Atividade de Pre Cálculo

UFPR Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matemática CM310 Pré Cálculo Professor Gabriel Cordeiro Chileider Prova 1 Orientações Questões sem justificativa ou cálculos não serão aceitas Nome GRR Data Nota Questão 1 Calcule a solução das inequações abaixo 15 pontos cada a 5x 5x 1 1 Note que 5x 5 5x 1 assim 5x 5x 1 pode ser simplificado como 5x 1x 1 5 desde que x seja diferente de 1 No contexto acima temos que nossa inequação é equivalente a 5 1 o que é uma verdade sempre Portanto S R 1 ou se preferir S 1 ou S x R x 1 Os três modos de escrever o conjunto solução estão corretos b 3x 22x 4 7 Somase 7 em ambos os lados para obter uma inequação equivalente dada por 3x 22x 4 7 0 A partir disso fazendo a soma de frações temos a seguinte inequação 3x 2 72x 42x 4 0 o que equivale simplificando o numerador a 11x 302x 4 0 Observe que o numerador é não negativo para x 3011 e negativo para x 3011 No mesmo raciocínio o denominador é positivo para x 2 e negativo para x 2 o denominador não pode se anular então x não pode ser 2 Agora fazendo o estudo do sinal temos o seguinte esboço Uma vez que queremos os valores x para os quais a expressão 11x 302x 4 0 segue que o conjunto solução é dado por S 3011 2 ou se preferir S x R x 3011 ou x 2 Questão 2 Vimos em sala que xy x y2 sempre que x e y são números reais não negativos Responda o que se pede a Construa um exemplo em que a desigualdade citada no enunciado não é verdadeira 1 ponto Tome x 1 e y 4 teremos xy 1 4 4 2 Por outro lado x y2 1 42 52 Assim para esses valores de x e y não é verdade que xy x y2 b Sejam x e y números reais não negativos Calcule o valor mínimo da expressão 2x y sabendo que 2xy 64 2 pontos Se para todos números x e y não negativos a desigualdade é válida então em particular é válida para 2x o qual é positivo e y ou seja 2xy 2x y2 Uma vez que por hipótese do enunciado temos 2xy 64 o lado esquerdo da desigualdade acima tornase 64 8 Assim 8 2x y2 Multiplicando por 2 em ambos os lados da inequação obtemos 16 2x y Portanto o valor mínimo de 2x y é 16 Questão 3 Considere a função fx 1997x² 3994x 2250000 sen2²⁰²⁴ a Calcule o ponto de mínimo da função 1 ponto O ponto de mínimo de uma função de segundo grau é dado pelo x do vértice isto é xv b2a Logo xv b2a 39942 1997 39943994 1 Portanto o ponto de mínimo da função é x 1 b Calcule o valor da soma das raízes de f 1 ponto Se x₁ e x₂ são as raízes da f então x₁ x₂ ba Assim x₁ x₂ ba 39941997 39941997 2 Portanto a soma das raízes vale 2 Questão 4 Dada a função fx x2 4x 3 Vamos encontrar a reta tangente a ela no ponto 4 3 Para isso faça o que se pede 1 ponto cada a A reta tem inclinação a 4 e uma vez que ela é tangente a função f no ponto 4 3 temos que ela passa pelo ponto 4 3 Com essas informações encontre a equação da reta Uma vez que a reta tem inclinação a 4 então a reta é da forma y 4x b Agora substituindo o ponto 4 3 na equação temos 3 4 4 b ou seja 3 16 b Desse modo encontramos b 13 Portanto a equação da reta é dada por y 4x 13 b Desenhe o gráfico de f e da reta encontrada no item anterior destacando o ponto de tangência 3 Uma vez que queremos os valores x para os quais a expressão 11x 302x 4 0 segue que o conjunto solução é dado por S 3011 2 ou se preferir S x R x 3011 ou x 2 Questão 2 Vimos em sala que xy x y2 sempre que x e y são números reais não negativos Responda o que se pede a Construa um exemplo em que a desigualdade citada no enunciado não é verdadeira 1 ponto Tome x 1 e y 4 teremos xy 1 4 4 2 Por outro lado x y2 1 42 52 Assim para esses valores de x e y não é verdade que xy x y2 b Sejam x e y números reais não negativos Calcule o valor mínimo da expressão 2x y sabendo que 2xy 64 2 pontos Se para todos números x e y não negativos a desigualdade é válida