31 Derivadas

31\nÁLGEBRA\nDERIVADAS\n\nY\nf(x)\n y = f(x)\n\nQ\nP\n\nf(a)\n\na\nx\n\nf'(a) = lim f(x) - f(a)\n x->a x - a = mL tangente\n\nx - 14\n√Hμeɾtas\nLas Matemáticas son fáciles\n\nChristiam Huertas\nNivel UNI 31\nÁLGEBRA\nDerivadas\n\nY\nf(x)\n y = f(x)\n\nQ\nP\n\nf(a)\n\na\nx\n\nf'(a) = lim f(x) - f(a)\n x->a x - a = mL tangente\n\nx - 14\n√Hμeɾtas\nBásico - Intermedio - Avanzado\n\nChristiam Huertas DERIVADAS\nÍndice\n\n1. Introducción 03\n2. Derivada de una función 03\n 2.1 Derivada en un punto 06\n3. Derivadas laterales 07\n 3.1 Por la derecha 07\n 3.2 Por la izquierda 07\n4. Derivada de algunas funciones elementales 09\n5. Reglas de derivación 11\n 5.1 Derivada de una función multiplicada por una constante 11\n 5.2 Derivada de una función suma (resta) 11\n 5.3 Derivada de una función producto 11\n 5.4 Derivada de una función cociente 12\n 5.5 Derivada de una composición de funciones 13\n6. Segunda derivada de una función 14\n7. Derivada de otras funciones elementales 15\n8. Derivación implícita 17\n9. Ecuaciones paramétricas de una curva 19\n 9.1 Derivada de ecuaciones paramétricas 20\n 9.2 Formula paramétrica para d²y/dx² 20\n10. Derivada de una función de la forma y = (f(x))g(x) 22\n11. Derivada de funciones trigonométricas inversas 23\n12. Funciones hiperbólicas 25\n 12.1 Derivada de funciones hiperbólicas 25\n13. Algunas aplicaciones de la derivada 26\n 13.1 La derivada en la geometría 26\n a) Ecuación de la recta tangente 26\n b) Ecuación de la recta normal 27\n 13.2 La derivada en las ecuaciones polinómicas 27\n • Teorema del cero 27\n • Teorema de la raíz múltiple 28\n • Suma de potencias de las raíces de una ecuación polinomial 29\n 13.3 La derivada en el cálculo de limites 29\n • Regla de L'Hospital 30\n14. Problemas resueltos 31\n15. Problemas propuestos 36\n16. Claves 40 Algebra\nIntroducción\nLa derivada de una función en un punto x0 surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x0, y fue Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con este es de cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fuesen horizontales.\nPierre de Fermat\nDerivada de una función\nDefinición. Sea f una función. La derivada de f, denotada por f ', es otra función cuya regla de correspondencia es: \nf'(x) = lim h→0 f(x + h) - f(x) / h \nsiempre que el límite exista. Y su dominio es el conjunto de números x para los cuales existe el límite.\nObservaciones\nf'(x): se lee \"f prima de x\"\n• Se dice que la función f es derivable o diferenciable en cualquier punto x en el que esté definida la función derivada.\nEjemplo 1.\nHalle la derivada de la siguiente función.\nf(x) = 5x - 3\nResolución.\nPor definición de derivada:\nf'(x) = lim h→0 f(x + h) - f(x) / h\nReemplazamos la función f:\n= lim h→0 (5(x + h) - 3 - (5x - 3)) / h\n= lim h→0 (5x + 5h - 3 - 5x + 3) / h\n= lim h→0 5h / h\nSimplificamos h arriba y abajo, pues h ≠ 0:\n= lim h→0 5\n= 5\nPor lo tanto, f'(x) = 5.\nEjemplo 2.\nHalle la derivada de la siguiente función.\nf(x) = x^3 Resolución.\nPor definición de derivada:\nf'(x) = lim h→0 f(x + h) - f(x) / h\nReemplazamos la función f:\n= lim h→0 (f(x + h) - f(x) / h\n= lim h→0 (x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3) / h\nEl límite tiene la forma indeterminada 0/0. \nDesarrollamos el numerador para levantar la indeterminación:\n= lim h→0 3x^2h + 3xh^2 + h^3 / h\nSimplificamos h arriba y abajo, pues h ≠ 0:\n= lim h→0 (3x^2 + 3xh + h^2)\nEvaluamos de forma práctica para h = 0:\n= 3x^2\nPor lo tanto, f'(x) = 3x^2.