Exercícios Resolvidos: Séries, Equações Diferenciais e Modelos de Crescimento Econômico

Sabendo que n0 até xn n ex Assinale a alternativa que apresenta o valor correto da soma da série 1 e e2 2 e3 3 e4 4 Alternativas a e b 1e c 0 d ee e ee Seja a equação dydx 2y 3e3x assinale a alternativa que contenha o fator integrante Alternativas a Ix e2x b Ix ex c Ix 2x d Ix 3e3x e Ix e2x2 Os modelos formais de desenvolvimento econômico quer nos termos da visão keynesiana como baseados na concepção neoclássica são essenciais para a compreensão do processo de desenvolvimento econômico embora apresentem sérias limitações que não podem ser perdidas de vista O Modelo HarrodDomar de crescimento econômico apresenta uma grande simplicidade e na medida em que dá primazia à acumulação de capital e não garante qualquer equilíbrio automático e necessário da economia através dos mecanismos de mercado parece se adequar melhor à explicação do processo de desenvolvimento econômico que outros modelos mais complexos A solução do modelo de crescimento de HarrodDomar descreve a trajetória do produto de uma economia através da equação diferencial dYdt svY 0 em que Y é o produto t o tempo s a propensão marginal a poupar e v a relação incremental capitalproduto Sendo Y0 o valor inicial do produto e assumindo que s e v são constantes A solução dessa equação é Alternativas a Yt sY0 tv b Yt Y0 vtes c Yt Y0 esvt d Yt tY0 sv e Yt tY0 esv Considere a sequência formada pelos termos a seguir Assinale a alternativa que apresenta seu limite Alternativas 0 1 2 4 não existe Considere a série alternada a seguir Sobre a convergência dessa série analise as afirmações que seguem I É divergente II É condicionalmente convergente III É convergente IV É absolutamente convergente É correto o que se diz em Alternativas I apenas I e III apenas III e IV apenas II III e IV apenas I II III e IV Na etapa 1 de um procedimento um quadrado de lado 1 cm é dividido em nove quadrados iguais e da malha resultante removese o quadrado central Em seguida na etapa 2 repetese esse processo com cada um dos oito quadrados restantes Na etapa n aplicase o procedimento descrito a cada um dos quadrados conservados na etapa n 1 Com base nessas informações e sendo n um número muito grande a soma das áreas dos quadrados removidos até a etapa n pode ser escrita como Alternativas Considere a série de potências a seguir n0 1n xn 3n n 1 Assinale a alternativa que contém o intervalo de convergência correto para essa série Alternativas 3 3 3 3 3 3 3 3 infinito Uma carga uniforme de 12 kNm é uniformemente distribuída através da viga ilustrada na figura abaixo A deflexão é o grau em que a viga será deslocada sob uma carga devido à sua deformação Na viga acima a deflexão yx é descrita pela equação diferencial linear d4ydx4 3512 Considerando essas informações qual a ordem da equação diferencial que descreve o sistema Alternativas 4 3 2 1 12 A sequência numérica em que cada termo a partir do segundo é igual à soma do termo anterior com uma constante r é denominada de Progressão Aritmética PA e a constante r é denominada razão da PA A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn a1 ann2 em que a1 e an são respectivamente o primeiro e o nésimo termos da PA Dado que a soma dos n primeiros termos de uma PA seja igual a Sn o valor da expressão Sn3 3Sn2 3Sn1 Sn é equivalente a Alternativas 0 1 n nn 1 n 1n 2 Questão 1 Solução Temos que n0 xn n ex Fazendo x e obtemos que ee n0 