Atividade N3

Curso Disciplina EDO e Cálculo Vetorial Turma Professor Aluno NotaConceito Data Todos os passos das soluções devem ser apresentados de forma clara 1 Calcule a integral de linha onde C é a curva dada C y ds C x t² e y t 0 t 2 2 Calcule a integral de linha C Fdr onde C é dada pela função vetorial rt para 1 t 3 Fxyz yzi xzj xyk rt t³i t²j tk 3 Calcule a integral de linha utilizando o Teorema de Green C xy² dx x³ dy C é o retângulo com vértices 00 2 0 2 3 e 0 3 4 Calcule S x²yx dS em que S é a porção do plano z 1 2x 3y definida para todos os pontos que estão dentro do retângulo definido por 0 x 3 e 0 y 2 1 Temos que x t² dxdt 2t y t dydt 1 Assim ds dxdt² dydt² dt 2t² 1² dt ds 4t² 1 dt Então C y ds 0² t 4t² 1 dt Se u 4t² 1 du 8t dt C y ds 18 0² 8t 4t² 1 dt 18 u du 18 u12 du 18 u12 112 1 14 18 u32 112 u32 112 4t² 1³ t2 t0 112 42² 1³ 40² 1³ 112 17³ 7³ 112 1717 1 2 Como rt 3t² 2t 1 e Frt Ft³ t² t t³t t²t t³t² Frt t³ t⁴ t⁵ segue que Frt rt t³ t⁴ t⁵3t² 2t 1 3t⁵ 2t⁵ t⁵ 6t⁵ Deste modo C Fdr 1³ 6t⁵ dt t⁶ 13 3⁶ 1⁶ 729 1 728 3 Inicialmente o retângulo é tal y 3 0 x 2 0 y 3 Assim do Teorema de Green temos C xy2 dx x3 dy D x x3 y xy2 dA onde D 02 03 Como z gxy 1 2x 3y entäo podemos usar a fórmula S fxyz dS D fxygxy sqrtzx2 zy2 1 dA Temos que fxyz x2 y2 z fxygxy x2 y2 1 2x 3y x2 y2 2x3 y2 3x2 y3 e zx 2 zy 3 sqrtzx2 zy2 1 sqrt22 32 1 sqrt4 9 1 sqrt14 Logo como D 03 02 obtemos S x2 y2 z dS 03 02 x2 y2 2x3 y2 3x2 y3 sqrt14 dy dx sqrt14 03 x2 y22 x3 y2 x2 y3 y02 dx C xy2 dx x3 dy 03 02 3x2 2xy dx dy 03 x3 x2 y x02 dy 03 23 22 y 0 0 y dy 03 8 4y dy 8y 2y2 y30 83 232 80 203 24 29 24 18 6 oe seja S x² y t dS 14 0³ x² 22 x³ 2² x² 2³ x² 02 x³ 0² x² 0³ dx 14 0³ 2x² 4x³ 8x² dx 14 0³ 10x² 4x³ dx 14 10x³3 x⁴ x3 x0 14 10 3³3 3⁴ 10 0³0 3 0⁴ 14 10 9 81 14 90 81 171 14