Calculo de Comprimento de Caminho Integral, Massa de Fio e Fluxo de Campo Vetorial em Superfície Exponencial Cilíndrica

1 50 dado C o caminho definido pelos vínculos x2 y2 R2 z R x2 R2 R 0 determine a O trabalho realizado pelo campo de força F K x2 y2 z2 xyz onde K 0 a partir do ponto R 0 0 até um ponto arbitrário pertencente de C b O resultado do item a permite determinar se campo F é conservativo isto é independente do caminho c Calcular a fórmula para o cálculo do comprimento do caminho de integração Usando a aproximação 1 sen2 φ 1 12 φ2 onde 0 φ 1 calcule o comprimento de um trecho curto do caminho d Calcular a massa de um fio de forma dada por C e cuja densidade é ρxyz μ xyz para μ 0 2 25 Seja S uma superfície exponencial cilíndrica em Oxyz definida por x expay onde a 0 Esta superfície é recortada num trecho finito usando as seguintes superfícies y 0 y c e z b exp 2y para b 0 Calcular área recortada de S definida acima 3 25 Calcular o fluxo do campo vetorial E yzx através das quatro faces do prisma parabólico definido por x a2 y2 x 0 z 0 e z b Cálculo 3 D a Temos que F î ĵ k x y z kxx2 y2 z2 kyx2 y2 z2 k3x2 y2 z2 000 F é conservativo Pelo teorema das integrais de linha w C F dr C f dr ou seja fx kxx2 y2 z2 fy kyx2 y2 z2 e fj k3x2 y2 z2 logo fxyz k xx2 y2 z2 dx kx2 y2 z2 gyz fy kyx2 y2 z2 gy fx 0 gyz hz fxyz kx2 y2 z2 hz fz k3x2 y2 z2 dhdz dhdz 0 hz A Portanto fxyz kx2 y2 z2 A e o Trabalho w C f dr CR00 f dr W fxyz fR00 W kx² y² z³ kR² W kx² y² z³ R b Sim pois F 0 logo concluímos que F é conservativo c Sendo x² y² k² e 3R x² R² A interseção y² 3R² 0 z y² R² Parametrização uϕ uxyz R cos ϕ R sin ϕ k² sin² ϕ R² O comprimento será dado por L ₀ϕ uϕ dϕ L ₀ϕ dxdϕ² dydϕ² dzdϕ² dϕ L ₀ϕ R sin ϕ² R cos ϕ² 2R cos ϕ sin ϕ² dϕ L ₀ϕ R² 2R² sin² ϕ cos² ϕ dϕ L ₀ϕ R² R² sin² 2ϕ dϕ L ₀ϕ R 1 sin² 2ϕ dϕ usando 1 sin² Θ 1 12 Θ² com 0 Θ 1 L R ₀ϕ 1 2ϕ² 2 dϕ R ₀ϕ 1 2ϕ2 dϕ L R ϕ 23 ϕ3₀ϕ L R ϕ 23 ϕ³ L Rϕ 1 23 ϕ² D Massa m c exyz ds m c et dxdt² dydt² dzdt² dt sendo exyz μ x y z então Parameterização anterior et μ R cos t R sen t R sen² t et R³ μ cos t sen³ t logo m ₀ϕ R³ μ cos t sen³ t R² R² sen² 2t dt m R⁴ μ ₀ϕ cos t sen³ t 1 sen² 2t dt m R⁴ μ 2 ₀ϕ sen t sen 2t 1 sen² 2t dt m k μ 4 ₀ϕ 1 cos 2t sen 2t 1 sen² 2t dt Supondo 0 ϕ 1 1 sin²t 1 2t²2 m R⁴μ4 ₀ϕ 1 cos2t sin2t 1 2t²2 dt m R⁴μ4 ₀ϕ 1 cos2t sin2t 1 2t² dt m R⁴μ4 ₀ϕ sin2t 2t² sin2t cos2t sin2t 2t² cos2t sin2t dt Usando Wolfram Alpha m R⁴μ4 12 cos2t 12 t² cos2t t sin2t 18 cos⁴t 132 8t² 1 cos⁴t 4t sin⁴t₀ϕ m R⁴μ4 12 cos2ϕ 12 12 t² cos2ϕ ϕ sin2ϕ 12 cos2ϕ 18 132 7 1 cos⁴ϕ 18 132 m R⁴μ4 cosϕ 1 2ϕ²2 ϕ sin2ϕ 8ϕ²32 332 cos⁴ϕ 1132 2 Área A 1 dxdy² dxdz² dA com x aʸ A ₀c ₀bcʸ 1 acʸ² dz dy A ₀c 1 a² c²ʸ ʸⁿ bc²ʸ₀ dy A ₀c b c²ʸ 1 a² c2ʸ dy b ₀c c²ʸ 1 a² e²ʸ² dy 7 3 Parametrização 𝖗 uv a² u² u v 𝖗u xu yu zu 2u 1 0 𝖗v xv yv zv 0 0 1 𝖗u 𝖗v 𝑖 𝑗 𝑘 2u 1 0 0 0 1 1 2u 0 F uv u v a² u² Potanto 𝚽 S F d𝚺 S F uv 𝖗u 𝖗v dA 𝚽 S u 2uv dudv 8 com 0 v b e Também x a² y² a² u² 0 u² a² u a então from a to a from 0 to b 2uv u dv du from a to a uv² uv from 0 to b du from a to a b²u bu du b² u² 2 bu² 2 from a to a 0