\nEjemplo 3.\nHalle la derivada de la siguiente función.\nf(x) = 1/x\nResolución.\nPor definición de derivada:\nf'(x) = lim h→0 f(x + h) - f(x) / h\nReemplazamos la función f:\n= lim h→0 (f(x + h) - f(x) / h\n= lim h→0 (1/(x + h) - 1/x) / h\nEl límite tiene la forma indeterminada 0/0.\nRacionalizando el numerador para levantar la indeterminación:\n= lim h→0 ((x + h) - x) / (h(x + h)x)\n= lim h→0 1 / (h(x + h)) / h\n= lim h→0 1 / (x^2 + hx)\nPor lo tanto, f'(x) = -1/x^2. Algebra\nDERIVADAS\n= lim h→0 (√(x + h) - √x) / h\n= lim h→0 (x + h) - x / (√(x + h) + √x)\n= lim h→0 (h) / (√(x + h) + √x)\nSimplificamos h:\n= lim h→0 1/(√(x + h) + √x)\nEvaluamos de forma práctica para h = 0:\n= 1/(√x + √x)\n= 1/(2√x)\nPor lo tanto, f'(x) = 1/(2√x).\nEjemplo 5.\nHalle la derivada de la siguiente función.\nf(x) = sen x\nResolución.\nPor definición de derivada:\nf'(x) = lim h→0 f(x + h) - f(x) / h\nReemplazamos la función f:\n= lim h→0 (sen(x + h) - sen x) / h\nEl límite tiene la forma indeterminada 0/0. \nUtilizamos la siguiente propiedad para levantar la indeterminación:\n= lim h→0 cos h - 1 / h\n= lim h→0 (cos h - 1)/h\nEl límite tiene la forma indeterminada 0/0. Para levantar la indeterminación, multiplicamos por el conjugado del numerador arriba y abajo:\n= lim h→0 (cos h - 1)(cos h + 1) / (h(cos h + 1)) DERIVADAS\n\nAlgebra\n\n-\nsen²h\ncos²h - 1 \n= lim h→0 h(cos h)\n= lim h→0 -sen²h \n= -lim h→0 sen(h)\n\nAcomodamos convenientemente:\n= -lim h→0 (sen h) (sen h)\n h cos h\n\nDesdoblamos el límite en el producto:\n= -lim h→0 (sen h) \n lim (sen h)\nh→0 cos h\n= -(-1)(1)\n= 0\n\nNotaciones de la derivada\nLa derivada de la función y = f(x) se puede denotar de las siguientes formas:\n\nf'(x), df/dx, dy/dx, dƒ/dx, Dxf\n\nDerivada en un punto\nSi se desea hallar la derivada de una función f(x) en un punto x = x₀, simplemente se reemplaza x por x₀ en la definición, es decir:\n\nf'(x₀) = lim (f(x₀ + h) - f(x₀))\nh→0\n\nEjemplo 6.\nDada la función f(x) = x³, halle f'(2).\n\n\nChristian Huertas Algebra\n\nEjemplo 9.\nDada la función h(x) = sen x, halle h'(0).\n\nResolución.\nSe tiene la función:\nh(x) = sen x\nSe sabe que:\nh'(x) = cos x\nLuego,\nh'(0) = cos 0 = 1\n\nOBS.\nEl valor de la derivada en un número x₀ se denota por los símbolos:\n\nf(x₀), dy/dx |x=x₀, y' |x=x₀, Dx y |x=x₀\n\nNota.\nCuando una función f tiene derivada en un punto x₀ decimos que es derivable en x₀, y cuando carece de derivada en x₀, que no es derivable en x₀.\n\nEjemplo 10.\nDe los ejemplos 6, 7, 8 y 9 se concluye:\n\nf(x) = x³ es derivable en 2.\n\np(x) = 1/x es derivable en 3.\n\ng(x) = √x es derivable en 1.\n\nh(x) = sen x es derivable en 0\n\nChristian Huertas OBS.\nDiremos que la derivada de la función f(x) existe en el punto x = a, si sus derivadas laterales existen y son iguales; es decir,\n\n∃ f'(a) ⇔ f'(a+) = f'(a-)\n\nEjemplo 11.\nDada la función f(x) = [x], halle f'(0) si existe.\n\nResolución.\nUtilizamos derivadas laterales.\n\nPor la derecha:\nf'(0+) = [x] |x=0\n = 0|x=0\n = 0\n\nPor la izquierda:\nf'(0-) = [x] |x=0\n = (-1)|x=0\n = 0|x=0\n = 0\n\nComo las derivadas laterales existen y son iguales, entonces f'(0) = 0.\n\nEjemplo 12.\nDada la función f(x) = [x], halle f'(0) si existe.\n\nEjemplo 13.\nDada la función\nf(x) = {2x² - 3 si x ≤ 2\n 8x - 11 si x > 2\n\nhalle f'(2) si es que existe.