então em particular é válida para 2x o qual é positivo e y ou seja 2xy 2x y2 Uma vez que por hipótese do enunciado temos 2xy 64 o lado esquerdo da desigualdade acima tornase 64 8 Assim 8 2x y2 Multiplicando por 2 em ambos os lados da inequação obtemos 16 2x y Portanto o valor mínimo de 2x y é 16 Questão 3 Considere a função fx 1997x² 3994x 2250000 sen2²⁰²⁴ a Calcule o ponto de mínimo da função 1 ponto O ponto de mínimo de uma função de segundo grau é dado pelo x do vértice isto é xv b2a Logo xv b2a 39942 1997 39943994 1 Portanto o ponto de mínimo da função é x 1 b Calcule o valor da soma das raízes de f 1 ponto Se x₁ e x₂ são as raízes da f então x₁ x₂ ba Assim x₁ x₂ ba 39941997 39941997 2 Portanto a soma das raízes vale 2 UFPR Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matemática Introdução ao cálculo CM300 Professor Gabriel Cordeiro Chileider Prova 1 Orientações O formulário está no verso Questões sem justificativa não serão aceitas A prova vale 100 pontos mas cada questão vale 20 pontos A sua nota será composta pela soma das 5 melhores notas das questões que fizer Nome Nota Data Questão 1 Resolva as equações abaixo a x 1 x 2 Efetuando as operações para resolver a equação temos x x 1 2 isto é 0 3 Uma contradição logo não existe solução real Uma outra maneira de pensar é não existe nenhum número real x tal que ele subtraido 1 é igual a ele somado 2 b x 2 3x 8 Multiplicando ambos os lados por 2 obtemos x 23x 8 Aplicando a distributiva do lado direito chegamos em x 6x 16 ou seja x 6x 16 Simplificando a equação chegamos em 5x 16 Nesse sentido basta multiplicar ambos os lados por 1 5 e a solução será x 16 5 ou em decimal x 3 2 Questão 2 Resolva as inequações abaixo a 5x 3x 3994 x 13979 Utilizando as operações básicas para colocar tudo que é variável no membro esquerdo da equação obtemos 5x 3x x 13979 3994 o que pode ser reescrito como 9x 17973 Ao dividir por 9 em ambos os membros obtemos a solução x 17973 9 isto é x 1997 b x 2 2024 x 2 Somando x 2 em ambos os lados da igualdade ficamos com a expressão x 2 x 2 2024 x 2 x 2 Simplificando temos 2x 2 2024 em outras palavras a solução é x 2024 c 3x 5 8 2x Efetuando as operações vistas em aula chegamos na expressão 3x 2x 8 5 consequentemente temos que 5x 13 assim x 13 5 ou em decimal se preferir x 2 6 1 d 7x 8 37 4x Somase 4x em ambos os membros e somase 8 em ambos os membros e obtémse 7x 4x 8 8 37 8 4x 4x simplificando a expressão obtémse 11x 45 Nesse sentido basta multiplicar ambos os membros da inequação por 1 11 ou dividir por 11 que é essencialmente o mesmo processo A solução é x 45 11 ou x 4 09 aproximadamente Questão 3 Para os itens a seguir considere a função fx 3x 1 a Calcule a raiz da função f A raiz de uma função de primeiro grau fx ax b é dada por x b a ou seja x tal que fx 0 No caso da nossa questão temos a 3 e b 1 logo a raiz é dada por x b a 1 3 b Desenhe o gráfico da função f c Calcule o valor de x para que fx 6073 fx 6073 3x1 6073 3x 60731 3x 6072 x 6072 3 x 2024 Portanto x 2024 2 Questão 4 Resolva as equações abaixo a 4x 2 16 Caso 1 se 4x 2 é positivo então 4x 2 4x 2 nesse sentido reescrevemos a equação modular como 4x 2 16 Agora resolvendo a equação obtemos 4x 16 2 ou seja 4x 18 Ao dividir ambos os membros por 4 chegamos na solução x 184 ou se preferir x 45 Caso 2 se 4x 2 é negativo então 4x 2 4x 2 assim reescrevemos a equação modular como 4x 2 16 assim 4x 16 2 Uma vez que 4x 16 2 então 4x 14 em outras palavras x 144 em decimal x 35 Portanto o conjunto solução da equação modular é dado por S 184 144 em decimal S 45 35 b 2x 1 4 Caso 1 se 2x 1 é negativo então 2x 1 2x 1 dentro desse contexto reescrevamos a equação modular como sendo 2x 1 4 Ao resolver essa equação chegamos na solução x 52 ou em decimal x 25 Caso 2 se 2x 1 