Funções de Utilidade e Medidas de Aversão ao Risco

Curso de Bacharelado em Controladoria Finanças TEORIA DA INFORMAÇÃO E DAS DECISÕES Professor Wagner Moura Lamounier DSc Economia Aplicada UFV Funções de Utilidade e Medidas de Aversão ao Risco Prof Wagner Moura Lamounier 2 BIBLIOGRAFIA BÁSICA EECKHOUDT e GOLLIER 1995 Capítulo 3 e 4 EECKHOUDT GOLLIER e SCHLESINGER 2005 Capítulo 1 A equação 16 0 0 0 z E U w z f z dz U w p w U v estabelece o equivalente certo em termos do preço de venda de uma loteria pv Podese encontrar uma importante medida de aversão ao risco isolandose pv na equação Assumindose que a loteria z se trata de um risco com média zero ou seja com 0 E z e aplicandose uma aproximação de Taylor de primeira e de segunda ordem para o lado esquerdo e direito de 16 temse respectivamente 0 0 0 w p U U w p w U v v 19 2 1 0 2 0 0 0 w z U w zU E U w z E U w 20 Prof Wagner Moura Lamounier 4 Aversão Absoluta ao Risco Aa OBS Aproximação De Taylor de 2ª ordem Aplicandose o operador de esperança matemática e lembrandose que 0 E z e que 2 2 E z temse de 20 2 1 2 1 0 2 0 0 2 0 0 0 w U U w w E z U E z U w U w z E U w 21 Igualandose as duas aproximações obtémse 2 1 2 1 0 2 0 0 2 0 0 0 w U p U w w U U w p U w w U v v 2 1 0 0 2 w U w U pv 22 Como o prêmio de risco conforme 18 foi definido como vp E z e dado o valor esperado da loteria 0 E z temse que o prêmio de risco π será Aa w U w U 2 0 0 2 2 1 2 1 23 Prof Wagner Moura Lamounier 5 A função Aa é chamada de coeficiente de aversão absoluta ao risco do tomador de decisões Ela mensura a intensidade em que um investidor irá rejeitar o risco Isto é ela indica a taxa à qual a utilidade marginal da riqueza diminui quando a riqueza do indivíduo aumenta em uma unidade monetária R US 0 0 w U w U Aa Prof Wagner Moura Lamounier 6 Além de depender da riqueza dos agentes Aa depende da forma das suas funções de utilidade sendo positivo Aa 0 para o caso de aversão ao risco pois a função utilidade será côncava com U 0 e U 0 O coeficiente será negativo Aa 0 para o caso de propensão ao risco pois nesse caso a função utilidade será convexa com U 0 e U 0 Será igual a zero Aa 0 para agentes neutros em relação ao risco pois U 0 e U 0 Prof Wagner Moura Lamounier 7 Prof Wagner Moura Lamounier 8 Exemplo A equação 23 Aa w U w U 2 0 0 2 2 1 2 1 chamada de aproximação de ArrowPratt permite as seguintes conclusões o O custo do risco mensurado pelo prêmio de risco π depende de maneira proporcional da variância dos resultados da loteria z Assim essa variância poderá ser utilizada como um indicador do risco envolvido na loteria o A natureza particular da função de utilidade do investidor indicada pelo grau de aversão absoluta ao risco Aa será determinante do valor do prêmio de risco para esse investidor Isso explica porque diferentes tomadores de decisão em situações idênticas em termos de riqueza e de posse de duas loterias x z e idênticas com 2 2 e z x E x E z terão diferentes valores para os seus prêmios de risco Prof Wagner Moura Lamounier 9 Dado que o coeficiente de aversão absoluta ao risco Aa irá depender da unidade de medida monetária da riqueza w dos agentes uma medida de sensibilidade livre do problema da unidade de conta se torna apropriada O Grau de Aversão Relativa ao Risco Ar foi uma medida desenvolvida para esse fim Ela mostra a taxa à qual a utilidade marginal da riqueza diminui quando a riqueza aumenta em 1 Prof Wagner Moura Lamounier 10 Aversão Relativa ao Risco Ar Ou seja ela é uma medida da elasticidade riqueza da utilidade marginal dada diretamente por 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A w w w u w u w u w w u A w u w dw du w A a r r 25 Todavia podese chegar ao coeficiente de aversão relativa ao risco de uma maneira indireta porém mais rica em termos de resultados e conclusões Prof Wagner Moura Lamounier 11 Aversão Relativa ao Risco Ar Considere a seguinte situação Suponha um tomador de decisões que aplique uma riqueza w0 em um ativo financeiro cuja taxa de retorno seja uma variável aleatória zˆ a riqueza final desse agente irá depender