Atividade Calculo 3

UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS UFGD ENGENHARIA DE PRODUÇÃO DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III Profª Adriana de Fátima Vilela Biscaro Obs Esta lista de exercícios deverá ser entregue até o dia 20062024 via email em PDF em um único arquivo de forma organizada Não precisa ser digitalizado valor 20 Pontos Os exercícios envolvem os conteúdos de aplicações da derivada Grupo 7 1 No plano x y z 1 encontre o ponto cujo produto das coordenadas seja máximo resp mínimo Suponha que 𝑥 𝑦 𝑧 0 2 Seja 𝑓𝑥 𝑦 𝑦𝑒𝑥 𝑥𝑙𝑛𝑧 Mostre que 2𝑓 𝑥𝑦 2𝑓 𝑧𝑦 3 Determine a taxa máxima de variação de 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2𝑦 𝑥 no ponto 21 Em que direção isso ocorre 4 Um disco tem a forma do círculo 𝑥2 𝑦2 1 Supondo que a temperatura nos pontos do disco é dada por 𝑇𝑥 𝑦 𝑥2 𝑥 2𝑦2 determinar os pontos mais quentes e mais frios do disco 5 A temperatura em graus Celsius na superfície de uma placa metálica é dada por 𝑇𝑥 𝑦 20 𝑥2 4𝑦2 onde x e y são medidos em polegadas Em que direção a temperatura cresce mais rapidamente no ponto 23 Qual a taxa de crescimento 6 A tempera num ponto 𝑥 𝑦 𝑧 é dada por 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 200𝑥23𝑦29𝑧2 onde T é medido em graus Celsius e x y e z em metros a Determine a taxa de variação da temperatura no ponto P212 em direção ao ponto 333 b Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P c Encontre a taxa máxima de crescimento em P 7 O potencial elétrico V em 𝑥 𝑦 𝑧é dado por 𝑉 𝑥2 4𝑦2 9𝑧2Ache a taxa de variação de V em 𝑃2 13 na direção de P para a origem 8 A resistência de uma viga retangular varia como o produto de sua largura pelo quadrado de sua profundidade Determine as dimensões da viga de maior resistência cortada de um toro cilíndrico com seções elípticas de eixos maior e menor medindo 24cm e 16cm respectivamente 9 Dada a equação 𝑓𝑥 𝑦 9 2𝑥 4𝑦 𝑥2 4𝑦2 Determine os extremantes globais de 𝑓𝑥 𝑦 10 Encontre os valores máximo e mínimo de 𝑓𝑥 𝑦 8𝑥2 2𝑦 sujeito à restrição 𝑥2 𝑦2 1 TEM ERRO DE DIGITAÇÃO NESSA FUNÇÃO As derivadas não são iguais Fiz num software para conferir e o meu resultado está correto x2 y2 1 Txy x2 x 2y2 Pontos críticos T Tx Ty 2x1 4y Tx x x2x2y2 2x1 Ty y x2x2y2 4y T 00 2x10 x12 4y0 y0 P 120 ponto crítico Verificando se este ponto está dentro do disco 122 02 1 14 1 está 4 Hessiano HT Txx Txy 2 0 Tyx Tyy 0 4 Txx x 2x1 2 Txy Tyx 0 Tyy y 4y 4 H 2 0 2400808 0 4 1 L xyz λ x y z 1 restrições Lx yz λ 0 λ yz xz γ x Ly xz λ 0 Lz xy λ 0 λ xy yz z x Lλ x y z 1 0 x y z 1 0 y z x x x x 1 0 3x 1 0 x 13 y z O produto é xyz 