en n e0 0 e1 1 e2 2 e3 3 e4 4 Ou seja ee 1e e2 2 e3 3 e4 4 Resposta final Opção 5 ee 1 Questão 2 Seja a equação dydx 2y 3e3x assinale a alternativa que contenha o fator integrante Solução Observe que a equação diferencial dada está na forma de uma EDO linear dydx pxy qx Para este tipo de EDO o fator integrante é por construção na forma Ix epxdx Como para a EDO dada temse px 2 então Ix epxdx e2dx e2x Resposta final Opção 1 Ix e2x Questão 3 Os modelos formais de desenvolvimento econômico quer nos termos da visão keynesiana como baseados na concepção neoclássica são essenciais para a compreensão do processo de desenvolvimento econômico embora apresentem sérias limitações que não podem ser perdidas de vista O Modelo HarrodDomar de crescimento econômico apresenta uma grande simplicidade e na medida em que dá primazia à acumulação de capital e não garante qualquer equilíbrio automático e necessário da economia através dos mecanismos de mercado parece se adequar melhor à explicação do processo de desenvolvimento econômico que outros modelos mais complexos A solução do modelo de crescimento de HarrodDomar descreve a trajetória do produto de uma economia através da equação diferencial dYdt svY 0 em que Y é o produto t o tempo s a propensão marginal a poupar e v a relação incremental capitalproduto Sendo Y0 o valor inicial do produto e assumindo que s e v são constantes A solução dessa equação é Solução Observe que a equação diferencial dada pode ser escrita como dYdt svY ou ainda 1YdYdt sv Integrando ambos os membros da última equação com relação a t obtemos 1YdY svdt lnY c1 svt c2 c1c2 R lnY svt c3 c3 R Y e svt c3 c3 R Y ec3esvt c3 R Y cesvt c R Observe que no tempo t0 o valor inicial é Y0 ou seja Y0cesv0 c Y0 Portanto Yt Y0esvt Resposta final Opção 3 Yt Y0esvt Questão 4 Considere a sequência formada pelos termos a seguir 2 22 222 2222 Assinale a alternativa que apresenta seu limite Solução Defina o termo geral da sequência por an 2222 1 Elevando ambos os membros da igualdade ao quadrado obtemos an2 2222 2 Substituindo a equação 1 na equação 2 obtemos an2 2an an2 2an 0 anan 2 0 an 0 ou an 2 Como a sequência é constituída por produtos de fatores positivos maiores do que 1 dentro dos radicais o resultado final deverá ser positivo Logo a opção encontrada mais viável é an 2 Portanto lim n an lim n 2 2 Resposta final Opção 3 2 Questão 5 Solução Inicialmente observamos que a serie n0 1n2n n é uma serie alternada Para aplicar o teste da serie alternada definimos bn como o termo geral da serie com sinais positivos ou seja bn 2n n Vericando as condições de convergência de uma serie alternada i bn1 bn para todo n Para que bn1 bn devemos ter 2n1 n1 2n n o que implica nas desigualdades seguintes 22n n1n 2n n 2 n1 1 Observe que para qualquer n 1 a última desigualdade é verdadeira ou seja bn1 bn 5 ii lim n bn 0 Para calcular o limite de bn consideremos inicialmente as desigualdades seguintes que são verdadeiras a partir da verificação do item i 0 2ⁿn 2n1 Mas quando n 2n1 0 Dessa forma concluímos que lim n bn 0 Logo a serie n0 1ⁿ 2ⁿn é convergente o que torna a sentença III verdadeira e automaticamente sentença I falsa Agora verificaremos se a serie dada é absolutamente convergente verificando a convergência de n0 2ⁿn Para tal definimos an 2ⁿn e aplicaremos o teste da razão lim n an1an lim n 2ⁿ1n12ⁿn lim n 2ⁿ12n12ⁿn lim n 2ⁿ2n1n n2ⁿ lim n 2n1 0 1 Portanto pelo teste da razão a serie é absolutamente convergente