agora de uma loteria multiplicativa e não de uma aditiva dada por ˆ 1 0 z w wf 26 Suponha que seja oferecido a esse agente abrir mão dessa loteria em troca de uma fração de w0 Prof Wagner Moura Lamounier 12 Ele irá comparar essa fração com o seu prêmio de risco relativo ˆ que também é uma medida livre de problemas de unidade de medida O prêmio de risco relativo ˆ indica a fração da riqueza de um indivíduo que ele está disposto a abrir mão para se livrar de um dado risco ˆ é o valor que iguala ˆ 1 ˆ 1 0 0 z E U w U w 27 Portanto ele irá comparar a fração de w0 que ele deve abrir mão com ˆ Prof Wagner Moura Lamounier 13 Se a fração for maior que ˆ ele irá preferir manter a loteria e correr o risco Se for igual a ˆ ele ficará indiferente entre as duas opções Caso seja menor que ˆ ele irá aceitar abrir mão da loteria pois isso irá aumentar o seu nível de bemestar Para encontrar de maneira explícita o valor de ˆ e de Ar devese proceder de maneira semelhante ao que foi feito para se encontrar o prêmio de risco π Prof Wagner Moura Lamounier 14 Igualandose as duas aproximações 28 e 30 obtémse ˆ 2 1 ˆ ˆ 2 1 ˆ 0 2 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 w z U w w U w z U w U w w U w w U rA z w U w U w z ˆ 2 1 ˆ 2 1 ˆ 2 0 0 0 2 31 Assim o percentual da riqueza que o indivíduo estará disposto a abrir mão para se livrar do risco da loteria será determinado o Pelo risco da loteria mensurado pela sua variância o Pela sua aversão relativa ao risco Ar que é uma medida particular ligada à função de utilidade da riqueza para esse tomador de decisões Prof Wagner Moura Lamounier 15 Utilizandose aproximações de Taylor de maneira similar ao que foi feito anteriormente podese demonstrar que a aproximação de ArrowPratt para o Prêmio de Risco Relativo será dada por Portanto se um agente v for mais adverso ao risco que um outro agente u com o mesmo nível de riqueza inicial o agente v estará disposto a pagar um percentual maior dessa riqueza para se livrar do risco proporcional zˆ que o agente u Prof Wagner Moura Lamounier 16 Considerese a seguinte situação Uma loteria é formada por dois resultados No primeiro pagase R 10000 ao investidor com probabilidade igual a 50 e no segundo ele perde R 10000 também com probabilidade de 50 Perguntase O que ocorrerá com as medidas de aversão ao risco e com os prêmios de risco se essa loteria for oferecida a um mesmo indivíduo se supuséssemos que sua riqueza inicial fosse igual a R 10100 em uma primeira situação I e igual a R 100000000 em outra situação II Ou seja desejase saber o que ocorrerá com essas medidas se a riqueza do indivíduo aumentar Prof Wagner Moura Lamounier 17 O Que Ocorre com a Aversão ao Risco do Investidor quando sua Riqueza Aumenta O que se deduz desse tipo de comportamento é que indivíduos mais ricos terão uma maior propensão para aceitar o risco Com isso podese estabelecer a seguinte hipótese Se a riqueza de um tomador de decisões aumentar a sua aversão absoluta ao risco irá diminuir ou no mínimo não aumentar Ou seja se uma loteria aditiva z for aceita por um agente com riqueza w1 ela também será aceita por esse agente caso sua riqueza seja w2 com w2 w1 Formalmente temse 0 0 0 0 0 0 dw w U w U d dw dAa w 32 Prof Wagner Moura Lamounier 18 Portanto de acordo com essa hipótese o coeficiente de aversão absoluta ao risco Aa e conseqüentemente o prêmio de risco de qualquer loteria aditiva será uma função nãocrescente da riqueza w Fazse necessário agora buscar entender o que poderá ocorrer para o caso de uma loteria multiplicativa zˆ Ou seja pretendese responder à seguinte pergunta Se a riqueza do indivíduo aumentar ele irá dedicar uma maior menor ou igual fração dessa riqueza para se livrar de um risco de média zero que varia proporcionalmente com a riqueza Prof Wagner Moura Lamounier 19 A título de exemplo esse caso pode ser entendido supondose uma loteria em que o tomador de decisões deveria definir a fração da sua riqueza que ele deveria pagar para evitar o risco de ganhar ou perder 50 dessa riqueza com ½ de probabilidade para cada resultado Se essa