Circuitos RC e Sistemas Vibratórios - Resolução de Problemas em Equações Diferenciais

TRABALHO 2 ORIENTAÇÕES GERAIS O trabalho poderá será realizado por grupos contendo no MÁXIMO 4 INTEGRANTES Todas as equações apresentam mais de uma forma de solução os métodos foram vistos na disciplina Os problemas aqui apresentados possuem interpretação física e são aplicados Portanto faça a interpretação dos resultados obtidos Todas as questões devem apresentar a solução detalhada das equações diferenciais escolha o método mais apropriado QUESTÃO 1 Um capacitor é um elemento de um circuito capaz de acumular carga para liberála no momento oportuno Um circuito composto por um capacitor um resistor e uma força eletromotriz é conhecido como circuito RC Apesar de simples o circuito RC possui várias aplicações desde um marcapasso até o flash de uma máquina fotográfica Considere o circuito RC apresentado na figura Se a chave estiver na posição A haverá corrente fluindo através do capacitor Portanto nessa situação dizemos que o capacitor está carregando acumulando carga Aplicandose a lei de Kirchoff lei das malhas é possível se obter a equação que descreve a variação de carga no interior do capacitor CIRCUITO DE CARGA Questão 2 Dentro da engenharia é comum nos depararmos com sistemas vibratórios ou oscilantes sendo essas vibrações desejadas ou indesejadas De toda forma essas vibrações devem ser levadas em consideração durante a fase de planejamento e projeto pois podem gerar falhas catastróficas devido à fadiga dos materiais Tais vibrações quando indesejadas devem ser tratadas e mitigadas Uma das soluções para amenizar os problemas e danos decorrentes de tais vibrações é assentar os corpos oscilantes sobre molas para minimizar sua propagação Um exemplo claro de utilização desse conhecimento são as suspensões veiculares Do estudo da mecânica geral física sabese que uma carga colocada para oscilar em uma mola não amortecida descreverá um tipo de movimento conhecido como movimento harmônico simples MHS no qual haverá oscilação perpétua da massa Esse não é o tipo de movimento desejado em uma aplicação real entretanto é base para o estudo de sistemas mais complexos Imagine a seguinte situação montase a uma mola um amortecedor hidráulico capaz de atenuar a oscilação da mola através da aplicação de uma força contrária ao movimento da massa Fisicamente sabese que essa força é proporcional a velocidade de oscilação Famortecedor cv Portanto da aplicação da segunda lei de Newton vem Fr ma m d2x dt2 3 Sabendo que as forças que agem sobre a massa são dadas pela Lei de Hooke e pela força de amortecimento Podemos escrever a força resultante como Fr kx cv 4 Como a velocidade é a derivada da posição x em relação ao tempo Obtemos uma EDO de segunda ordem que descreve o comportamento de um sistema molaamortecedor onde x é o deslocamento da mola m d2x dt2 c dx dt kx 0 5 Fazendo algumas mudanças de variáveis essas mudanças geralmente são feitas devido ao sentido físico das variáveis estudadas no MHS podemos definir Velocidade angular rads ωn2 k m Taxa de amortecimento ε c 2mωn Analisando a equação 1 percebese que o circuito de carga do capacitor é descrito através de uma EDO de primeira ordem Admitindose que no instante inicial t0 não há carga no capacitor temos um problema de valor inicial que pode ser resolvido de diferentes formas CIRCUITO DE DESCARGA Agora depois de carregado o capacitor se colocarmos a chave na posição B a carga acumulada no capacitor irá fluir para o resistor R2 dando origem a uma corrente elétrica que irá suprir a necessidade de carga do circuito O mesmo procedimento pode ser feito aplicandose a lei das malhas de Kirchoff podese modelar o fenômeno de descarga do capacitor dqt dt 1 R2 C qt 0 2 q0 qmax Analisandose a equação 2 percebese que o circuito de descarga do capacitor também é descrito por uma EDO de primeira ordem