Exercícios Resolvidos de Cálculo Diferencial - Regra da Cadeia e Aplicações

Exercıcios de Diferenciacao UFRA Curso de Calculo Diferencial e Integral April 17 2023 Dado seu numero de matrıcula os 4 ultimos algarismos sao os dıgitos para fins de exercıcios a b c d a9 b2 c 0 d2 1 Questao 1 Calcule as seguintes derivadas Solucao regra da cadeia 1 1 2 Encontre a funcao correspondente ao fenˆomeno Considere os seguintes fenˆomenos a Massa peso do boi em funcao de sua idade b Volume percentual de aguas pluviais dos rios amazˆonicos em funcao do tempo c Rendimento do solo em funcao da quantidade de irrigacao Faca a correspondˆencia com cada uma das funcoes a seguir e dˆe os maximos e m ınimos i ii iii 3 Questao 3 Derive as funcoes e encontre os pontos de maximo e mınimo a b fx xb xc1 c References 2 1 b ddx x⁹ x² 9x⁸ 2x c ddx x⁹ x² ddx x¹⁸ 18x¹⁷ d ddx x9 x2⁰ ddx 1 0 e ddx cosxπ2 sabemos que cosxπ2 senx ddx cosxπ2 ddx senx cosx f ddx ecos9x2 Aplicando a regra da cadeia ecos9x2 ddx cos9x2 ddx ecos9x2 ecos9x2 sen9x2 9 ddx ecos9x2 ecos9x2 sen9x2 g ddx lnex x² Aplicando a regra da cadeia 1ex x² ddx ex x² ddx lnex x² ex 2xex x² 2 a O peso do boi pode ser determinado pela equação ft 569xx1 Para encontrar os pontos críticos derivamos a função usamos a regra do quociente ft 569 x x1 x1 x x1² ft 569x1² 0 Não existe solução Logo não existem pontos de máximo e mínimo 2 b O volume do rio pode ser descrito pela função ft 12 1 cosπt6 Para encontrar os pontos críticos derivamos e igualamos a zero ft 12 ddx 1 ddx cosπt6 ft π12 senxπ6 0 A função será zero quando πx6 0 isso acontece em x12n ou x 6 12n Então os máximos e mínimos acontecem em x12n ou x 612n c O rendimento do solo pode ser determinado pela equação fx e⁵x4² Para encontrar os pontos críticos derivamos e igualamos a zero Aplicamos a regra da cadeia fx e5x42 ddx 5x42 fx e5x42 10x4 fx 10 e5x42 x4 0 fx é igual a zero quando x 4 0 x 4 Verificando na função vemos que x 4 é ponto de máximo 3 a fx xx2 fx xx2 xx2x22 fx 2x22 Para encontrar os pontos críticos fx 2x22 0 Não existe solução logo fx não tem pontos de máximo e mínimo 3 b fx x2 x1 fx 2x 1x2 Para encontrar os pontos críticos fx 2x 1x2 0 2x3 1x2 0 2x3 1 0 x 132 Verificando na função vemos que x 132 é ponto de mínimo c fx 1x2 1 Aplicando a regra da cadeia fx 1x212 ddx x2 1 fx 2xx212 Para encontrar os pontos críticos fx 0 2xx2 12 0 Isso acontece quando 2x 0 x 0 Verificando na função temos que x 0 é ponto de máximo