\n\nResolución.\nUtilizamos derivadas laterales.\n\nPor la derecha:\nf'(2+) = (8x - 11)' |x=2 \n (como x > 2, se toma f(x) = 8x - 11)\n = 8|x=2\n = 8\n\nPor la izquierda:\nf'(2-) = (2x² - 3)' |x=2\n= (2x² - 3)' |x=2 = 8\n\nChristian Huertas (como x < 2, se toma f(x) = 2x^2 - 3) = 4x|_{x=2} = 8\nComo las derivadas laterales existen y son iguales a ocho, entonces f'(2) = 8.\n\nOBS.\nEn los ejemplos 11, 12 y 13 hemos utilizado los siguientes resultados que se verán más adelante:\nSi y = c, entonces y' = 0\nSi y = x, entonces y' = 1\nSi y = -x, entonces y' = -1\nSi y = 8x - 11, entonces y' = 8\nSi y = 2x^2 - 3, entonces y' = 4x\n\nTeorema\n(La Derivada implica continuidad) Si f es una función derivable en a, entonces f es continua en a.\n\nEjemplo 14.\nEn el ejemplo 13, se mostró que la función f(x) = {2x^2 -3 si x ≤ 2\n8x - 11 si x > 2} es derivable en x = 2. Luego, por el teorema anterior, f(x) es continua en x = 2.\n\nNota.\nEl recíproco de este teorema no siempre es verdadero, es decir; si una función f es continua en a, no implica que f sea derivable en a. Derivada de la función identidad\nSi f(x) = x → f'(x) = 1\n\nEjemplo 17.\nSi f(t) = t, entonces f'(t) = 1\nSi g(r) = r, entonces g'(r) = 1\n\nDerivada de la función potencial\nSi f(x) = x^n → f'(x) = nx^{n-1}\nDonde n es cualquier número real.\n\nEjemplo 18.\na) Si f(x) = x^3 → f'(x) = 3x^2\nb) Si g(x) = √x → g'(x) = (x^{1/2})' = 1/2x^{-1/2} = 1/(2√x)\nc) Si h(x) = x^{-1} → h'(x) = -x^{-2} = -1/x^2\nd) Si p(x) = x^π → p'(x) = πx^{π-1}\ne) Si q(x) = 1/x → q'(x) = (-x^{-1}) = -x^{-2} = -1/x^2 Ejemplo 20.\nHalle la derivada de la función h(x) = x^2 + √x\n\nResolución.\nAplicamos la propiedad anterior:\nh'(x) = (x^2)' + (√x)'\n= (2x) + (1/2√x)\n= 2x + 1/(2√x)\n\nEjemplo 21.\nHalle la derivada de la función p(x) = sen x - x + 5\n\nResolución.\nAplicamos la propiedad anterior:\np'(x) = (sen x - x + 5)'\n= (sen x)' - (x)' + (5)'\n= cos x - 1\n\nDerivada de una función producto\n(f · g)'(x) = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)\n\nEjemplo 22.\nHalle la derivada de la función h(x) = x^2·sen x\n\nResolución.\nAplicamos la propiedad anterior: DERIVADAS\n\nEjemplo 25.\nHalle la derivada de la función\nr(t) = (t3 - 1)/(t2 + t)\n\nResolución.\nAplicamos la propiedad anterior:\nr'(t) = [(t3 - 1) * (t2 + t)' - (t3 - 1)' * (t2 + t)]/(t2 + t)2\n = (t3 - 1)*(2t + 1) - (3t2 - 0)*(t2 + t)/(t2 + t)2\n = (3t4 + 3t3 - (2t4 - t3 - 1))/(t2 + t)2\n = t4 + 2t3 + 2t + 1/(t2 + t)2\n\nEjemplo 24.\nHalle la derivada de la función h(x) = e^x/x^3\n\nResolución.\nAplicamos la propiedad anterior\n\nh'(x) = (e^x)' * x3 - e^x * (x3)'/[x3]2\n = e^x * x3 - e^x * 3x2/x6\n = x * e^x - 3e^x/x4\n\nEjemplo 26.\nHalle la derivada de la función\nh(x) = 1/(x^4 - x2 + 1)\n\nResolución.\nAplicamos la consecuencia de la regla del cociente\n\nh'(x) = -g'(x)/(g(x))2\n\nEjemplo 23.\nHalle la derivada de la función g(x) = x * ln x\n\nResolución.\nAplicamos la propiedad anterior:\ng'(x) = (x * ln x)'\n = (x)' * ln x + x * (ln x)'\n = 1 * ln x + x * 1/x\n = ln x + 1 Ejemplo 30.\nHalle la derivada de la función f(x) = ln(x3 + x - 1)\n\nResolución.\nRecuerde:\nSi y = ln x, entonces y' = -1/x\n\nAplicamos la regla de la cadena:\nf'(x) = [ln(x3 + x - 1)]'\n = 1/(x3 + x - 1) * (x3 + x - 1)'\n = 1/(x3 + x - 1) * (3x2 + 1)\n = 3x2 + 1/(x3 + x - 1)\n\nEjemplo 29.\nHalle la derivada de la función f(x) = (x2 + 3x + 1)5\n\nResolución.