Avaliacao Substitutiva Calculo Diferencial e Integral UFRA - Resolucao e Analise

Avaliacao Substitutiva UFRA Curso de Calculo Diferencial e Integral May 13 2023 Dado seu numero de matrıcula os 4 ultimos algarismos sao os dıgitos para fins de exercıcios a 9 b2 c0 d2 Número de matrícula 9202 1 Ganhos diarios Um analista de negocios em uma empresa apos analise dos dados de negocios da empresa no decorrer do ano determinou que a funcao a seguir descreve os ganhos diarios 1 em que o tempo t e medido em dias no ano especıfico 0 t 365 aDˆe o ganho no dia 100 Quanto e o ganho no dia 200 E g300 bDˆe o total de ganho no ano inteiro c Estude as instabilidades do mercado a partir da velocidade com que o ganho se altera exiba o grafico Encontre maximos e mınimos dos ganhos se existirem 1 2 Ganhos anuais Suponha uma funcao de ganhos com a forma em que agora o tempo t e medido em anos e 0 t aEstude o comportamento desta funcao a partir de seu grafico bDetermine o limite da funcao para t a partir do grafico Obs Aqui exp e a funcao exponencial na base natural e 2 e 27 Questão 1 Um analista de negócios em uma empresa após análise dos dados de negócios da empresa no decorrer do ano determinou que a função a seguir descreve os ganhos diários gt 1000 t10 70exp t365 em que o tempo t e medido em dias no ano específico 0 t 365 aDê o ganho no dia 100 Quanto e o ganho no dia 200 E g300 b Dê o total de ganho no ano inteiro c Estude as instabilidades do mercado a partir da velocidade com que o ganho se altera exiba o gráfico Encontre máximos e mínimos dos ganhos se existirem Solução item a No dia t 100 o ganho é dado por gt 100 com efeito g100 1000 10 70e100365 62322470 No dia t 200 o ganhó é dado por gt 200 com efeito g200 1000 20 70e200365 6046955 No dia t 300 o ganho é dado por gt 300 com efeito g300 1000 30 70e300365 6077114 item b No ano inteiro teríamos t 365 logo segue que gt 365 1000 36510 70e1 62251561 que é o ganho total item c A velocidade com que se altera o ganho é dado por v dgdt Com efeito temos que dgdt 1000 110 70365 exp t365 Agora note que os pontos críticos de gt são tais que dgdt 0 1000 110 70365 exp t365 0 110 70365 exp t365 0 Então veja que temos o seguinte 70365 exp t365 110 exp t365 365700 t365 ln 365700 t 365 ln 365700 23768 Agora veja que a derivada segundas de g é d2gdt2 700003652 exp t365 0 t Consequentemente segue como a derivada segunda de g é maior que zero para todo t ela é maior em particular para t 23768 e logo esse deve ser um ponto de mínimo no ganho Ademais veja que isso ainda nos revela que que não há ponto em que o ganho é máximo Por outro lado veja que essa derivada seconda também não é nula nunca Logo não há nenhum ponto de inflexão e a concavidade da curva é sempre para cima Agora com relação a derivada primeira veja que temos os seguintes casos A função é crescente se sua derivada primeira é positiva ou seja disso temos o seguinte desenvolvimento dgdt 0 110 70365 expt365 0 70365 expt365 110 expt365 365700 t365 ln 365700 t 365 ln 700365 A função é decrescente se sua derivada primeira é negativa ou seja disso temos o seguinte desenvolvimento dgdt 0 110 70365 expt365 0 70365 expt365 110 expt365 365700 t365 ln 365700 t 365 ln 700365 Logo temos então que até o ponto de mínimo em t 365 ln365700 a função gt é decrescente e após isso ela é crescente Com isso os ganhos são decrescentes até esse ponto de mínimo que corresponde ao mínimo dos ganhos que é dado por g365 ln365700 60268179 O gráfico da curva segue a baixo com os pontos calculados no item a também Figura 1 Curva da função de ganhos gt Questão 2 Suponha uma função de ganhos com a forma Gt 106 1 exp t3 que agora o tempo t é medido em anos e 0 t a Estude o comportamento desta função a partir de seu gráfico b Determine o limite da função para t a partir do gráfico Solução da Questão 2 Questão 2 item a O gráfico da função é o seguinte Figura 2 Gráfico da curva Gt de ganhos anuais Com efeito a partir desse gráfico podemos estudar algumas propriedades desse gráfico e consequentemente da função dada Com efeito note que essa função é A função é contínua e suave em todos os pontos uma vez que não vemos quebras saltos pontos e bicos em seu gráfico A função tem concavidade para cima em todo t 0 A função não apresenta ponto de inflexão uma vez que ela não altera sua concavidade Além disso não vemos qualquer ponto de máximo ou mínimo da função A função é decrescente para t 0 de fato isso era esperado uma vez que temos uma exponencial negativa na função Questão 2 item b Conforme o gráfico da função vemos que a medida que t fica extremamente grande a função se aproxima de 1 106 Logo temos que limt Gt 106 4