fração aumentar com o aumento da riqueza diz se que o tomador de decisões tem aversão relativa ao risco crescente se decrescer dizse que ele tem aversão relativa ao risco decrescente e aversão relativa ao risco constante para o caso em que essa fração não se altere com a variação na riqueza Prof Wagner Moura Lamounier 20 Em termos formais o que se discute agora é o que ocorrerá com o coeficiente de aversão relativa ao risco Ar e com o prêmio de risco relativo ˆ quando a riqueza do indivíduo aumentar Dada a equação 25 que estabelece a relação entre os coeficientes de aversão absoluta e aversão relativa ao risco A w0 A r a podese deduzir o efeito de um incremento em w0 sobre Ar derivandose essa expressão em relação à riqueza inicial a a a r A w dw dA dw A w d dw dA 0 0 0 0 0 33 Prof Wagner Moura Lamounier 21 Temse portanto três situações possíveis o Primeiramente uma vez que para indivíduos aversos ao risco Aa é não negativo pois U 0 e U 0 se Aa estiver aumentando quando w0 aumentar o que contraria a hipótese 32 o valor de Ar também irá aumentar Prof Wagner Moura Lamounier 22 Se por outro lado Ar for constante em relação a uma variação em w0 o que de acordo com 32 é factível o resultado em 33 será positivo pois apesar do primeiro termo se cancelar o segundo será maior que zero Portanto se Aa for constante em relação a um aumento no valor da riqueza um valor decrescente para Ar se torna improvável Prof Wagner Moura Lamounier 23 a Finalmente temse o caso mais freqüente e também o mais complexo em que a aversão absoluta ao risco é decrescente com a riqueza conforme a hipótese 32 estabelecida e discutida anteriormente Uma vez que Aa é não negativo e que 0 0 0 w dw dAa temse que a soma desses dois termos poderá ser negativa positiva ou nula o que implica que o sinal esperado para 33 não pode ser definido a priori Prof Wagner Moura Lamounier 24 Essa classe de funções de utilidade tem estrutura geral dada por 0 ln f f f w w U w 38 Para o caso de loterias aditivas z temse que a restrição para os valores de wf implica que o menor valor que a loteria poderá assumir será 0 min w z caso esse valor seja negativo Já para o caso de loterias aditivas zˆ a restrição implica que min 1 z Prof Wagner Moura Lamounier 25 PRINCIPAIS FUNÇÕES DE UTILIDADE a Funções Logarítmicas multiplicativas O coeficiente de aversão absoluta ao risco será f f f a w w w A 1 1 1 2 39 Como por definição wf 0 temse que 0 1 2 f f a w dw dA 40 Portanto essa classe de funções irá satisfazer a hipótese 32 de aversão absoluta ao risco decrescente Decreasing Absolute Risk Aversion DARA Prof Wagner Moura Lamounier 26 Além disso o coeficiente de aversão relativa ao risco será constante Ar 1 para essa função o que implica que variações na riqueza não terão impacto sobre ele Em função dessa característica a função utilidade logarítmica pertencerá ao grupo das funções conhecidas como CRRA ou seja funções que apresentam aversão relativa ao risco constante Constant Relative Risk Aversion Prof Wagner Moura Lamounier 27 Esse tipo de função é um dos mais utilizados em estudos e aplicações empíricas e também é do tipo CRRA Sua forma geral é dada por 1 0 e 0 1 1 f f f w w U w 41 Observese que para essa função temse 0 0 1 1 1 1 1 f f f f f f w w w U w w w U Prof Wagner Moura Lamounier 28 b A Função Potência O que implica que essa função terá coeficiente de aversão absoluta decrescente em relação à riqueza atendendo à hipótese 32 que será igual a f f f f f a w w w w w A 1 1 1 42 Além disso o coeficiente de aversão relativa ao risco será constante daí o fato dessa função ser do tipo CRRA e igual a f a r A w A Prof Wagner Moura Lamounier 29 Essa função terá forma geral f w f e w U 43 O fato de que essa função irá gerar resultados negativos para a utilidade não é relevante uma vez que o que importa na análise final é a classificação das loterias e que a função seja crescente U 0 Todavia caso interesse podese efetuar uma transformação linear equivalente na mesma afim de se obter resultados positivos Prof Wagner Moura Lamounier 30 c Função Exponencial