\nAplicamos la regla de la cadena:\nf'(x) = [(x2 + 3x + 1)']5\n = 5(x2 + 3x + 1)4 * (x2 + 3)'\n = 5(x2 + 3x + 1)4 * (2x + 3)\n\nEjemplo 27.\nHalle la derivada de la función h(x) = sen(x2)\n\nResolución.\nAplicamos la regla de la cadena:\nh'(x) = [sen(x2)]'\n = cos(x2) * (x2)'\n = cos(x2) * 2x\n = 2x * cos(x2)\n\nEjemplo 28.\nHalle la derivada de la función p(x) = sen2 x\n\nResolución.\nAplicamos la regla de la cadena:\np'(x) = [sen2 x]' Ejemplo 31.\nHalle la segunda derivada de la función f(x) = 2x5 - 3x2 + 6\n\nResolución.\nPrimero hallemos f'(x):\nf'(x) = (2x5 - 3x2 + 6)'\n = (2*5)x4 - (3*2)x + (6)'\n = 10x4 - 6x2 + 0\n = 10x4 - 6x\nAhora derivamos la función f'(x):\nf''(x) = (f'(x))'\n = (10x4 - 6x)'\n = (10x3)' - (6x)'\n = 10(4)x3 - 6(1)\n = 40x3 - 6\n\nEjemplo 32.\nHalle f'' si la función está dada por f(x) = sen x + ln x\n\nResolución.\nPrimero hallemos f'(x):\nf'(x) = (sen x + ln x)'\n = (sen x)' + (ln x)'\n = cos x + 1/x\n\nEjemplo 33.\nHalle la segunda derivada de la función f'(x) = tan x\n\nLuego determinemos f''(x):\nf'(x) = (tan x)'\n = sec2 x\n\nLuego,\nf''(x) = (f'(x))'\n = (sec2 x)'\n\nUtilizamos la regla de la cadena:\n = 2 sec x (sec x)'\n = 2 sec x * tan x\n = 2 sec2 x * tan x Ejemplo 34.\nHalle la cuarta derivada de la función\nf(x) = 2x^6 + 3x^5 - 9x^3 + x^2 + 5x + 3\nLuego determine el valor de f^(IV)(0).\n\nResolución.\nPrimera derivada:\nf'(x) = 12x^5 + 15x^4 - 36x^3 + 3x^2 + 10x\n\nSegunda derivada:\nf''(x) = 60x^4 + 60x^3 - 108x^2 + 6x + 10\n\nTercera derivada:\nf'''(x) = 240x^3 + 180x^2 - 216x + 6\n\nCuarta derivada:\nf^(IV)(x) = 720x^2 + 360x + 216\n\nLuego,\nf^(IV)(0) = 720(0)^2 + 360(0) - 216\nf^(IV)(0) = -216\n\nEjemplo 35.\nSi f(x) = 3^x → f'(x) = 3^x · ln 3\nSi g(x) = 10^x → g'(x) = 10^x · ln 10\nSi h(x) = (1/2)^x → h'(x) = (1/2)^x · ln(1/2)\nSi p(x) = (1/3)^x → p'(x) = (1/3)^x · ln(1/3)\n\nEjemplo 36.\nHalle la derivada de la función\nf(x) = 2^x + 5x + 1\n Resolución.\nSe tiene la función\nf(x) = e^senx\nAplicamos la regla de la cadena:\nf'(x) = e^senx · ln · (sen x)'\nf'(x) = e^senx · 1 · cos x\nPor lo tanto,\nf'(x) = e^senx · cos x\n\nDerivada de la función logaritmo de base b\nSi f(x) = log_b x, entonces\nf'(x) = -1/x · log_b e\n\nEjemplo 38.\nSi f(x) = log_3 x → f'(x) = 1/x · log_3 e\nSi g(x) = -log x → g'(x) = -1/log e\nSi h(x) = log_1/2 x → h'(x) = 1/x · -log_2 e\nEjemplo 39.\nHalle la derivada de la función:\nf(x) = log_2(sen x)\n\nResolución.\nSe tiene la función\nf(x) = log_2(sen x)\nAplicamos la regla de la cadena:\nf'(x) = 1/sen x · log_2 e · (sen x)'\n Ejemplo 41.\nHalle la derivada de la función:\nf(x) = csc(e^x)\n\nResolución.\nSe tiene la función:\nf(x) = csc(e^x)\nAplicamos la regla de la cadena:\nf'(x) = -csc(e^x) · cot(e^x) · (e^x)'\nf'(x) = -csc(e^x) · cot(e^x) · e^x.\n\nDerivación implícita\nLa mayoría de las funciones estudiadas se presentan de forma explícita; es decir, y en términos de x, por ejemplo\nx^3 + y^3 = xy + 1\ndonde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x. En tales situaciones se debe usar la llamada derivación implícita.\nPara comprender esta técnica, es preciso tener en cuenta que la derivación se efectúa con respecto a x. Esto quiere decir que cuando se tenga que derivar términos que solo contienen x, la derivación será la habitual.\nSin embargo, cuando haya que derivar un término donde aparece y, será necesario aplicar la regla de la cadena, ya que se está\n DERIVADAS\n\n3y² \u00b7 y' - 6x \u00b7 y' = 6y - 3x²\n\nFactorizamos y':\n(3y² - 6x) \u00b7 y' = 6y - 3x²\n\nPor lo tanto,\ny' = (6y - 3x²) / (3y² - 6x)\n\nEjemplo 44.