Teoria das Decisões Sob Condições de Incerteza

Curso de Bacharelado em Controladoria Finanças TEORIA DA INFORMAÇÃO E DAS DECISÕES Professor Wagner Moura Lamounier DSc Economia Aplicada UFV Prof Wagner Moura Lamounier 2 TEORIA DAS DECISÕES SOB CONDIÇÕES DE INCERTEZA BIBLIOGRAFIA BÁSICA EECKHOUDT e GOLLIER 1995 Introdução e Capítulo 1 Prof Wagner Moura Lamounier 4 A capacidade de entender a INCERTEZA e os RISCOS de avaliar o que poderá acontecer no futuro e de optar entre várias alternativas é fundamental para os tomadores de decisões nas sociedades contemporâneas INCERTEZA E RISCO Prof Wagner Moura Lamounier 5 O RISCO pode se manifestar sob várias formas como por exemplo a Uma grande desvalorização dos ativos no mercado provocada por algum problema específico da empresa associada àquele ativo Um vazamento de óleo em provocado por uma firma exploradora de petróleo b Na possibilidade da ocorrência de fenômenos naturais como geadas e secas Uma geada prejudicando toda uma safra c Na possibilidade de intervenções e regulamentações governamentais que alterem o arcabouço legal e institucional Proibição eou restrição na comercialização de um produto d Atuação da Concorrência em um mercadoGuerra de preços 6 Nesse sentido buscase desenvolver teorias e modelos relativos ao risco que permitam seu a Reconhecimento e Mensuração b Análise c Tratamento d Entendimento de sua Distribuição na economia e sociedade Prof Wagner Moura Lamounier 7 Loterias No curso estamos interessados na avaliação de um tipo específico de bem utilizado para simbolizar diversos ativos financeiros Esse bem é chamado na literatura de uma loteria ou de um risco Prof Wagner Moura Lamounier 8 As loterias serão geralmente simbolizadas por letras do final do alfabeto tais como x y z O nosso agente econômico de interesse será um tomador de decisões que pode ser utilizado genericamente para representar investidores administradores de fundos gerentes de empresas consumidores hedgers e especuladores dentre outros Prof Wagner Moura Lamounier 9 Estaremos assumindo também que para esse tomador de decisões a variável pela qual ele se interessa fundamentalmente é o seu nível de riqueza final f w Essa riqueza terá natureza aleatória uma vez que será geralmente formada pela riqueza inicial 0 w conhecida antes do investimento ser efetuado adicionada ou multiplicada por uma loteria z Prof Wagner Moura Lamounier 10 Assim temse z w wf 0 1 1 0 z w wf 2 Tanto o caso 1 de uma loteria aditiva quanto o caso 2 de uma loteria multiplicativa são igualmente possíveis Riqueza Inicial e Final Prof Wagner Moura Lamounier 11 A loteria z poderá ser uma variável aleatória discreta ou uma variável aleatória contínua Para o caso discreto teremos os vetores zz1 z2zn e pp1 p2pn com os resultados possíveis e suas respectivas probabilidades Prof Wagner Moura Lamounier 12 Para o caso contínuo a va z será caracterizada por uma função densidade de probabilidade fz eou por uma função de distribuição cumulativa Fz Prof Wagner Moura Lamounier 13 CRITÉRIOS PARA A AVALIAÇÃO DE RISCOS FINANCEIROS BIBLIOGRAFIA BÁSICA EECKHOUDT e GOLLIER 1995 Capítulo 2 EECKHOUDT GOLLIER e SCHLESINGER 2005 Capítulo 1 Prof Wagner Moura Lamounier 15 Para explicar as escolhas dos tomadores de decisão utilizamos Critérios de Avaliação Os principais critérios de avaliação empregados na literatura são a Critério do Valor Esperado b Critério da MédiaVariância c Critério da Utilidade Esperada Critérios de Avaliação Prof Wagner Moura Lamounier 16 a O Critério do Valor Esperado Esse critério implica que o tomador de decisões avalia a loteria z por meio do cálculo do seu valor esperado Também chamado de esperança matemática ou simplesmente a média de z denotada por Prof Wagner Moura Lamounier 17 Para o caso de distribuições de probabilidade discretas será dado por V z E z n i izi p 1 3 Para o caso de distribuições de probabilidade contínuas será dado pela expressão V z E z zf z dz 4 Prof Wagner Moura Lamounier 18 O critério de avaliação de loterias por meio do cálculo de seu valor esperado apesar de bem simples e tradicional mostrase em diversas situações incapaz de representar corretamente a forma pela qual os agentes fazem suas escolhas Para verificar isso suponha que você