Cálculo 1

Noções de Limite e Continuidade Exercícios TEOREMAS SOBRE LIMITES DE FUNÇÕES 1 Calcular os seguintes limites a limx1 x² 5x 1 2x 12 b limxπ x² cos x c limx2 x³ 2x⁴ d limx3 x⁴ 9x³ 10x² x 5 e limxπ2 x sin x x 1 f limx5 lnx³ 3x² 30 g limx2 2x² 3x 5 LIMITES LATERAIS E INDETERMINAÇÃO 2 Seja fx x² se x 2 1 se x 2 Calcular limx2 fx e limx2 fx 3 Seja fx x³ 1 se x 1 3 se x 1 Calcular limx1 fx limx1 fx e limx1 fx 4 Seja fx x² 2x se x 3 4 x se x 3 Calcular limx3 fx limx3 fx e limx3 fx 5 Calcular os limites seguintes a limx3 x 3 x² 9 b limx1 x³ 4x² 3x x² 3x 4 c limx4 x 2 x 4 d limx8 x 2 x 8 e limx1 ⁴x 1 ⁶x 1 LIMITES NO INFINITO E LIMITES INFINITOS 6 Calcular os seguintes limites a limx 3x² 5x 4 x² 7x b limx x² 3x x² x c limx x² 1 x x 5 7 Calcular os limites seguintes a limx x⁵ 3x² 2x x³ 7x² b limx0 cos x x LIMITES FUNDAMENTAIS 8 Calcular os limites seguintes a limx0 1 x1x b limx0 tan x x c limx0 sec x 1 x² FUNÇÕES CONTÍNUAS 9 Verificar se a função definida por fx x² 1 x 1 se x 1 e continua em x 1 2 se x 1 x² 3x 2 se x 1 e se x 1 10 Verificar se a função fx definida por fx 1 x 1 se x 1 3x continua no ponto x 1 Quetão 1 a lim x1 x² 5x 1 2x 12 1² 5 1 1 2 1 12 1 5 1 2 12 5 10 1 2 b lim xπ x² cosx π² cosπ π² 1 π² 1 c lim x2 x³ 2x⁴ 2³ 2 2⁴ 8 4⁴ 4⁴ 256 d lim x3 x⁴ 9x³ 10x² x 5 3⁴ 9 3³ 10 3² 3 5 81 9 27 10 9 3 5 81 243 90 8 64 4 e lim xπ2 x sin x x 1 π2 sinπ2 π2 1 π2 1 π2 1 π2 π2 22 π2 π 2 2 π2 2 π 2 π π 2 f lim x5 lnx3 3x2 30 ln53 3 52 30 ln125 3 25 30 ln125 75 30 ln20 g lim x2 2x23x5 222325 2465 23 8 Questao 2 Quando x 2 temos que fx x2 Entao lim x2 fx lim x2 x2 22 4 Quando x 2 temos que fx 4 x Entao lim x2 fx lim x24 x 4 2 2 Como os limites laterais sao diferentes temos que limx2 fx nao existe Questao 3 Quando x 1 temos que fx x 1 Entao lim x1 fx lim x1x 1 1 1 2 Quando x 1 temos que fx x3 1 Entao lim x1 fx lim x1x3 1 13 1 1 1 2 Como os limites laterais existem e sao iguais a 2 temos que 2 lim x1 fx 2 Questao 4 Quando x 3 temos fx 4 x Entao lim x3 fx lim x34 x 4 3 1 Quando x 3 temos fx x2 2x Entao lim x3 fx lim x3x2 2x 32 2 3 9 6 3 Como os limites laterais sao diferentes temos que limx3 fx nao existe Questao 5 a lim x3 x 3 x2 9 lim x3 x 3 x2 32 lim x3 x 3 x 3x 3 lim x3 x 3 x 3x 3 lim x3 1 x 3 1 3 3 1 6 b Calculando os limites laterais temos lim x1 x3 4x2 3x x2 3x 4 lim x1 x3 4x2 3x x 1x 4 Note que quando x tende a 0 pela direita o denominador x1x4 tende a um valor extremamente proximo de zero mas positivo pois x 1 sera maior que zero ja que x tende a 1 pela direita Entao como o denominador x3 4x2 3x tendera a 6 temos que a expressao x34x23x x1x4 tendera a ou seja 3 lim x1 x3 4x2 3x x2 3x 4 Agora perceba que ao calcular o limite de fx quando