Admitindose que no instante inicial t0 o capacitor está completamente carrega qmax temos um novo problema de valor inicial Suponha que esse mesmo circuito foi utilizado no flash de uma máquina fotográfica onde Vs 10 V R1 100 Ω C 1x103F e R2 5 Ω Pedese Para o circuito de carga do capacitor a Resolva a EDO do circuito de carga e plote o gráfico da solução b Quanto tempo leva para que o capacitor carregue 90 e 100 da carga máxima c Sabendo que a corrente elétrica que passa pelo circuito é dada por it dqt dt plote o gráfico de variação da corrente elétrica d Qual a corrente máxima do circuito de carga Para o circuito de descarga a Resolva a EDO do circuito de carga e plote o gráfico da solução admita que a carga máxima do capacitor seja a mesma obtida no item anterior b Quanto tempo leva para que o capacitor descarregue 50 da sua carga máxima c Sabendo que a corrente elétrica que passa pelo circuito é dada por it dqt dt plote o gráfico de variação da corrente elétrica d Qual a corrente máxima do circuito de descarga UniSENAI PR Modelagem Matemática e Simulação Professor Dr Wesley Pardinho do Carmo Substituindo na equação 5 e rearranjando temos x 2εωn x ωn2 x 0 6 Portanto a equação 6 deve ser capaz de descrever o comportamento de uma suspensão veicular Suponha a seguinte situação Um automóvel de massa m 1250 kg trafega em uma via e passa por uma ondulação na pista Essa ondulação causa uma compressão na mola da sua suspensão deslocandoa 4 cm em relação a sua posição de equilíbrio iniciando um movimento vertical com velocidade de 02 ms De estudos anteriores sabese que suspensões bem ajustadas para o conforto dos passageiros possuem taxa de amortecimento ε variando entre 02 e 04 Considerando que a mola da suspensão foi construída de tal forma que sua constante elástica é de k 300 Nm podemos construir o seguinte problema de valor inicial x 2εωn x ωn2 x 0 x0 004 m 7 x0 02 ms PEDESE a Resolva o PVI da equação 7 e plote o gráfico da posição x em relação ao tempo t considerando ε 04 b Quanto tempo leva para que as oscilações não sejam mais sentidas pelos ocupantes do veículo c Plote o gráfico da solução considerando ε 02 d Para essa nova configuração quanto tempo leva para que as oscilações não sejam mais sentidas pelos ocupantes e Em qual das duas situações seria mais confortável viajar Para o circuito de carga do capacitor a Resolva a EDO do circuito de carga e plote o gráfico da solução b Quanto tempo leva para que o capacitor carregue 90 e 100 da carga máxima c Sabendo que a corrente elétrica que passa pelo circuito é dada por it dqtdt plote o gráfico de variação da corrente elétrica d Qual a corrente máxima do circuito de carga Suponha que esse mesmo circuito foi utilizado no flash de uma máquina fotográfica onde Vs10V R1100Ω C1x103 F e R25Ω Pedese A EDO com os dados é dqdt 1100103 q10100 dqdt 10q 110 Resolvemos a EDO com efeiô dqdt 110 10 q dq1100q dt10 integral from q0 to qt of dq1100q integral from 0 to t of dt10 1100 ln 1100q from q00 to qt t10 0 1100 ln 1100q ln10 t10 1100 ln1100q t10 ln1100q 10t 1100q e10t qt 1e10t100 E a solução do PVI é qt 1e10t100 Cuj gráfico é b A carga máxima é obtida em t que nos dá que Lim t qt Lim t 1e10t100 1100 q max Logo para x da carga máxima teríamos x1100 1e10t100 e10t 1x ln e10t ln 1x 10t ln 1x t 110 ln 1x Logo temos Para x90 90 t 110 ln01 110 ln 101 110 ln 10 023 s Para x100 1100 teríamos que 1100 1e10t100 e10t 0 que ocorre se e somente se t Logo a carga máxima é atingida apenas assintoticamente nto c Como i dqdt Daqui da EDO que dqdt 10 q 110 i 10q 110 i 110 10q didt ddt 110 10q 10 dqdt 10 i didt 10 ddt 1e10t100 e10t didt e10t Para o circuito de descarga a Resolva a EDO do circuito de carga e plote o gráfico da solução admita que a carga máxima do capacitor seja a mesma obtida no item anterior b Quanto tempo leva para que o capacitor descarregue 50 da sua carga máxima c