possa escolher entre duas situações Prof Wagner Moura Lamounier 19 a Ganhar R 1000000 com certeza 1 1000000 b Ganhar R 1800000 com probabilidade igual a 710 e ter que pagar R 400000 com probabilidade igual a 310 ou seja 03 07 4000 18000 Qual opção você escolheria Exemplo Prof Wagner Moura Lamounier 20 De acordo com o critério do valor esperado a opção a ser escolhida seria a opção b uma vez que 00 11400 1 200 12600 70 18000 4 000 30 R E z b Ao passo que 100000 110000 R E z a Todavia podese inferir que grande parte se não a maioria dos tomadores de decisão frente a uma situação como essa escolheria a opção a rejeitando o critério de valor esperado como critério de avaliação de loterias Prof Wagner Moura Lamounier 21 b Critério da MédiaVariância Esse critério de avaliação de loterias que ganhou notoriedade com Markowitz 1952 representa um avanço em relação ao critério do valor esperado pois amplia o seu escopo de avaliação levando em conta também o risco da loteria além do seu valor esperado Ou seja 2 f f f w f E w V w 6 Prof Wagner Moura Lamounier 22 Primeiramente temse uma característica dessa função que será comum para todos os tomadores de decisão racionais A derivada parcial da função em relação ao valor esperado da riqueza final será sempre positiva 0 wf E f Isso por que ceteris paribus mais riqueza ao final do processo será sempre desejável Prof Wagner Moura Lamounier 23 Essa representação possui ainda a vantagem de captar por meio da forma da função f diferentes atitudes do tomador de decisões frente ao risco Derivandose parcialmente f em função da variância temse os casos seguintes Prof Wagner Moura Lamounier 24 i 0 2 wf f O tomador de decisões será dito averso ao risco Ou seja defronte duas ou mais loterias com o mesmo valor esperado E wf ele sempre irá escolher aquela com menor risco aqui mensurado pela variância Prof Wagner Moura Lamounier 25 ii 0 2 wf f O tomador de decisões será dito propenso ao risco Nesse caso defronte duas ou mais loterias com o mesmo valor esperado E wf ele sempre irá escolher aquela com maior risco Ou seja um aumento na variância de uma dada loteria será desejável para o tomador de decisões ceteris paribus Prof Wagner Moura Lamounier 26 iii 0 2 wf f O tomador de decisões será dito neutro ao risco Ou seja defronte duas ou mais loterias o tomador de decisões não será influenciado em sua escolha pelo nível de risco das mesmas Estará interessado apenas nos seus valores esperados E wf Esse é o caso do critério do valor esperado que corresponde a uma das possibilidades do critério da médiavariância Prof Wagner Moura Lamounier 27 A partir dos casos anteriores e da diferenciação total da equação 6 podese encontrar a taxa marginal de substituição entre o risco e o retorno da loteria 0 2 2 2 2 f f f f f f f f f dE w w E f w d w f w d w f dE w w E f w dV 2 2 2 f f f f E w E f w f w d dE w TMS 7 Prof Wagner Moura Lamounier 28 A TMSE 2 mostra quanto o retorno deveria variar para compensar o tomador de decisões por uma variação no risco caso o valor da loteria permaneça constante Podese representar no espaço médiavariância portanto as curvas de indiferença entre risco e retorno para os três tipos de tomadores de decisão mencionados anteriormente com base no sinal da TMSE 2 Prof Wagner Moura Lamounier 29 Figura 1 Curvas de Indiferença para avessos ao risco a propensos ao risco b e neutros em relação ao risco c σ2 σ2 σ2 E E E a b c CI CI CI CI CI CI Prof Wagner Moura Lamounier 30 O Critério de Avaliação de Riscos pela Utilidade Esperada BIBLIOGRAFIA BÁSICA EECKHOUDT e GOLLIER 1995 Capítulo 3 EECKHOUDT GOLLIER e SCHLESINGER 2005 Capítulo 1 Prof Wagner Moura Lamounier 32 O Critério da Utilidade Esperada para avaliação de loterias situações de risco é o mais difundido e importante critério na literatura de finanças e de tomada de decisões em condição de risco em geral A lógica básica do critério da utilidade esperada é a de que diferentes os tomadores de decisão poderão ter diferentes respostas em relação ao mesmo estímulo variação na riqueza Prof Wagner Moura Lamounier 33 Além disso o mesmo tomador de decisões poderá ter diferentes respostas frente à mesma variação na riqueza De acordo com esse critério não é a riqueza monetária final wf