não é adequado 𝐻𝑜 PAR 916 PAE 316 PVR 316 PVE 116 𝐻1 ao menos uma das igualdades não se verifica Exemplo cont Cruzamento de ervilhas De forma alternativa podemos escrever 𝐻𝑜O modelo probabilístico proposto por Mendel é adequado 𝐻1 O modelo proposto por Mendel não é adequado 𝐻𝑜 PAR 916 PAE 316 PVR 316 PVE 116 𝐻1 ao menos uma das igualdades não se verifica Cálculo da estatística de teste 𝑘 4 Ao nível de 5 de significância 𝝌𝟑 𝟐 7815 Portanto ao nível de 5 de significância não rejeitamos a hipótese nula isto é não existe evidência estatística de que o modelo de Mendel não seja adequado Exercício 5 Desejase verificar se o número de acidentes em uma estrada muda conforme o dia da semana O número de acidentes observado para cada dia de uma semana escolhida aleatoriamente foram O que pode ser dito CREDITS This presentation template was created by 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