Sabendo que a corrente elétrica que passa pelo circuito é dada por it dqtdt plote o gráfico de variação da corrente elétrica d Qual a corrente máxima do circuito de descarga dqtdt 1R2 C qt 0 q0 qmax 1100 R2 5Ω C 103 a dqdt 15103 q 200 q dqq 200 dt Integrando temos q0qt dqq 200 0t dt lnqq0qt 200 t0t lnqt lnq0 200 t lnqt ln 102 200 t ln100 q 200 t 100 q e200 t qt e200 t100 Cujo gráfico é b A descarga é tal que qt 50 qmax 12 1100 Logo 12 1100 e200 t100 e200 t 21 lne200 t ln21 200 t ln2 t ln2200 c Da EDO dqdt 200 q i 200 q 200 e200 t100 2 e200 t didt 400 e200 t gráfico d idt t vs tempo t em segundos d Como it é uma função estritamente decrescente segue que seu máximo é obtido para o menor t ie t 0 Logo temos imax i0 2 e0 2 A O sinal de menos aparece em virtude do tipo de fluxo de descarga onde i sai da bateria cujo gráfico é c Então como i dqdt temos então que i dqdt ddt 1 e10 t100 e10 t10 it i10 t 10 Como it é uma função estritamente decrescente segue que seu máximo é obtido para o menor t ie t 0 Logo temos imax i0 110 x 2εωn x ωn²x 0 x0 004 m x0 02 ms Velocidade angular rads ωn² km Taxa de amortecimento ε c 2mωn PEDESE a Resolva o PVI da equação 7 e plote o gráfico da posição x em relação ao tempo t considerando ε 04 b Quanto tempo leva para que as oscilações não sejam mais sentidas pelos ocupantes do veículo c Plote o gráfico da solução considerando ε 02 d Para essa nova configuração quanto tempo leva para que as oscilações não sejam mais sentidas pelos ocupantes e Em qual das duas situações seria mais confortável viajar K 300 K Nm m 1250 Kg x0 4 cm 004 v0 02 ms x0 Logo ωn² ω² 300 K Nm 1250 Kg 024 10³15² 240 s² ω² 240 s² Pondo ω² 240 e fixando ε teremos x 2εω x ω²x 0 Buscando uma solução do tipo xt ert teremos xt ert ert 2ε ω ert ω² ert 0 r² 2εωr ω² ert 0 r² 2εωr ω² 0 r₁₂ 2εω 4ε²ω² 4ω² 2 r₁₂ 2εω 2ω ε² 1 2 r εω 2ω ε² 1 Definimos agora por simplicidade e para evitarmos uma notação pesada o seguinte a εω e b 2ω 1 ε² Demodo a termos que r a bi pois tomamos os casos com ε² 1 Duas soluções são xt à er₁ t B er₂ t à B constantes A eat bit B eat bit eat A ebit B ebit eat A cos bt A i sen bt B cos bt i B sen bt eat A cos bt B sen bt com A A B B A i B i Pondo o PVI teremos que x0 004 eat A cos bt B sen btt0 A A 004 Por outro lado x0 02 b eat A sin bt B cos bt a eat A cos bt B sen bt t0 bB aA B 02 aA b E a solução do PVI é xt eat 004 cos bt 02 004a b sen bt com a 240 ε b 2 240 1 ε² a Para ε 04 temos a 04 240 16 15 619 e b 2 240 1 016 2839 Logo a solução é xt e619 t 004 cos 2839 t 00257 sen 2839 t gráfico mostrando solução do PVI para ε 04 de posição xt em função do tempo t em segundos Os itens b e d não podem ser respondidos de forma exata Com efeito esse tipo de oscilação nos dá um decaimento assintótico no tempo Desse modo segue que a oscilação só deixará de existir em ambos os casos se t infinito Porém caso houvesse algum critério de especificação sobre as oscilações mediantes que a um ponto t específico as contribuições das funções seno e cosseno fos sem irrelevantes então teríamos como obter tal tempo Mas veja que ainda temos uma informação que é o fator a definido por nós no início da solução Com efeito para esse valor vemos que ele é associado diretamente ao termo da exponencial logo quanto maior o a mais rápido é o decaimen to e então temos a perca do comportamento oscilatório do sistema Ademais veja ainda que o pa râmetro b fica associado a frequência de oscilação do sistema Essa discussão resolve os itens b e d Desse modo é fácil ver pelas soluções obtidas em a e c que a situação do item a seria mais confortável de se viajar frente que as oscilações produzidas em a tem menor frequência e logo demoram mais para ocorrer pois terão maior Período e ainda como a constante a é maior segue que ela provê que a função obtida em a decaia mais rapidamente do que a obtida em c Com efeito essa solução então resolve o item e