\n\nHalle y' implícitamente de la ecuación\nx cos y = 1\ny calcule la derivada en el punto (2; π/3).\n\nResolución.\nSe tiene la ecuación\nx cos y = 1\n\nDerivamos los dos miembros de la ecuación\n(x cos y)' = 1'\n\nAplicamos la regla del producto:\n1 \u00b7 cos y + x(cos y)' y' = 0\n\ncos y - x y' sen y = 0\ncos y = x y' sen y\n\nAl despejar y' se obtiene:\ny' = cos y / (x sen y)\n\nLo evaluamos en el punto (2; π/3).\ny'(2; π/3) = cos(π/3) / (2 sen(π/3))\n= (1/2) / (2 \u00b7 \u221a3/2)\n= 1 / (2 \u00b7 \u221a3)\n\nPor lo tanto,\ny'(π/3) = \u221a3 / 6.\n\nChristian Huertas Algebra\n\ny³ = 1\ny = 1\n\nEs decir, a y' lo vamos a evaluar en el punto (0; 1). Luego:\n\ny'|(0;1) = sen 0 + 1\n\n0 + 3(1)²\ny'|(0;1) = -1 / 3.\n\nEcuaciones paramétricas\nde una curva\n\nImagine que una partícula se mueve a lo largo de la curva C como se muestra en la figura:\n\nx = x(t), y = y(t), t \u2208 [a; b]\n\nAl par de ecuaciones se les denomina\necuaciones paramétricas de la curva C.\n\nEjemplo 46.\n\nTrace e identifique la curva definida por las ecuaciones paramétricas:\nx = t² - 2t; y = t + 1.\n\nResolución.\nCada valor de t da un punto en la curva,\ncomo se muestra en la siguiente tabla:\n\n t | x | y | (x; y)\n ......|.....|.....|.....\n -2 | 8 | -1 | (8; -1)\n 1 | 3 | 0 | (3; 0)\n 0 | 0 | 1 | (0; 1)\n 1 | 0 | 2 | (0; 2)\n\nAl ubicar todos los puntos (infinitos puntos)\nen el plano se obtiene la siguiente curva:\n\n\nChristian Huertas DERIVADAS\n\nUna partícula cuya posición sea dada por las ecuaciones paramétricas se mueve a lo largo\nde la curva en la dirección de las flechas cuando t aumenta.\n\nDerivada de ecuaciones\nparamétricas\n\nDadas las ecuaciones paramétricas: x = f(t),\ny = g(t). Si f y g son diferenciables en t,\nt entonces y' se obtiene de la siguiente manera:\n\ndy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)\ndonde dx/dt \u2260 0.\n\nEjemplo 47.\n\nDadas las ecuaciones paramétricas:\nx = t² - 2t; y = t + 1\n\nDetermine el valor de dy/dx en t = 3.\n\nResolución.\nSe sabe:\n\ndy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)\n\nReemplazamos x e y:\n\ndy/dx = d/dt(t + 1) / d/dt(t² - 2t)\n= 1 / (2t - 2)\n\nLo evaluamos en t = 3:\n\ndy/dx|_(t=3) = 1 / 4.\n\nEjemplo 48.\n\nDadas las ecuaciones paramétricas:\nx = t²; y = t³ - 3t\n\nDetermine dy/dx.\n\nResolución.\nSe sabe:\n\ndy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)\n\nReemplazamos x e y:\n\ndy/dx = (d/dt(t³ - 3t)) / (d/dt(t²))\n= 3t² - 3 / 2t. Algebra\n\nResolución.\n\n• Primero. Determinamos y´.\nSe sabe:\n\ndy\ndx = dy\ndt dt\ndx\n\nReemplazamos x e y:\n\ndy\ndx = d\ndt (1 - cos t)\ndt\n\ndy\ndx = sen t\n1 - cos t\n\n• Segundo. Determinamos y´´.\nSe sabe:\n\nd2y\ndx2 = dy\ndx d\ndx\ndt (t - sen t)\ndt\n\nReemplazamos x e y´:\n\nd2y\ndx2 = d\ndt (t - cos t)\n\nd2y\ndx2 = cos t (1 - cos t) - sen t (sen t)\n\nEjemplo 50.\nDadas las ecuaciones paramétricas:\n\nx = t - sen t; y = 1 - cos t\n\nDetermine d2y\ndx2 para t = π/3\nResolución. Algebra\n\n\nd2y\ndx2 |t = π/3 = 1\nz - 1\n(1 - 1)\nd2y\ndx2 |t = π/3 = 1/8\n\nd2y\ndx2 |t = π/3 = -4\n\nDerivada de una función de la forma y = (f(x))^g(x)\n\nPara calcular la derivada de la función y = (f(x))^g(x), primero se toma logaritmo natural en ambos lados y luego se deriva se forma implícita.\n\nEjemplo 51.