que o tomador de decisões irá considerar para avaliar as diferentes loterias mas sim a Utilidade da riqueza monetária final que irá lhe interessar Uwf Assim sendo a utilidade será uma função da riqueza final que mensura de maneira individual e subjetiva o grau de satisfação proporcionada por um valor monetário wf ao tomador de decisões Avalie por exemplo as loterias L1 L2 R 1000 R 500 R 100000 R 50000 O Valor Esperado de L1 é R250 e de L2 é R25000 Muitos não teriam problema em aceitar participar de L1 mas vários não teriam interesse em L2 Caso tenham o que ocorreria se aumentarmos mais dois zeros nos resultados 12 12 12 12 Continuação do Exemplo Suponha que em uma escala de 100 a 100 uma pessoa que fosse consultada atribuísse as seguintes utilidades aos resultados de L1 e L2 Quais seriam as utilidades esperadas de L1 e L2 e a decisão desse indivíduo Valor Utilidade 500 80 5 06 10 09 1000 70 Neste cenário a Loteria L1 teria utilidade esperada igual a 015 e a Loteria L2 teria utilidade esperada negativa igual a 5 Os resultados confirmam que esse investidor iria PREFERIR L1 a L2 Ou seja 𝐿1 𝐿2 Lêse L1 é preferível em relação a L2 Prof Wagner Moura Lamounier 37 O critério da utilidade esperada assume que cada tomador de decisões possuirá uma função de utilidade da riqueza que permitirá a avaliação de loterias por meio da seguinte expressão para o caso de loterias discretas n i i i f f z pU w E U w w V 1 0 12 Função de Utilidade Esperada Caso Discreto Um Exemplo de Bernoulli Despachando por um barco sua riqueza esperada será distribuída como uma loteria x 4000½ 12000½ Se o indivíduo tiver uma ideia sobre a vantagem da diversificação dos riscos ele poderia enviar metade de suas mercadorias por um barco e a outra metade por outro Assim a nova loteria seria 400014 8000 ½ 12000 ¼ Todavia Intuitivamente esse resultado parece contraditório pois não haveria vantagem da diversificação dos riscos Mas suponha por exemplo que representemos as preferências desse indivíduo por uma função de utilidade quadrática do tipo 𝒖 𝒙 𝒙 Uma vez que a utilidade de y é maior que a de x essa deveria ser a escolha do indivíduo Prof Wagner Moura Lamounier 40 E para o caso contínuo por z f z dz U w E U w w V f f 0 13 Em que αβ representa o intervalo contínuo de valores possíveis para z e 0 U wf z U w é a utilidade da riqueza final Função de Utilidade Esperada Caso Contínuo Prof Wagner Moura Lamounier 41 O Equivalente à Certeza ou Equivalente Certo A partir das definições anteriores podese derivar um conceito extremamente importante definido como o equivalente certo w de 0 w z O equivalente certo representa quanta riqueza certa o tomador de decisões com função de utilidade U considera que iria lhe proporcionar o mesmo nível de satisfação que a posse de sua riqueza inicial w0 e da loteria z Prof Wagner Moura Lamounier 42 Ou seja é o valor que ele receberia com certeza e que teria mesma utilidade de 0 w z 1 0 U w U w z f z dz U w w U 14 Em que U 1 é uma função inversa de U Prof Wagner Moura Lamounier 43 Exemplo Supondo um investidor com função de utilidade 2 f f w U w que tem como dotação a riqueza inicial w0 100 e uma loteria com as seguintes características A distribuição dos resultados finais será dada da seguinte maneira z 80 40 120 pz 03 04 03 wfz 20 140 220 pz 03 04 03 Prof Wagner Moura Lamounier 44 Assim sendo a utilidade esperada da loteria será dada pela aplicação de 12 que terá como resultado n i i i f f z pU w E U w w V 1 0 0340004196000348400 22480 Logo o equivalente certo w será o valor fixo que garante um nível de utilidade igual a 22480 Ele será obtido fazendose 22480 14993 1 2 U w w U w U w U w Prof Wagner Moura Lamounier 45 O valor fixo e certo de R14993 será portanto o valor que o tomador de decisões considerará tão satisfatório quanto a posse da riqueza inicial w0 100 e da loteria z ou seja será o seu equivalente certo Graficamente esse resultado pode ser ilustrado conforme a Figura 2 Uwt u2 Prof Wagner Moura Lamounier 47 Preço de Venda ask price de Loterias Dado que a dotação inicial do tomador de decisões constituise de uma riqueza inicial w0 e de uma loteria z e que esta dotação inicial proporciona ao indivíduo o mesmo nível de satisfação que uma renda certa w conforme