Cálculo 1 - 2 Exercícios

1 Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente Encontre os valores máximo e mínimo locais de f 1 fx x³ 3x² 9x 4 2 fx x² x ln x 3 fx sen x cos x 0 x 2π 2 Use o roteiro desta seção para esboçar a curva a fx x³ 3x² b fx x 1x a Domínio b Intersecções com os Eixos c Simetria função par função impar função periódica d Assíntotas assíntotas horizontais assíntotas verticais assíntotas oblíquas e Intervalos de crescimento ou Decrescimento f Valores máximos e mínimos locais g Concavidade e Pontos de Inflexão h Esboço da curva Vamos fazer a derivada e igualála a zero para encontrar os pontos críticos d f d x d d x x 33x 29x43 x 26 x90 x 22 x30 x1 x30 Então os pontos críticos são x1 x3 Substituindo na função para verificar quem é o máximo e quem é o mínimo 1 33 1 29 149 3 333 293423 Então o ponto máximo local ocorre em x1 e o ponto mínimo local ocorre em x3 Em 1 a função é crescente Em 13 a função é decrescente Em 3 a função é crescente novamente Vamos fazer as derivadas parciais e igualálas a zero para encontrar os pontos críticos df dx d dx x 2xln x2 x11 x 0 2 x 2x10 x 1 2x10 Então os pontos críticos são x1 2 x1 Substituindo na função 1 2 2 1 2ln 1 2 R ologaritmo nãoadmite númerosnegativos nosreais 1 21ln 10 Então x1 é o único mínimo local pois a equação se assemelha a uma parábola para cima Entre 01 a função é decrescente Entre 1 a função é crescente Vamos fazer as derivadas parciais e igualálas a zero para encontrar os pontos críticos df dx d dx sin xcos x cos xsin x0 Essa equação é satisfeita em xπ 4 e x5π 4 no intervalo 02 π Substituindo na equação Para xπ 4 sin π 4 cos π 4 2 sin 5π 4 cos 5π 4 2 Então o máximo local ocorre em xπ 4 O mínimo local ocorre em x5π 4 A função é crescente em 0 π 4 A função é decrescente em π 4 5 π 4 A função novamente é crescente em 5π 4 2π Para f x x 23 x 2 Domínio não há restrições Interseções com os eixos são as raízes x 33x 20 x 2x30 x10 x23 Simetria a função não possui simetrias óbvias Assíntotas a função não apresenta assíntotas óbvias Intervalos de crescimento e decrescimento precisamos calcular a derivada d dx x 33 x 23 x 26 x0 x 3 x6 0 x0 x2 Substituindo na função 0 330 20 2 33 2 24 Então o máximo local fica em x2 e o mínimo local em x0 A função é crescente em 2 decrescente em 20 e crescente novamente em 0 Valores máximos e mínimos locais Já calculados acima máximolocal24 mínimolocal00 Concavidade e pontos de inflexão Calculando a derivada segunda e igualandoa a 0 d 2 d x 2 d dx 3 x 26x6 x60 x1 A função é côncava para baixo em 1 e côncava para cima em 1 Esboço da curva Para f x x1 x Domínio x0 Interseções com os eixos são as raízes x1 x 0 x10 x1 Simetria a função não possui simetrias óbvias Assíntotas Vertical a função não é definida em x0 Então há uma assíntota vertical em x0 Horizontal vamos calcular o limite da função em e lim x x1 x lim x 11 x 101 lim x x1 x lim x 11 x 101 Então há uma assíntota horizontal em y1 Intervalos de crescimento e decrescimento precisamos calcular a derivada d dx x1 x d dx x1 d dx x x1 x 2 1 x 20 x0 Porém para x0 a função não está definida Então não há máximos e mínimos locais Mesmo assim podemos dizer que a função é crescente em todo R exceto em x0 onde a função não é definida Valores máximos e mínimos locais Não há Concavidade e pontos de inflexão Calculando a derivada segunda e igualandoa a 0 d 2 d x 2 d dx 1 x 22 x 3 0 x0 A função é côncava para cima em 0 e côncava para baixo em 0 Esboço da curva The second image contains a graph with a curve that increases steeply near x 1 and levels