\nHalle la derivada de la función y = x^x.\n\nResolución.\n\nSe tiene la función:\n\ny = x^x\nTomamos logaritmo en ambos lados:\n\nln y = ln x^x\n\nAplicamos la regla del sombrero:\n\nln y = x · ln x\n\ny´ = y (ln x + 1)\ndy\ndx = x^x (ln x + 1)\n\nEjemplo 52.\nHalle la derivada de la función y = x sen x. Algebra\n\nDerivamos (implícitamente) en ambos lados:\n\ny´ = 2 ln x · (ln x)´\ny´\ny = 2y ln x\n\ny´ = 2 ln x\n\nReemplazamos el equivalente de y:\n\ny´ = x^x(ln x + 1)\n\nOBS.\nPara funciones definidas de la siguiente manera:\n\nf(x) = { f1(x) si x ≤ a, f2(x) si x > a \n\nLa derivada de f en el punto x = a existe, si se cumple lo siguiente:\n\n\ni) f1(a) = f2(a)\nii) f1´(2) = f2´(2)\n\n-\na = b - 2 … (A)\n\n\ni) Si y = arc sen x, entonces y´ = 1\n\ni y = arc cos x, entonces y´ = …\n\nEjemplo 55.\nEncuentre la derivada de la función y = arc tan(x^2).\n\nChristian Huertas DERIVADAS\nAlgebra\n\nResolución.\nSe tiene la función:\ny = arc tan(x - √1 + x²)\nAplicamos la regla de la cadena:\ny' = 1\n1 + (x - √1 + x²)² (2x)\nPor lo tanto,\ny' = 2x\n1 + x⁴\n\nEjemplo 56.\nEncuentre la derivada de la siguiente función.\nF(θ) = arc sen√sen θ\nResolución.\nSe tiene la función:\nF(θ) = arc sen√sen θ\nAplicamos la regla de la cadena:\nF'(θ) = 1\n1 - (√sen θ)² (sen θ)'\nF'(θ) = 1\n√1 - sen θ² 2√sen θ (cos θ)\nPor lo tanto,\nF'(θ) = cos θ\n2√1 - sen θ · √sen θ\nEjemplo 57.\nEncuentre la derivada de la siguiente función.\ny = arc tan(x - √1 + x²)\nResolución.\n Algebra\nDERIVADAS\n\nEjemplo 59.\nEncuentre la derivada de la función\ny = cosh√x\nResolución.\nAplicamos la regla de la cadena:\ny' = sinh√x · (√x)'\ny' = sinh√x · 1\n2√x\ny' = sinh√x\n2√x\n\nEjemplo 60.\nEncuentre la derivada de la función\ny = tanh(1 + e²x)\nResolución.\nAplicamos la regla de la cadena:\ny' = sech²(1 + e²x) · e²x · (2x)'\ny' = sech²(1 + e²x) · 2x · (2x)'\ny' = 2x sech²(1 + e²x) · e²x\n\nEjemplo 61.\nEncuentre la derivada de la función\ny = cosh(ln x)\nResolución.\nAplicamos la regla de la cadena:\ny' = sinh(ln x) · (ln x)'\ny' = sinh(ln x) · 1\nx\ny' = sinh(ln x)\nx\n Ejemplo 62.\nEncuentre la derivada de la función\ny = ln(cosh x)\nResolución.\nAplicamos la regla de la cadena:\ny' = 1\ncosh x · (cosh x)'\ny' = 1\n(cosh x)(sinh x)\nPor lo tanto,\ny' = sinh x\ncosh x\ny' = tanh x\n\nEjemplo 63.\nEncuentre la derivada de la función\ny = e^cosh(3x)\nResolución.\nAplicamos la regla de la cadena:\ny' = e^cosh(3x) · (cosh(3x))'\ny' = e^cosh(3x) · sinh(3x) · (3x)'\ny' = e^cosh(3x) · sinh(3x) · 3\ny' = 3e^cosh(3x) · sinh(3x)\n\nEjemplo 64.\nEncuentre la derivada de la función\ny = sinh(cosh x)\nResolución.\nAplicamos la regla de la cadena:\ny' = cosh(cosh x) · (cosh x)'\ny' = cosh(cosh x) · sinh x\nEjemplo 65.\nDada la función f(x) = x², entonces f'(x) = 2x. Si lo evaluemos en 3:\nf'(3) = 6\nEste valor representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto x = 3. Algebra\n\nb)\nEcuación de la recta normal\n\nLa ecuación de la recta normal a la gráfica de la función f en el punto (x0, y0) está dado por:\n\nLn: y - y0 = 1 / f'(x0)(x - x0)\n\nEjemplo 66.\n\nHalle la ecuación de la recta tangente a la curva descrita por la función f(x) = x^3 + 3x^2 - 5 en el punto de abscisa x = 1.\n\nResolución.\n\nSabemos que la pendiente de dicha recta es igual a\nm = d/dx (x^3 + 3x^2 - 5)|x=1\n= (3x^2 + 6x)|x=1\n= 3 + 6\n= 9\n\nSolo basta conocer un punto de la recta para poder determinar la ecuación punto-pendiente de la recta.