131313 127 3 fxy x2 y x P 21 Taxa máxima de variações Gradiente f fx fy 2xy 12x12 x2 fx x x2 y x12 2xy 12x12 fy y x2 y x12 x2 Em P21 f21 221 12212 22 4 1232 4 Módulo de f21 f21 sqrt4 12322 42 59 3 A direção da máxima variação ocorre na direção e no sentido do vetor gradiente f21 f21 f21 4 1232 4 59 f21 0736 0677 Txx 0 H 0 o ponto 12 0 é um mínimo local Temperatura nesse ponto T12 0 12² 12 20² 14 12 14 24 T12 0 14 025 Pontos de fronteira T λg gx y x² y² 1 2x 1 4y λ2x 2y 2x 1 2λx 4y 2λy y 0 ou λ 2 Invertendo λ 2 na primeira equação 2x 1 22x 2x 1 4x 2x 1 x 12 Usando y 0 em x² y² 1 x² 1 x 1 Pontos 1 0 1 0 4 Usando x 12 em x² y² 0 12² y² 1 y 3 2 Pontos 12 3 2 e 12 3 2 Vamos testar os pontos 1 0 1 0 12 3 2 12 3 2 em Tx y T1 0 1² 1 0 0 T1 0 1² 1 0 2 T12 3 2 12² 12 23 2² 14 12 234 54 125 T12 3 2 225 O ponto de máximo é T12 3 2 7 V 2x 8y 18z V2 1 3 22 8 1 18 3 4 8 54 Na direção P para 000 direco P 2 1 3 V PP 4 8 54 2 1 322 12 32 4 8 54 2 1 314 814 814 3 5414 8927 T Tx₁ Ty 2x₁ 8y Tx x20 x² 4y² 2x Ty y20 x² 4y² 8y T2 3 22 83 4 24 T2 3 4² 24² 437 2433 A direção é T2 3 T2 3 T2 3 4 24 437 137 637 A taxa é T2 3 437 6 Txyz 200 x2 3y2 9z2 Tx ln200 2x 200x2 3y2 9z2 ln200 25x2 3y2 9z2 23 x2 3y2 9z2 1 Ty 3 ln200 25x2 3y2 9z2 23 x2 3y2 9z2 1 Tz 9 ln200 25x2 3y2 9z2 23 x2 3y2 9z2 1 T2 1 2 ln200 1212 2543 3212 2543 9212 2543 T212 ln200212 2543 3372 6 Derivada direcional û 3 3 3 û ūū 3 3 332 32 32 3 3 333 û 13 13 13 T2 1 2 û ln2002543 1212 3218 9212 13 13 13 ln2002543 212 33 32 33 ln2002543 212 2336 0 b TP TPTP ln200212 2543 3 ln2002 212 2543 9 ln200212 2543 2337 62337 9 2337 2337 3337 18337 6 c TP ln200212 2543 3372 R xy2 R x 1 x2242162 a2 b2 c2 x2a2 y2b2 1 x2242 y2162 1 y2 1 x2242162 R 256x1 x2576 dRdx 0 256x2192 1 0 x 83 y2 1 x2242162 5123 R xy2 R 409633 fxy 9 2x 4y x2 4y2 f fx fy fx 2 2x fx 0 2x 2 x 1 fy 4 8y fy 0 4 8y 0 y 12 xy 1 12 Este é o ponto de máximo global f1 12 9 21 412 12 4122 9 2 2 1 1 11 gxy x2 y2 1 Lxy 8x2 2y λg 8x2 2y λx2 y2 1 Lx 16x 22x 0 λ 8 ou x 0 Ly 2 2λy 0 Lλ 8x2 2y x2 y2 1 0 x2 y2 1 0 Se λ 8 2λy 2 y 14 x 154 Pontos 154 14 e 154 14 10 Hessiano Hxy 16 24 24 27 H154 14 16 152 152 16 162 154 0 H154 1 14 16 152 152 16 162 154 0 f154 14 f154 1 14 1198 Pontos de máximo Se x0 02 y2 10 y1 Pontos 01 e 01 f01 0 21 2 pontos de mínimo f01 0 21 2 1 L xyz λ x y z 1 restrições Lx yz λ 0 λ yz xz yx Ly xz λ 0 Lz xy λ 0 λ xy yz zx Lλ x y z 1 0 x y z 1 0 yzx x x x 1 0 3x 1 0 x 13 y z O produto é xyz 131313 127 TEM ERRO DE DIGITAÇÃO NESSA FUNÇÃO As derivadas não são iguais Fiz num software para conferir e o meu resultado está correto 3 fxy x2 y x P 21 