Livro Guidorizzi Vol1

a Prove que g x eˣ fx fx x R é constante b Prove que existe uma constante A tal que para todo x leftfracfxAexexright 0 c Conclua de b que existe uma outra constante B tal que f x A eˣ B eˣ para todo x 8 Sejam f e g duas funções definidas e deriváveis em R Suponha que f0 0 g 0 1 e que para todo x fx gx e gᵣ x fx a Mostre que para todo x fx sen x² g x cos x² 0 b Conclua de a que fx sen x e gx cos x 9 Utilizando o Exercício 1 determine a única função y y x x R que satisfaça as condições dadas a fracdydx 2y e y 0 1 b fracdydx y e y 0 1 c fracdydx frac12y e y 0 2 d fracdydx sqrt2 y e y0 frac12 10 Determine a função cujo gráfico passe pelo ponto 0 1 e tal que a reta tangente no ponto de abscissa x intercepte o eixo 0x no ponto de abscissa x 1 11 Determine uma função y f x definida num intervalo aberto satisfazendo as condições dadas a fracdydx fracxy3 y 0 1 b fracdydx y sen x y 0 1 11 Determine uma função y f x definida num intervalo aberto satisfazendo as condições dadas a fracdydx fracxy3 y 0 1 b fracdydx y sen x y 0 1 12 Seja f R R derivável até a 2ª ordem e tal que para todo x fᵣ x fx a Mostre que para todo x fracddx leftfᵣx2 fx2 right 0 b Conclua que existe uma constante E tal que para todo x fx² f x² E 13 Sejam f t g t e h t funções deriváveis em R e tais que para todo t begincases fᵣt gt gᵣ t ft ht hᵣ t gtendcases Suponha que f 0 g 0 h 0 1 Prove que para todo t f t² g t² h t² 3 14 Sejam f t e g t funções deriváveis em R e tais que para todo t begincases fᵣ t 2 gt gᵣ t f tendcases Suponha ainda que f 0 0 e g 0 1 Prove que para todo t o ponto f t g t pertence à elipse fracx22 y² 1 Exercícios 101 1 Seja f R R derivável e tal que para todo x fx α fx α constante não nula Prove que existe uma constante k tal que para todo x fx k eᵅˣ 2 Determine y fx x R tal que fx 2 fx e f0 1 Sugestão Utilize o Exercício 1 3 Uma partícula deslocase sobre o eixo 0x de modo que em cada instante t a velocidade é o dobro da posição x xt Sabese que x 0 1 Determine a posição da partícula no instante t 4 A função y fx x R é tal que f0 1 e fx 2 fx para todo x Esboce o gráfico de f 5 Seja y fx x R derivável até a 2ᵃ ordem e tal que para todo x fᵣx fx 0 Seja g dada por g x fx sen x f x cos x Prove que g é constante 6 Seja f R R derivável até a 2ᵃ ordem e tal que para todo x fᵣ x fx 0 Prove que existe uma constante A tal que leftfracfx A cos xsen xright 0 para todo x em 0 π Conclua que exista outra constante B tal que para todo x em 0 π fx A cos x B sen x Sugestão Utilize o Exercício 6 7 Seja f R R derivável até a 2ª ordem e tal que para todo x fᵣ x fx 0