\n\nSabemos que un punto de la recta corresponde a (1; f(1)).\nf(1) = 1 + 3 - 5 = -1, es decir\n\n\n\n\n\n\n\n(1; -1)\n\nLa ecuación viene dada por:\ny - y0 = m(x - x0)\n\nReemplazamos los valores:\ny - (-1) = 9(x - 1)\ny = 9x - 10\n\nRepresentación gráfica de la función y la recta tangente:\n\ny = 9x - 10\n\n(1; -1)\n\n\n\n\n\n\n\nLa derivada en las ecuaciones polinómicas\n\nVaremos diferentes formas de aplicar la derivada a las ecuaciones polinómicas.\n\nTeorema\n\nTeorema del cero\n\nSea f una función continua en el intervalo (a; b).\nSi f(a)f(b) < 0 => existe x0 en (a; b) / f(x0) = 0\n\nEjemplo 67.\n\nPruebe que la función polinomial P(x) = x^3 - x^2 + x - 1 tiene al menos una raíz en el intervalo (0; 2).\n\nChristian Huertas Resolución.\n\nSe tiene la función:\nP(x) = x^3 - x^2 + x - 1\n\nVemos que:\nP(0) = -1 y P(2) = 5\n\nDe donde:\nP(0)P(2) < 0\n\nLuego, por el teorema del cero, existe x0 en (0; 2) tal que P(x0) = 0. Es decir, P(x) tiene al menos una raíz en el intervalo (0; 2).\n\nA continuación se muestra la gráfica de la función f:\n\nEjemplo 68.\n\nDetermine el valor de a y b si se sabe que el número 1 es una raíz doble de la función f(x) = x^5 + x^2 + ax + b.\n\nResolución.\n\nComo el número 1 es una raíz doble (raíz de multiplicidad dos), por el teorema de la raíz múltiple se cumple\nf(1) = 0\nf'(1) = 0\n\nEntonces,\nf(1) = 1 + 1 + a + b = 0 de donde\na + b = -2\n\nComo f(x) = x^5 + x^2 + ax + b entonces,\nf'(x) = 5x^4 + 2x + a\nLuego,\nf(1) = 5 + 2 + a = 0\n Algebra\n\nde donde\n\na = -7 y b = 5\n\nPor lo tanto,\nab = -35\n\nTeorema\n\nSuma de las potencias de las raíces de una ecuación polinomial\n\nDada la función polinomial P(x) de grado n y raíces: x1, x2, x3, ..., xn. Al efectuar la división (por el Método de Horner):\n\nP'(x)\nP(x)\n\na0 a1 a2 a3 ... an\n\nse obtiene:\n\nCoefficients de P(x)\n\n 1 5 0 0 -4 -1\n 0 0 10 5 0\n 0 0 0 0 0\n 0 0 0 0 0\n\nPor lo tanto,\nx1 + x2 + x3 + x4 + x5 = a4 = 4\n\nTambién podemos calcular:\n\nx1^2 + x2^2 + x3^2 + x4^2 + x5^2 = a2 = 0\nx1^3 + x2^3 + x3^3 + x4^3 + x5^3 = a3 = 6\nx1^5 + x2^5 + x3^5 + x4^5 + x5^5 = a5 = 5\nx1^6 + x2^6 + x3^6 + x4^6 + x5^6 = a6 = 12\n\n\n\n\n\n\nChristian Huertas La derivada en el cálculo de límites\nLa derivada nos permite obtener un método general para calcular límites indeterminados de la forma:\n0\ngo\ngo\nválido para todo tipo de límites: laterales, en el infinito, etc., y se conoce como la Regla de L'Hospital.\nRegla de L'Hospital\nSi lim f(x)\n x→a g(x)\n es de la forma 0\n0 o ∞\n∞\n entonces:\nlim f(x)\n x→a g(x)\n = lim f(x)\n x→a g(x)\nEjemplo 70.\nCalcule el valor del siguiente límite.\nlim sen x\n x→0 x\nResolución.\nEl límite\nlim sen x\n x→0 x\n tiene la forma indeterminada 0\n0.\nEntonces podemos aplicar la Regla de L'Hospital:\nlim sen x\n x→0 x\n = lim (sen x)'\n x→0 (x)'\n = lim cos x\n x→0 1\n = 1\nPor lo tanto,\nlim 1 - cos x\n x→0 x²\n = 1/2. Problemas resueltos\nProblema 1.\nHalle la derivada de la función\ny = sen x\n1 + tan x\nResolución\nRecuerde:\ny = f(x) g(x) - f(x) g'(x)\ng(x)²\nLo aplicamos a la función y:\ny' = (sen x)'·(1 + tan x) - sen x·(1 + tan x)'(1 + tan x)²\n= (cos x)(1 + tan x) - sen x·(sec² x)\n(1 + tan x)²\n= sen x cos x + sen x - cos² x\ny' = (sen x cos x + sen x - cos² x)\n(1 + tan x)² sen x\nProblema 2.\nHalle la derivada de la función\nF(x) = √x² + 1\nResolución\nRecuerde:\nSi y = √x, entonces y' = 1\n2√x\nSe tiene la función:\nF(x) = √x² + 1\nProblema 3.