Taxa máxima de variação Gradiente f fx1 fy 2xy 12 x12 x2 fx x x2 y x12 2xy 12 x12 fy y x2 y x12 x2 Em P 21 f21 221 12 212 22 4 1232 4 Módulo de f21 f21 4 12322 42 59 3 A direção da máxima variação ocorre na direção e no sentido do vetor gradiente f21 f21 f21 4 1232 4 59 f21 0736 0677 x2 y2 1 Txy x2 x 2y2 Pontos críticos T TxTy 2x1 4y Tx x x2 x 2y2 2x 1 Ty y x2 x 2y2 4y T 00 2x 1 0 x 12 4y 0 y 0 P 120 ponto crítico Verificando se este ponto está dentro do disco 122 02 1 14 1 está 20 Hessiano HT Txx Txy 2 0 Tyx Tyy 0 4 Txx x 2x1 2 Txy Tyx 0 Tyy y 4y 4 H 2 0 24 00 8 0 8 Txx 0 H 0 o ponto 120 é um mínimo local Temperatura nesse ponto T 12 0 122 12 202 14 12 14 24 14 025 Pontos de fronteira T λ g gxy x2 y2 1 2x1 4y λ 2x 2y 2x 1 2 λ x 4y 2 λ y y0 ou λ2 Inserindo λ2 na primeira equação 2x 1 22x 2x 1 4x 2x 1 x 12 Usando y0 em x2 y2 1 x2 1 x 1 Pontos 10 10 21 Usando x 12 em x2 y2 0 122 y2 1 y 32 Pontos 12 32 e 12 32 Vamos testar os pontos 10 10 12 32 12 32 em Txy T10 12 1 0 0 T10 12 1 0 2 T12 32 122 12 2322 14 12 234 54 125 T12 32 225 O ponto de máximo é T12 32 5 T Tx Ty 2x1 8y Tx x 20 x2 4y2 2x Ty y 20 x2 4y2 8y T2 3 22 83 4 24 T2 3 42 242 437 2433 A direção é T 2 3 T2 3 T2 3 4 24 437 137 637 A taxa é T2 3 437 6 Txyz 200 x2 3y2 9z2 Tx ln200 2x 200x2 3y2 9z2 ln200 25 x2 3y2 9z2 23 x2 3y2 9z2 1 x Ty 3ln200 25 x2 3y2 9z2 23 x2 3y2 9z2 1 y Tz 9ln200 25 x2 3y2 9z2 23 x2 3y2 9z2 1 z T2 1 2 ln200 12127 2543 32128 2543 92127 2543 T2 1 2 ln200 2127 2543 337 2 6 Derivada direcional u 3 3 3 u u u 3 3 3 32 32 32 3 3 3 33 u 13 13 13 T2 1 2 u ln2002543 12127 32128 92127 13 13 13 ln2002543 2127 33 32 33 ln2002543 2127 2336 0 b Tp Tp Tp ln200 2127 2543 3ln200 2 2127 2543 9ln200 2127 2543 2337 6 2337 9 2 337 2 337 1 3 337 18 337 6c Tp ln200 2127 2543 337 2 V 2x 8y 18z V2 1 3 22 81 183 4 8 54 Na direção p para 0 0 0 direção p 2 1 3 V pP 4 8 54 2 1 3 22 12 32 4 8 54 2 1 3 14 814 814 35414 892 7 R xy2 R x 1 x2 242 162 a2 b2 c2 x2 a2 y2 b2 1 x2 242 y2 162 1 y2 1 x2 242 162 R 256 x 1 x2 576 dRdx 0 256 x2 192 1 0 x 83 y2 1 x2 242 162 5123 R xy2 R 40963 3 fxy 9 2x 4y x2 4y2 f fx fy fx 2 2x fx 0 2x 2 x 1 fy 4 8y fy 0 4 8y 0 y 12 x y 1 12 Este é o ponto de máximo global f1 12 9 21 412 12 4 122 9 2 2 1 1 11 10 g xy x² y² 1 Lxy 8x² 2y λg 8x² 2y λx² y² 1 Lx 16x 2λx 0 λ 8 ou x 0 Ly 2 2λy 0 Lλ 8x² 2y x² y² 1 0 x² y² 1 0 Se λ 8 2λy 2 y 14 x 154 Pontos 154 14 e 154 14 10 Hessiana Hxy 16 2y 2y 2λ H 154 14 16 152 152 16 16² 154 0 H 154 14 16 152 152 16 16² 154 0 f 154 14 f 154 14 1198 pontos de maximo Se x 0 0² y² 1 0 y 1 Pontos 0 1 e 0 1 f0 1 0 21 2 ponto de minimo f0 1 0 21 2