Calcule a Posição do Centróide da Área Abaixo por Integração Direta

y 4hxa x2a2 Boa prova Para determinar o centroide x ȳ da região limitada por yₓp 4hpa p²a² 0 p a procedemos ao cálculo das integrais definidas da área A do primeiro momento em p e do momento em y A área A vale A ₀ª yₓp dp ₀ª 4hpa p²a² dp Desenvolvendo cada termo ₀ª 4h pa dp 4h 1a p²2 ₀ª 4h 1a a²2 2h a ₀ª 4h p²a² dp 4h 1a² p³3 ₀ª 4h 1a² a³3 43 h a Logo A 2h a 43 h a 23 a h O primeiro momento em p é ₀ª p yₓp dp ₀ª 4h p²a p³a² dp Calculando cada parte ₀ª 4h p²a dp 4h 1a p³3 ₀ª 43 h a² ₀ª 4h p³a² dp 4h 1a² p⁴4 ₀ª h a² Assim ₀ª p yₓp dp 43 h a² h a² 13 h a² Dessa forma x 1A ₀ª p yₓp dp 1A 13 h a² a2 23 h a Para encontrar ȳ usamos ȳ 1A ₀ª yₓp²2 dp 12A ₀ª 4h pa p²a²² dp Observando que pa p²a²² p²a² 2 p³ a³ p⁴ a⁴ temos ₀ª yₓ² dp 16h² ₀ª p² a² 2 p³ a³ p⁴ a⁴ dp 16 h² a30 815 a h² Logo ȳ 12A ₀ª yₓ² dp 815 a h² 2 23 a 25 h Em consequência o centroide da área é x ȳ a2 2h5