Atividade N2

Curso Disciplina EDO e Cálculo Vetorial Turma Professor Aluno Data Todos os passos das soluções devem ser apresentados de forma clara 1 Determine a derivada parcial fx fy fz de primeira ordem das seguintes funções a fxy xy ex cosy b fxyz 4x3 y2 ez y4 z2x2 4y x16 2 Encontre o gradiente da função e o avalie no ponto 332 x2 y 4z exy 35 3 Determine o rotacional x F da seguinte função F x2 y i 2x z j x y zk 4 Para cada função calcule lim t3 rt a rt t2 3t 4i 4t 3j b rt 2t4t1i tt21j 4t 3k 1a Temos fx x xy ex cosy xx y xex cosy fx 1 y ex cosy fx y ex cosy fy y xy ex cosy yxy y ex cosy fy x yy ex y cosy x 1 ex seny fy x ex seny fz z xy ex cosy fz 0 b fxyz 4x3 y2 ez y4 z2 x2 4y x16 fxyz 4x3 y2 ez y4 z2 x2 4y x16 Então fx 4 xx3 y2 xez y4 z2 xx2 x4y xx16 fx 4 3x2 y2 0 z2 2x3 0 16x15 fx 12 x2 y2 2 z2 x3 16 x15 fy 4x3 yy2 ez yy4 yz2 x2 y4y yx16 fy 4 x3 2y ez 4 y3 0 4 0 fy 8 x3 y 4 ez y3 4 fz z 4x3 y2 z ez y4 z z2 x2 z 4y x16 fz 0 ez y4 2z x2 0 fz ez y4 2z x2 No ponto 332 temos zx 233 42e33 4e33 18 8e0 4e0 264 132 e zy 32 42e33 4e33 9 84 14 Logo z332 132 14 2 Cons x2 y 4zexy 35 x2 y 4z ex ey 35 e sendo z fxy a função dada implicitamente x x2 y x 4 z ex ey 35 2x y 4 zx ex ey 4z x ex ey x 35 2x y 4 zx ex ey 4z ex ey 0 2x y 4z exy 4 exy zx zx 2x y 4z exy 4 exy e analogamente y x2 y y 4z ex ey 35 x2 4 zy ex ey 4z ex ey 0 x2 4z exy 4 exy zy zy x2 4z exy 4 exy 3 Temos que rot F i j k x y z x2 y 2x z xyz rot F y xyz z 2xz z x2 y x xyz x 2xz y x2 y rot F 1 2x 0 1 2z x2 rot F 12x 1 2z x2 4 a Temse lim nt lim t3 t2 3t 4i 4t 3j lim t3 t2 3t 4i lim t3 4t 3j 32 33 4i 43 3j 9 9 4i 12 3j 4i 15j b Temos que lim nt lim t3 2t 4 t 1 i t t2 1 j 4t 3k lim t3 2t 4 t 1 i lim t3 t t2 1 j lim t3 4t 3k 23 4 3 1 i 3 32 1 j 43 3k 6 4 4 i 3 9 1 j 12 3k 12 i 310 j 9 k