é negativo então 2x 1 2x 1 assim reescrevendo a equação modular temos 2x 1 4 Resolvendo a equação obtemos como resposta x 32 ou em decimal x 15 Portanto o conjunto solução será S 52 32 ou em decimal S 25 15 Questão 5 Calcule as raízes as coordenadas xv e yv e faça o gráfico de fx x² 6x 5 Raízes existem vários métodos de encontrar as raízes de uma função de segundo grau um deles é a soma e produto por dizer se x₁ e x₂ são raízes da equação dita no enunciado então x₁ x₂ ba e x₁ x₂ ca Assim devemos pensar em dois números que somados resultam em 6 e multiplicados resultam em 5 A resposta mais óbvia é x₁ 1 e x₂ 5 Portanto as raízes são 1 e 5 Observação caso o estudante não esteja familiarizado com o método da soma e produto uma alternativa é a conhecida Fórmula de Bhaskara que também obtém a mesma solução Coordenadas xv e yv para encontrar as coordenadas do vértice basta utilizar as fórmulas fornecidas por dizer xv b2a 62 1 62 3 yv Δ4a b² 4ac4a 6² 4 1 54 1 36 204 164 4 Portanto xv 3 e yv 4 Gráfico Questão 6 Multiplique os coeficientes da função anterior por 3 e calcule as raízes e o vértice da nova função que você obteve O que aconteceu com as raízes e o vértice Ao multiplicar todos os coeficientes da função anterior por 3 obtemos uma nova função dada por gx 3x² 18x 15 Raízes Aplicando a fórmula de Bhaskara para resolver encontrar as raízes da nova função temos x b b² 4ac 2a 18 18² 4 3 15 2 3 18 324 180 6 18 144 6 18 12 6 Assim temos x₁ e x₂ calculados abaixo x₁ 18 12 6 6 6 1 x₂ 18 12 6 30 6 5 Portanto x₁ 1 e x₂ 5 Vértices aplicando as fórmulas para encontrar os vértices temos xv b 2a 18 2 3 18 6 3 yv Δ 4a b² 4ac 4a 18² 4 3 15 4 3 144 12 12 Logo as coordenadas do vértice são dadas por xv 3 e yv 12 Após a resolução das contas concluímos que as raízes permanecem as mesmas mas o vértice muda A coordenada xv permanece igual mas a coordenada yv é multiplicado por 3 assim como os coeficientes da função Questão 7 Imagine que Irineu queira cercar um galinheiro em formato retangular e que ele tenha disponível 12 metros de tela para fazer isso a Qual é o valor da medida dos lados do galinheiro para que o galinheiro retangular de Irineu tenha área máxima Uma vez que o galinheiro tem formato retangular imagine que os lados desse galinheiro tenham medidas desconhecidas x e y Dito isso o perímetro do galinheiro será 2x 2y mas isso é justamente a medida dos 12 metros de tela logo 2x 2y 12 Agora dividindo por 2 ambos os membros da igualdade obtemos x y 6 ou melhor isolando y temos y 6 x Do fato de que a área é retangular a área A é dada pelo produto dos lados isto é A xy Substituindo y 6 x na expressão A x y obtemos A x6 x x2 6x Como queremos o valor das medidas para que a área seja máxima basta calcular o x do vértice na função área conforme segue xv b 2a 6 2 1 6 2 3 Assim uma das medidas dos lados para que a área seja máxima vale x 3 Como o outro lado é y 6 x substituindo obtemos y 3 Logo a medida dos lados x e y são iguais a 3 b Qual é o valor dessa área Uma vez que os lados valem 3 e a área é o produto dos lados o valor da área é A 3 3 9m2 Questão 8 Uma empresa produz um determinado produto com o custo definido pela seguinte função Cx x2 80x 3000 Considerando o custo C em reais e x a quantidade de unidades produzidas determine a quantidade de unidades para que o custo seja mínimo e o valor desse custo mínimo A quantidade de unidades corresponde a variável x Além disso para determinar a quantidade de unidades para que o custo seja mínimo devemos calcular o x do vértice xv b 2a 80 2 1 80 2 40 A quantidade de unidades para que o custo seja mínimo é x 40 Por fim para calcular o valor desse custo devemos obtemos o y do vértice por dizer yv fxV f40 402 80 40 3000 1600 3200 3000 1400 Portanto o custo é de 1400 reais 5