Consequentemente a sentença IV é verdadeira e automaticamente a sentença II é falsa Resposta final Opção 3 III e IV apenas Questão 6 Na etapa 1 de um procedimento um quadrado de lado 1 cm é dividido em nove quadrados iguais e da malha resultante removese o quadrado central Em seguida na etapa 2 repetese esse processo com cada um dos oito quadrados restantes Na etapa n aplicase o procedimento descrito a cada um dos quadrados conservados na etapa n1 Com base nessas informações e sendo n um número muito grande a soma das áreas dos quadrados removidos até a etapa n pode ser escrita como Solução Como na etapa 1 um quadrado de lado 1 cm é dividido em 9 quadrados iguais o que culmina em dividir cada aresta em 3 partes iguais obtemos que a soma das áreas dos quadrados menores resultantes é dada por n1 9 A n1 9 13² Removendo o quadrado central da malha resultante obtemos n1 8 A n1 8 13² 2³3² Ao realizarmos uma nova etapa obtemos a quantidade anterior de quadrados retirados multiplicada por 8 Seja n o número de etapas então temos a seguinte sequência 8 8¹ 8² 8ⁿ¹ A área do quadrado retirado anteriormente por sua vez multiplicada por 89 Sendo n o número de etapas então temos a seguinte sequência 19 881 8ⁿ¹9ⁿ Portando a soma das áreas dos quadrados removidos pode ser escrita como A n1 8ⁿ¹9ⁿ n1 2³ⁿ³3²ⁿ Resposta final Opção 1 n1 2³ⁿ³3²ⁿ Questão 7 Considere a série de potências a seguir n0 1ⁿ xⁿ3ⁿn1 Assinale a alternativa que contém o intervalo de convergência correto para essa série Solução Seja an 1ⁿ xⁿ 3ⁿ n1 Então an1an xⁿ1 3ⁿ1 n2 xⁿ 3ⁿ n1 xⁿ x 3ⁿ 3 n2 3ⁿ n1 xⁿ xn1 3 n2 Dessa forma lim n an1 an lim n xn1 3 n2 lim n xn11n 3n12n lim n x11n 312n x 3 Pelo teste da Razão a serie dada é convergente se x 3 1 ou seja x 3 3 x 3 Assim a serie converge no intervalo 3 3 mas devemos testar a convergência nas extremidades desse intervalo Se x 3 a serie tornase n0 1ⁿ 3ⁿ 3ⁿ n1 n0 3ⁿ 3ⁿ n1 n0 1 n1 Observe que fx 1 x1 é contínua positiva e decrescente em 0 e assim usando o teste da integral 0 1x1 dx lim t 0 t 1x1 dx lim t lnx10t lim t lnt1 Portanto a serie obtida é divergente Se x 3 a serie tornase n0 1ⁿ 3ⁿ 3ⁿ n1 n0 1ⁿ n1 Para aplicar o teste das series alternadas defina bn 1 n1 Como bn é decrescente e lim nbn lim n 1 n1 0 concluímos que a serie obtida é convergente Logo a serie converge para x 33 Resposta final Opção 2 33 9 Questão 8 Solução Como a maior derivada apresentada no modelo fornecido é de ordem 4 concluimos que a ordem da equação diferencial que descreve o sistema também é igual a 4 Resposta final Opção 1 4 10 Questão 9 A sequência numérica em que cada termo a partir do segundo é igual à soma do termo anterior com uma constante r é denominada de Progressão Aritmética PA e a constante r é denominada razão da PA A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn a1 ann 2 em que a1 e an são respectivamente o primeiro e o nésimo termos da PA Dado que a soma dos n primeiros termos de uma PA seja igual a Sn o valor da expressão Sn3 3Sn2 3Sn1 Sn é equivalente a Solução Como Sn a1 ann 2 podemos generalizar a expressão de modo a obter as relações a seguir Sn a1 ann 2 Sn1 a1 an1n1 2 a1 an rn1 2 a1 ann 2 a1 an rn r 2 Sn2 a1 an2n2 2 a1 an 2rn2 2 a1 ann 2 2a1 2an 2rn 4r 2 Sn3 a1 an3n3 2 a1 an 3rn3 2 a1 ann 2 3a1 3an 3rn 9r 2 Portanto Sn3 3Sn2 3Sn1 Sn a1 ann 2 3a1 3an 3rn 9r 2 3a1 ann 2 2a1 2an 2rn 4r 2 3a1 ann 2 a1 an rn r 2 a1 ann 2 3a1 3an 3rn 9r 2 6a1 6an 6rn 12r 2 3a1 3an 3rn 3r 2 0 Resposta final Opção 1 0