Áreas entre Curvas - Exercícios Resolvidos e Aplicações

Interseccao x1² x 1 x² 2x 1 x 1 x² 2x 1 x 1 0 x² 3x 0 x x 3 0 Para que a igualdade seja satisfeita x 0 ou x30 x3 mas queremos 1 x 2 x0 é a intersecção Em x 0 y 1 6 y x 1 fx x 1 y x 1² gx x 2 y y x 1 yg x 1² 3 2 1 1 2 3 x Interseccao Digitalizado com CamScanner 61 ÁREAS ENTRE AS CURVAS Revisão técnica Eduardo Garibaldi IMECC Unicamp 14 Encontre a área da região sombreada 1 2 3 4 510 Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas Decida quando integrar em relação a x ou a y Desenhe um retângulo aproximante típico e identifique sua altura e largura Então calcule a área da região 5 y 4x² y x² 3 6 y x 1 y x 1² x 1 x 2 7 y x² 1 y 3 x² x 2 x 2 8 y² x x 2y 3 9 y 1x x 0 y 1 y 2 10 y cos x y sec²x x π4 x π4 1136 Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e encontre a área da região 11 y x y x³ 12 y x y x2 13 y x 1 x 3y 1 0 14 y x⁴ x² y 1 x² 15 y x² 2 y 2x 5 x 0 x 6 16 x y² 2 x y 0 17 y x² 3 y x x 1 x 1 18 y x⁴ y x 1 x 2 x 0 19 y² x y x 5 y 1 y 2 20 x y² 0 x y² 1 y 0 y 3 21 y x² 4x y 2x 22 x² 2x y 0 x y 2 0 23 y 4 x² y x 2 x 3 x 0 24 y x³ 2x 2 y x 4 x 3 x 2 25 y x³ 4x² 3x y x² x 26 y x y sen x x π4 x π2 27 y sen x y cos 2x x 0 x π4 28 y x y x 1² 7 x 4 29 y x 1 y x² 3 x 0 30 x 3y x y 0 7x 3y 24 31 y x1x² y x x³ 32 y 1x y 1x² x 1 x 2 33 y x² y 2x² 1 34 y 2ˣ y 5ˣ x 1 x 1 35 y eˣ y e³ˣ x 1 36 y eˣ y eˣ x 2 x 1 37 Calcule a integral ₀¹ sen x 2π x dx e interpretea como a área de uma região Esboce a região 3839 Use a Regra do Ponto Médio com n 4 para aproximar a área da região delimitada pelas curvas dadas 38 y 1 x³ y 1 x x 2 39 y x tg x y x 4041 Use um gráfico para encontrar os valores aproximados das abcissas dos pontos de intersecção das curvas indicadas Use a Regra do Ponto Médio com n 4 para aproximar a área da região delimitada pelas curvas 40 y 1 3x 2x² y 1 x⁴ 41 y x² x y sen x² A área será dada por A from 1 to 0 gx fx dx from 0 to 2 fx gx dx A from 1 to 0 x 1² x 1 dx from 0 to 2 x 1 x 1² dx A from 1 to 0 x² 2x 1 x 1 dx from 0 to 2 x 1 x² 2x 1 dx A from 1 to 0 x² 3x dx from 0 to 2 x² 3x dx A x³3 from 1 to 0 3x²2 from 1 to 0 x³3 from 0 to 2 3x²2 from 0 to 2 A 1³3 31²2 2³3 32²2 A 13 32 83 6 2 9 16 36 6 316 ua y² x fx x 2y 3 x 32y g¹y Intersecção y² 32y y² 2y 30 Bhaskara y b b² 4ac 2a a 1 b 2 c 3 y 2 2²41321 2 16 2 2 4 2 y₁ 2 4 2 6 2 3 y₂ 2 4 2 2 2 1 Então temos dois pontos de interseção y 3 e y 1 A área pode dada por A 13gy fy dy 13 2y 3 y2 dy A 2y2213 3y13 y3313 A 32 12 33 1 13 33 13 A 9 1 12 283 20 283 60 283 A 323 ua 11 y x fx y x3 gx Interseção x x3 x 1 x 0 x 1 A área é dada por A 10gx fx dx 01 fx gx dx A 10 x3 x dx 01 x x3 dx A x44 x2210 x22 x4401 A 144 122 12 14 14 12 12 14 A 24 22 12 1 A 12 ua y x y x2 Interseção x x2 levando ao quadrado x x24 x24 x 0 xx4 1 0 Para que a igualdade seja satisfeita x 0 ou x4 1 0 x4 1 x 4 Seja fx x y gx x2 y 0 x 4 Cálculo A 04 fx gx dx 04 x x2 dx A 2x323 x222 04 24323 424 2364 164 A 283 164 163 4 43 ua 22 x2 2x y 0 y x2 2x x y 2 0 y 2 x Interseção x2 2x 2 x x2 2x 2 x 0 x2 x 2 0 Bhaskara x b b2 4ac 2a a 1 b 1 c 2 x 1 12 412 21 1 1 8 2 y x3 4x2 3x fx y x2 x gx Interseções x3 4x2 3x x2 x x3 4x2 3x x2 x 0 x3 5x2 4x 0 x x2 5x 4 0 Para a igualdade acima x 0 ou x2 5x 4 0 Bhaskara x 5 52 414 21 5 25 16 2 5 3 2 x1 5 3 2 82 4 x2 5 3 2 2 2 1 Os pontos de interseção são então x 0 x 1 x 4 A área será dada por A 01 fx gx dx 14 gx fx dx fx gx x3 4x2 3x x2 x x3 5x2 4x gx fx x2 x x3 4x2 3x x3 5x2 4x Então A 01 x3 5x2 4x dx 14 x3 5x2 4x dx A x4 401 5x3 301 4x2 201 x4 414 5x3 314 4x2 214 A 14 53 2 14 44 1 53 43 13 2 42 12 A 14 53 2 2554 3153 30 A 14 53 2554 105 28 14 53 2554 77 A 716 ua R1 R2 R3 R5 14 1292 1212 1232 1214 R4 12 3252 3214 Questão 6 Questão 8 Para ficar mais claro os desenhos os gráficos e os retângulos aproximados foram realizados com auxílio do software desmos A área aproximada é a soma das áreas dos cinco retângulos A área de um retângulo é base x altura e nesse caso os cinco retângulos tinham a mesma base e alturas diferenetes A 124 92 12 32 14 2 52 14 274 ua Assim com no exercício anterior a base todos os retângulos eram iguais a 12 A 12214 3 4 14 5 1 6 94 7 4 8 254 212 ua Continuação das questões 6 e 8