Atividade Calculo 1

Dominio e Imagen 4 zs ln x² y 5 z qx²y² 6 g xyzs 25 x² y² z² 7 w 1 x² y² 4 Para determinar o dominio e a imagem da função fx ln x²x é necessário analisar as condições para que a função esteja bem definida DOMÍNIO A função logaritmo natural lnx está definida apenas para x 0 Portanto x²x 0 Isso implica resolver a inequação xx1 0 Para resolver essa inequação encontramos os pontos críticos que são x 0 e x 1 1 Intervalo 0 Escolhendo um valor de teste como x 1 temos 111 2 0 2 Intervalo 01 Escolhendo um valor de teste como x 05 temos 05 051 025 0 3 Intervalo 1 Escolhendo um valor de teste como x 2 temos 2 21 2 0 Portanto o domínio da função é a união dos intervalos onde a inequação é positiva x 0 1 IMAGEM Para encontrar a imagem da função é necessário considerar o comportamento da função nos intervalos do domínio 1 Intervalo 0 À medida que x x² x então ln x²x À medida que x 0 x²x 0 então ln x² x 2 Intervalo 1 À medida que x 1 x²x 0 então ln x² x À medida que x x²x então ln x² x Combinando essas informações é possível ver que a imagem da função é Imagem R Assim a função ln x²x está definida para x 0 1 e sua imagem é R 5º A função envolve uma raiz quadrada então o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero para que o resultado seja um número real Assim temos a condição 9 x² y² 0 Rearranjando temos x² y² 9 Isso representa todos os pontos xy dentro ou sobre o círculo de raio 3 centrado na origem no plano xy IMAGEM A imagem da função z 9 x² y² é determinada pelos valores possíveis de z Como z é a raiz quadrada de uma quantidade não negativa z será sempre não negativo O valor máximo de z ocorre quando x 0 e y 0 o que dá z 9 0 0 9 3 Portanto a imagem da função é o intervalo 03 DOMÍNIO x² y² 9 IMAGEM 03 6º DOMÍNIO A função envolve uma raiz quadrada que só é definida para valores não negativos Portanto 25 x² y² z² 0 Isso implica que x² y² z² 25 O domínio é portanto o conjunto de pontos xyz que satisfazem essa desigualdade ou seja todos os pontos dentro ou sobre a superfície de uma esfera de raio 5 centrada na origem 000 IMAGEM A imagem de Gxyz é o conjunto de todos os valores possíveis de G como Gxyz 25 x² y² z² o valor máximo ocorre quando x² y² z² 0 resultando em G000 25 5 O valor mínimo ocorre quando x² y² z² 25 resultando em Gxyz 0 0 Portanto a imagem da função é o intervalo 05 DOMÍNIO x² y² z² 25 IMAGEM 05 7º DOMÍNIO O domínio da função é o conjunto de valores de xy para os quais a função está definida 1 Denominador não pode ser zero x² y² 0 x² y² 0 x² y² 2 Radicando deve ser não negativo x² y² 0 Portanto o domínio é D xy IR² x² y² IMAGEM A imagem da função é o conjunto de valores possíveis de W 1 Como W 1 x² y² e x² y² é sempre positivo no domínio W será sempre positivo 2 À medida que x² y² aumenta W diminui Assim W pode assumir qualquer valor positivo real Portanto a imagem é I 0 DOMÍNIO D xy IR² x² y² IMAGEM I 0