dado pela equação 14 z f z dz U w U w 0 podese definir pv como o preço de pedida ou preço de venda ask price de uma loteria como o valor mínimo que ele estaria disposto a aceitar para abrir mão da loteria z Prof Wagner Moura Lamounier 48 Ou seja pv será o preço que o tomador de decisões de posse da loteria consideraria justo para trocar o valor incerto w0 z pelo valor certo w Esse preço será v v p w w w w p 0 0 15 Portanto temse que z f z dz U w p w U v 0 0 16 Que implica que a utilidade esperada das duas situações será idêntica caso ele venda a loteria por pv Prof Wagner Moura Lamounier 49 Todavia se ele vender por um preço p pv seu nível de bem estar será menor que o que teria ao manter a loteria Por outro lado se ele vender por p pv sua satisfação será maior Portanto pv será o preço mínimo ao qual ele estaria disposto a vender a loteria Devese observar que para algumas loterias e funções de utilidade o preço de venda pv poderá assumir um valor negativo pv 0 Prof Wagner Moura Lamounier 50 Nesses casos temse que o tomador de decisões estará disposto a pagar para ficar livre da loteria É o caso teórico que explica a natureza da maioria dos contratos de seguros e mesmo o de alguns tipos de produtos financeiros como os contratos futuros e de opções Todavia os casos mais comuns em finanças são aqueles em que um investidor possui uma dada quantia certa inicial e pretende comprar uma loteria ou seja ativos de risco como ações debêntures eou demais títulos de renda variável Prof Wagner Moura Lamounier 51 O Prêmio de Risco de uma Loteria Um conceito muito importante na avaliação de loterias é chamado de prêmio de risco Todavia para que se possa definir esse conceito fazse necessária a apresentação e demonstração a seguir Teorema Se a função de utilidade de um tomador de decisões for linear em relação à riqueza final wf o preço de venda pv que ele aceitará pela loteria será igual o valor esperado dessa loteria Ez Ou seja se 0 E z p k kw g w U v f f Prof Wagner Moura Lamounier 52 Demonstração Tomandose o valor esperado da função de utilidade obtémse 0 0 kE z kw g z k w E g k w E g E U w f f Aplicandose a definição 14 para encontrarse o equivalente certo temse 0 0 0 E z w w E z k w kw g g E U w kE z kw g kw g w U f f f f f Dada a definição 15 do preço de venda pv temse que 0 E z p w w p v f v Prof Wagner Moura Lamounier 53 Esse teorema implica que os agentes com funções de utilidade lineares irão avaliar as loterias considerando apenas os seus valores esperados dos seus resultados Nesse caso linear os tomadores de decisão serão ditos neutros em relação ao risco O prêmio de risco π será portanto a diferença entre o valor esperado da loteria e o preço pelo qual o tomador de decisões aceita vender a loteria vp E z 18 Prof Wagner Moura Lamounier 54 Essa medida é importante pois é dada na mesma unidade de medida da riqueza do indivíduo e pode ser comparada entre os tomadores de decisão Para o caso do agente neutro em relação ao risco esse prêmio será igual a zero pois vp E z Isso significa que o individuo é indiferente em relação ao risco embutido nas loterias não o valorizando nem o desvalorizando enquanto atributo Prof Wagner Moura Lamounier 55 Por outro lado o tomador de decisões propenso ao risco considera o risco embutido nas loterias um bem e portanto a diferença entre o valor esperado da loteria e o preço mínimo ao qual está disposto a vendêla será negativa ou seja o prêmio de risco será negativo 0 E z pv Finalmente se o tomador de decisões for como a maioria dos investidores averso ao risco ele não irá considerar o risco embutido na loteria um atributo desejável e portanto 0 E z pv em que Ez será o preço de venda da loteria para um agente neutro ao risco Prof Wagner Moura Lamounier 56 Um aspecto importante acerca do comportamento do tomador de decisões averso ao risco que precisa ser esclarecido é o de que apesar de sua aversão ao risco isso não implica que o mesmo não irá desejar possuir loterias e nem assumir riscos O que de fato ele rejeita é assumir riscos com média zero Ou seja entre um valor certo sem risco e uma loteria cujo resultado médio é igual ao valor certo mas que pode lhe gerar um resultado maior ou um resultado menor ele irá preferir o valor certo