off near y 07 for positive x with x and y axes labeled with integers ranging approximately from 5 to 5 on xaxis and 1 to 3 on yaxis Vamos fazer a derivada e igualála a zero para encontrar os pontos críticos 𝑑𝑓 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑥3 3𝑥2 9𝑥 4 3𝑥2 6𝑥 9 0 𝑥2 2𝑥 3 0 𝑥 1𝑥 3 0 Então os pontos críticos são 𝑥 1 𝑥 3 Substituindo na função para verificar quem é o máximo e quem é o mínimo 13 312 91 4 9 33 3 32 9 3 4 23 Então o ponto máximo local ocorre em 𝑥 1 e o ponto mínimo local ocorre em 𝑥 3 Em 1 a função é crescente Em 1 3 a função é decrescente Em 3 a função é crescente novamente Vamos fazer as derivadas parciais e igualálas a zero para encontrar os pontos críticos 𝑑𝑓 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2 𝑥 ln 𝑥 2𝑥 1 1 𝑥 0 2𝑥2 𝑥 1 0 𝑥 1 2 𝑥 1 0 Então os pontos críticos são 𝑥 1 2 𝑥 1 Substituindo na função 1 2 2 1 2 ln 1 2 𝑅𝑜 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑛ã𝑜 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑛𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 12 1 ln 1 0 Então 𝑥 1 é o único mínimo local pois a equação se assemelha a uma parábola para cima Entre 01 a função é decrescente Entre 1 a função é crescente Vamos fazer as derivadas parciais e igualálas a zero para encontrar os pontos críticos 𝑑𝑓 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥 cos 𝑥 sin 𝑥 0 Essa equação é satisfeita em 𝑥 𝜋 4 e 𝑥 5𝜋 4 no intervalo 02𝜋 Substituindo na equação Para 𝑥 𝜋 4 sin 𝜋 4 cos 𝜋 4 2 sin 5𝜋 4 cos 5𝜋 4 2 Então o máximo local ocorre em 𝑥 𝜋 4 O mínimo local ocorre em 𝑥 5𝜋 4 A função é crescente em 0 𝜋 4 A função é decrescente em 𝜋 4 5𝜋 4 A função novamente é crescente em 5𝜋 4 2𝜋 Para 𝑓𝑥 𝑥2 3𝑥2 Domínio não há restrições Interseções com os eixos são as raízes 𝑥3 3𝑥2 0 𝑥2𝑥 3 0 𝑥1 0 𝑥2 3 Simetria a função não possui simetrias óbvias Assíntotas a função não apresenta assíntotas óbvias Intervalos de crescimento e decrescimento precisamos calcular a derivada 𝑑 𝑑𝑥 𝑥3 3𝑥2 3𝑥2 6𝑥 0 𝑥3𝑥 6 0 𝑥 0 𝑥 2 Substituindo na função 03 3 02 0 23 3 22 4 Então o máximo local fica em 𝑥 2 e o mínimo local em 𝑥 0 A função é crescente em 2 decrescente em 20 e crescente novamente em 0 Valores máximos e mínimos locais Já calculados acima 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 24 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 00 Concavidade e pontos de inflexão Calculando a derivada segunda e igualandoa a 0 𝑑2 𝑑𝑥2 𝑑 𝑑𝑥 3𝑥2 6𝑥 6𝑥 6 0 𝑥 1 A função é côncava para baixo em 1 e côncava para cima em 1 Esboço da curva Para 𝑓𝑥 𝑥1 𝑥 Domínio 𝑥 0 Interseções com os eixos são as raízes 𝑥 1 𝑥 0 𝑥 1 0 𝑥 1 Simetria a função não possui simetrias óbvias Assíntotas Vertical a função não é definida em 𝑥 0 Então há uma assíntota vertical em 𝑥 0 Horizontal vamos calcular o limite da função em e lim 𝑥 𝑥 1 𝑥 lim 𝑥 1 1 𝑥 1 0 1 lim 𝑥 𝑥 1 𝑥 lim 𝑥 1 1 𝑥 1 0 1 Então há uma assíntota horizontal em 𝑦 1 Intervalos de crescimento e decrescimento precisamos calcular a derivada 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 1 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 1 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 1 𝑥2 1 𝑥2 0 𝑥 0 Porém para 𝑥 0 a função não está definida Então não há máximos e mínimos locais Mesmo assim podemos dizer que a função é crescente em todo ℝ exceto em 𝑥 0 onde a função não é definida Valores máximos e mínimos locais Não há Concavidade e pontos de inflexão Calculando a derivada segunda e igualandoa a 0 𝑑2 𝑑𝑥2 𝑑 𝑑𝑥 1 𝑥2 2 𝑥3 0 𝑥 0 A função é côncava para cima em 0 e côncava para baixo em 0 Esboço da curva