Negativa Derivandose a função 43 obtémse f f w f w f e w U e w U 2 e Portanto o coeficiente de aversão absoluta ao risco para essa função será f f w w a e e A 2 44 Essa é a principal característica da função de utilidade exponencial negativa ela possui coeficiente de aversão absoluta ao risco constante e portanto é denominada uma função do tipo CARA Constant Absolute Risk Aversion Prof Wagner Moura Lamounier 31 Esse fato implica que o tomador de decisões caracterizado por um função de utilidade desse tipo não sofrerá o efeito renda quando avaliando riscos cujo tamanho é invariante em relação às variações na riqueza do indivíduo e é justamente essa a maior crítica à esse tipo de função Já o coeficiente de aversão relativa ao risco para essa loteria será crescente em relação à riqueza do indivíduo f r w A Prof Wagner Moura Lamounier 32 Prof Wagner Moura Lamounier 33 Utilidade Riqueza Função Exponencial Negativa f w f e w U Função Logarítmica f f w U w ln 1 0 e 0 1 1 f f f w w Função Potência U w Variações no Risco e escolhas Prof Wagner Moura Lamounier 34 BIBLIOGRAFIA BÁSICA EECKHOUDT e GOLLIER 1995 Capítulo 5 EECKHOUDT GOLLIER e SCHLESINGER 2005 Capítulo 2 Qual será a escolha do agente quando apresentado a diferentes loterias com médias iguais a zero por exemplo A teoria de Finanças apresenta diversas formas de se indicar que o risco das loterias podem estar aumentando ou diminuindo e ajudar a responder essa questão Prof Wagner Moura Lamounier 36 VARIAÇÕES NO RISCO Suponha um agente que está escolhendo entre uma loteria w1 4000 12 12000 12 e uma outra chamada de loteria composta que é uma loteria em que um ou mais dos seus resultados é uma nova loteria com as seguintes características w2 4000 12 12000 z 12 com 000 1 2 4 2 4 000 1 z e 0 E z Dado que as duas tem o mesmo valor esperado qual deverá ser escolhida Prof Wagner Moura Lamounier 37 Maneiras de Representar o Aumento do Risco A Adição de um Ruído Branco Nesse exemplo temse o que se chama de Adição de um Ruído Branco à loteria inicial 1w Conforme pode se observar irá implicar em uma adição de incerteza para o tomador de decisões e provavelmente se ele for averso ao risco a passagem de 1w para 2 w implicará em uma piora no seu nível de bemestar Prof Wagner Moura Lamounier 38 Para confirmar essa suspeita supondose que a sua função de utilidade é crescente e côncava do tipo w U w temse 8561 1 2 16000 8 000 1 21 2 4 000 1 2 8639 1 2 12000 4 000 1 2 2 1 2 1 E U w U w E U w E U w E Esse mesmo tipo de teste pode ser feito para outras funções côncavas e os resultados serão todos no sentido de reforçar a idéia de que a adição de um ruído de média zero implica em uma piora para o investidor Prof Wagner Moura Lamounier 39 Se 0 com 1 2 E z z w w dois resultados gerais serão observados i A média das loterias será igual 1 1 1 2 E w E z E w z E w E w ii A loteria que incorpora o ruído será mais arriscada e terá menor utilidade esperada 1 1 1 2 E U w p U z p E U U w E n s s s n s s s s Em que 2 1 n é o conjunto dos valores que a loteria 1w pode assumir e ps é a probabilidade de assumir um resultado particular ωs Prof Wagner Moura Lamounier 40 Generalizandose Ao invés da analisar o aumento de risco implementado pela adição de um ruído branco à loteria a situação de risco vivida pelo tomador de decisões em questão pode ser representada pelo conceito alternativo de transferências de massas de probabilidade que preservam a média MeanPreserving Spreads MPS Prof Wagner Moura Lamounier 41 B Transferências de Massas de Probabilidade que Preservam a Média Def A loteria 2 w será uma MPS de 1w se forem verificadas as seguintes condições i 1 2 E w E w ii Existe um intervalo I tal que I w f w w f 1 2 e I w f w w f 1 2 Nessa definição temse que fi é a função densidade de probabilidade da loteria iw e Fi é a função cumulativa de probabilidade Prof Wagner Moura Lamounier 42 Para o exemplo discreto anterior terseia a representação gráfica Prof Wagner Moura Lamounier 43 Os gráficos a seguir generalizam o conceito da MPS para o caso contínuo Prof Wagner Moura Lamounier 44