x tende a 1 pela esquerda teremos que x 1x 4 tendera a um numero extremamente proximo a zero porem negativo pois x 1 sera negativo ja que x tende a 1 pela esquerda Assim fx tendera a pois o numerador da expressao sera um numero negativo assim como o denominador Entao lim x1 fx Com isso concluımos que o limite de fx quando x tende 1 nao existe ou seja lim x1 x3 4x2 3x x2 3x 4 c lim x4 x 2 x 4 lim x4 x 2 x2 4 lim x4 x 2 x2 22 lim x4 x 2 x 2x 2 lim x4 x 2 x 2x 2 lim x4 1 x 2 1 4 2 1 2 2 1 4 4 d limx8 x2 x8 limx8 x2 x³ 8 limx8 x2 x³ 2³ limx8 x2 x 2x² x 2 2² limx8 1 x² 2x 4 1 8² 28 4 1 64 22 4 1 4 4 4 1 12 e limx1 ⁴x 1 ⁶x 1 limx1 x14 1 x16 1 limx1 x1343 1 x1262 1 limx1 x312 1 x212 1 limx1 x112³ 1 x112² 1 limx1 x112³ 1³ x112² 1² limx1 x112 1x112² x1121 1² x112 1x112 1 limx1 x16 x112 1 x112 1 116 1112 1 1112 1 1 1 1 1 1 3 2 c limx x² 1 x x 5 limx x² x⁴1x⁴ 1x³ x 5 limx x² x²1x⁴ 1x³ x 5 limx x²1 1x⁴ 1x³ x 5 limx x1 1x⁴ 1x³ x1 5x limx x1 1x⁴ 1x³ x1 5x limx 1 1x⁴ 1x³ 1 5x limx 1 1x⁴ 1x³ 1 5x limx 1 0 0 1 0 1 1 1 a limx x⁵ 3x² 2x x³ 7x² limx x³x² 3x 2x² x³1 7x limx x² 3x 2x² 1 7x limx x² 3x 2x² 1 7x limx 0 0 1 0 1 a limx 3x² 5x 4 x³ 7x limx x²3 5x 4x² x²x 7x limx 3 5x 4x² x 7x limx 3 5x 4x² x 7x 3 0 b limx x² 3x x² x limx x²1 3x x²1 1x limx 1 3x 1 1x limx 1 3x 1 1x 1 1 1 b lim x0 cos x x lim x0 cosx 1x lim x0 cosx lim x0 1x lim x0 cosx lim x0 1x 1 Questão 8 a lim x0 1 x1x lim x0 1 1 x1x e1 e b lim x0 tan x x lim x0 sin x cos x x lim x0 sin x cos x 1x lim x0 sin x x 1 cos x lim x0 sin x x lim x0 1 cos x lim x0 sin x x lim x0 1 cos x 1 1 1 c lim x0 sec x 1 x² sec x lim x0 sec x 1 x² sec x sec x 1 sec x 1 lim x0 sec² x 1 x² sec² x sec x Agora note que sin² x cos² x 1 sin² x cos² x cos² x cos² x 1 cos² x sin² x cos² x 1 sec² x sec² x 1 sin² x cos² x Então lim x0 sec² x 1 x² sec² x sec x lim x0 sin² x cos² x x² 1 cos² x 1 cos x lim x0 sin² x cos² x x² 1 cos x cos² x lim x0 sin² x cos² x x²1 cos x cos² x lim x0 sin² x cos² x cos² x x²1 cos x lim x0 sin² x x² 1 1 cos x lim x0 sin x x² lim x0 1 1 cos x lim x0 sin x x² 1 1 cos0 1² 1 2 12 d lim x 1 k xx ek e lim x0 3x4 81 x lim x0 3x4 3⁴ x lim x0 3x 3⁴ 3⁴ x lim x0 3⁴ 3x 1 x 3⁴ lim x0 3x 1 x 3⁴ ln 3 81 ln 3 Questão 9 Primeiramente vamos calcular o limite de fx quando x tende a 1 lim x1 fx lim x1 x2 1 x 1 lim x1 x 1x 1 x 1 lim x1 x 1x 1 x 1 lim x1x 1 1 1 2 Como o limite de fx quando x tende a 1 existe e limx1 fx f1 2 a funcao e contınua em x 1 Questao 10 Calculando os limites laterais de fx temos lim x1 fx lim x1 3x 3 1 3 e lim x1 fx lim x1 x2 3x 2 x 1 lim x1 x 1x 2 x 1 lim x1 x 1x 2 x 1 lim x1 x 2 1 2 1 Como os limites laterais sao diferentes temos que limx1 fx Portanto a funcao nao e contınua em x 1 10