\nHalle la derivada de la función\ny = (x³ - 1)¹⁰⁰\nResolución\nAplicamos la regla de la cadena:\ny' = 100(x³ - 1)⁹⁹.(x²)\ny' = 300x²(x³ - 1)⁹⁹\nProblema 4.\nHalle la derivada de la función\nf(x) = 1\n√x² + x + 1\nResolución\nLa función se puede expresar de la siguiente manera:\nf(x) = 1\n√x² + x + 1\n(x² + x + 1)³\nChristian Huertas\n Recuerde:\n(x² + x + 1)⁻¹/³\nSe tiene la función:\nf(x) = (x² + x + 1)⁻¹/³\nLo derivamos aplicando la regla de la cadena:\nf'(x) = -1/3(x² + x + 1)⁻⁴/³.(x² + x + 1)'\nf'(x) = -1/3(x² + x + 1)⁻⁴/³.(2x + 1)\nPor lo tanto,\nf'(x) = -2x + 1\n(x² + x + 1)³\nProblema 5.\nHalle la derivada de la función\ng(t) = (t - 2)\n(2t + 1)\nResolución\nSe tiene la función\ng(t) = (t - 2)\n(2t + 1)²\nLo derivamos aplicando la regla de la cadena:\ng'(t) = 2\n(t - 2)(2t + 1)'\n(2t + 1)²\n= 2(t - 2)[(t - 2)·(2t + 1) - (2t + 1)']\n(2t + 1)²\n= 2(t - 2)(1)·(2t + 1) - (t - 2)(2)(2t + 1)²\n= 2(t - 2)\n(2t + 1)²\nProblema 6.\nHalle la derivada de la función\ny = e^cos x\nResolución\nRecuerde:\nSi y = e^x, entonces y' = e^x\nSe tiene la función\ny = cos x\nLo derivamos aplicando la regla de la cadena:\ny' = e^cos x·(-sen x)\nPor lo tanto,\ny' = -sen x·e^cos x\nProblema 7.\nDado el polinomio cúbico\nP(x) = ax³ + bx² + cx + d\nHalle el valor de abcd si se sabe que\nP(0) = P(1) = -2, P'(0) = -1 y P''(0) = 10\nA) 40 B) -40 C) 20 D) -20 E) -80 Algebra\n\nResolución\nSe tiene los siguientes datos:\nP(0) = -2\nd = -2\nP(1) = -2\na + b + c + d = -2\n-2\nLuego, a + b + c = 0 ... (a)\n\nComo\nP(x) = ax³ + bx² + cx + d\nEntonces\nP'(x) = 3ax² + 2bx + c\nPor dato:\nP'(0) = -1\nc = -1\n\nComo\nP''(x) = 6ax + 2b\nEntonces\nP''(0) = 10\n2b = 10\nb = 5\nReemplazando en (a):\na = -4\nPor lo tanto, abcd = -40\nRpta: B\n\nProblema 8.\nDada la función h(x) = f(x - √(x - x²))\nHalle h'(1/2) si se sabe que f'(0) = 2.\nA) 0 B) -2 C) 1 D) -1 E) 2\n\nProblema 9.\nDada la función\nf(x) = { x² si x ≤ 2\n { ax + b si x > 2\nDetermine el valor de ab si se sabe que f es derivable en x = 2.\nA) -16 B) -8 C) -4 D) 8 E) 16\n\nResolución\n DERIVADAS\nSe sabe que la función\nf(x) = { f₁(x) = x² si x ≤ 2\n { f₂(x) = ax + b si x > 2\nes derivable en el punto x = 2 si se cumple lo siguiente:\n\ni) f₁(2) = f₂(2)\n4 = 2a + b ...( * )\n\nii) f'₁(2) = f'₂(2)\n2|x|=2 = a|x=2\n4 = a\nReemplazando en (*) se obtiene\nb = -4\nPor lo tanto, ab = -16\n\nProblema 10.\nEncuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva y = √(x) en el punto (1; 1).\n\nResolución\nSe tiene la función:\ny = √x\nQue es equivalente a:\ny = x^(1/2)\nHallamos la primera derivada:\ny' = 3/2 x^(-1/2)\nLo evaluamos en x = 1 para hallar la pendiente de la recta tangente:\nm = y'(1) = 3/2 (1)^{-1/2} = 3/2.\n\nUtilizamos la ecuación punto - pendiente:\ny - y₀ = m(x - x₀)\npara hallar la ecuación de la recta tangente con m = 3/2 (x₀; y₀) = (1; 1):\ny - 1 = 3/2 (x - 1)\ny = 3/2 x - 1/2\n\nUtilizamos la ecuación punto - pendiente:\ny - y₀ = m(x - x₀)\npara hallar la ecuación de la recta normal con m = -2/3 y (x₀; y₀) = (1; 1):\ny - 1 = -2/3 (x - 1)\ny = -2/3 x + 5/3.\n\nProblema 11.\nEncuentre el valor de c tal que la recta y = 3/2 x + 6 sea tangente a la curva y = c√x.\nA) √18 B) ±√18 C) 18 D) -√18 E) -18\n\nResolución\nPor dato, la recta\ny = 3/2 x + 6\nde pendiente m = 3/2 es tangente a la curva:\ny = c√x.\nLo derivamos:\ny' = c/(2√x).\nCalculamos la pendiente para x = x₀:\ny' (x₀) = c/(2√x₀) = 3/2.