Cálculo 3

TRABALHO 2 CÁLCULO III 3 PONTOS INSTRUÇÕES Segue abaixo uma lista de questões correspondente ao Trabalho 2 Valor do Trabalho 3 pts O que será avaliado será o desenvolvimento de cada questão Dessa forma procurem colocar o máximo de detalhes possíveis em suas resoluções Não aceito respostas sem desenvolvimento Também não aceito trabalhos digitados O trabalho deverá ser entregue no início da aula no dia da prova 24022025 Não aceito trabalhos após a data da prova OBS Este tipo de EDO não vai cair na prova Questão 1 Considere a equação diferencial dada abaixo e faça o que se pede dy dx x ² y ² xy a Verifique se a equação dada é uma equação diferencial de coeficientes homogêneos b Encontre uma solução geral para equação diferencial dada de acordo com a resposta encontrada na letra a Questão 2 Considere a equação diferencial dada abaixo Aplique as técnicas necessárias para transformar a equação dada numa equação diferencial de coeficientes homogêneos e encontre a solução geral dessa equação 4 xy3 dy dx 8 x2 y1 Questão 3 Considere a equação diferencial dada abaixo Aplique as técnicas necessárias para transformar a equação dada numa equação diferencial de coeficientes homogêneos e encontre a solução geral dessa equação x y32 yx3 dy dx 0 a Podemos escrever 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥 2 𝑦 2 𝑥𝑦 𝑓 𝑡𝑥 𝑡𝑦 𝑡𝑥 2𝑡𝑦 2 𝑡𝑥 𝑡𝑦 𝑡 2 𝑥 2𝑦 2 𝑡 2𝑥𝑦 𝑡 0 𝑥 2 𝑦 2 𝑥𝑦 𝑡 0 𝑓 𝑥 𝑦 A equação é homogênea de grau zero É uma equação diferencial de coeficientes homogêneos b Vamos usar a substituição 𝑦𝑢𝑥 𝑑𝑦𝑢𝑑𝑥𝑥𝑑𝑢 Substituindo na equação 𝑑𝑦𝑥 2𝑦 2 𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑢𝑑𝑥𝑥𝑑𝑢𝑥 2𝑢 2𝑥 2 𝑥 2𝑢 𝑑𝑥1𝑢 2 𝑢 𝑑𝑥 𝑢𝑑𝑥𝑥𝑑𝑢 1 𝑢 𝑑𝑥𝑢𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑢 1 𝑢 𝑑𝑥 Rearranjando e integrando 𝑢𝑑𝑢 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑢𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑥 𝑢 2 2 ln 𝑥𝐶 𝑢 𝑦 𝑥 𝑦 2 2 𝑥 2ln𝑥 𝐶 A solução é 𝑦 22𝑥 2ln 𝑥 𝐶 4 𝑥 𝑦 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥8𝑥2 𝑦1 4 𝑥 𝑦 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥24 𝑥 𝑦 1 Vamos usar a substituição 𝑢4 𝑥 𝑦 𝑦4 𝑥𝑢 𝑑𝑦4𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑢3 4𝑑𝑥 𝑑𝑢2𝑢1 𝑑𝑥 4 𝑢3𝑑𝑥 𝑢3 𝑑𝑢2𝑢1 𝑑𝑥 4 𝑢𝑑𝑥12𝑑𝑥𝑢𝑑𝑢3 𝑑𝑢2𝑢𝑑𝑥𝑑𝑥 2𝑢𝑑𝑥𝑢𝑑𝑢3𝑑𝑢13𝑑𝑥 3𝑢𝑑𝑢132𝑢 𝑑𝑥 𝑢3 2𝑢13𝑑𝑢𝑑𝑥 Temos uma equação separável Vamos integrar em ambos os lados Vamos usar a substituição 𝑥2𝑢13𝑢𝑥13 2 𝑑𝑢𝑑𝑥 2 𝑢3 2𝑢13𝑑𝑢 𝑥13 2 3 𝑥 𝑑𝑥 2 1 2 1 2 𝑥13 𝑥 𝑑𝑥3 1 𝑥𝑑𝑥 𝑥13 2 3 𝑥 𝑑𝑥 2 1 2 1 2 1 𝑑𝑥13 1 𝑥𝑑𝑥3 1 𝑥𝑑𝑥 𝑥13 2 3 𝑥 𝑑𝑥 2 1 2 7 2 ln 𝑥 𝑥 27 4 ln 𝑥 𝑥 4 Então 𝑢3 2𝑢13𝑑𝑢7 4 ln 𝑥 𝑥 4 7 4 ln 2𝑢13 2𝑢13 4 𝑢3 2𝑢13𝑑𝑢 𝑑𝑥 7 4 ln 2𝑢13 2𝑢13 4 𝑥𝐶 Voltando à 𝑢4 𝑥 𝑦 a solução é 7 4 ln 8 𝑥2 𝑦 13 𝑦 2 𝐶 𝑥 2 𝑦 𝑥3 𝑑𝑦 𝑦 𝑥3 𝑑𝑥 Vamos fazer uma substituição 𝑦𝑢𝑥12𝑑𝑦𝑢𝑑 𝑥1𝑥1𝑑𝑢 𝑥𝑥11𝑑𝑥𝑑𝑥1 2 𝑢 𝑥12𝑥3𝑢𝑑 𝑥1𝑥1𝑑𝑢𝑢𝑥12𝑥3 𝑑𝑥 2𝑢 2𝑥1𝑑𝑥1𝑢 𝑥1𝑑 𝑥12𝑢 𝑥1 2𝑑𝑢𝑥1 2𝑑𝑢𝑢 𝑥1𝑑 𝑥1𝑥1𝑑𝑥1 Eliminando os termos em comum dos dois lados da igualdade 2𝑢 2𝑥1𝑑𝑥12𝑢𝑥1 2𝑑𝑢𝑥1 2𝑑𝑢 𝑥1𝑑 𝑥1 2𝑢 2 𝑥1𝑥1 𝑑𝑥1𝑥1 22𝑢 𝑥1 2𝑑𝑢 Dividindo os dois lados por 𝑥1 2𝑢 21𝑑 𝑥112𝑢𝑥1𝑑𝑢 Rearranjando 2𝑢1𝑑𝑢 2𝑢 21 𝑑𝑥1 𝑥1 Integrando 2𝑢1𝑑𝑢 2𝑢 21 𝑑 𝑥1 𝑥1 Lado esquerdo frações parciais 2𝑢1 2𝑢 21 1 2 4 𝑢 2𝑢 21 1 2𝑢 21 1 2 4𝑢𝑑𝑢 2𝑢 21 𝑑𝑢 2𝑢 21 𝑑𝑥1 𝑥1 arctan 2𝑢 2 ln2𝑢 21 2 ln𝑥1𝐶 Voltando à 𝑢 𝑦2 𝑥1 arctan2 𝑦2 𝑥1 2 ln2 𝑦2 𝑥1 2 1 2 ln 𝑥1𝐶 A solução é com 𝑥1𝑥1 arctan 2 𝑦22 𝑥1 2 ln 2 𝑦 28 𝑦𝑥 22𝑥9 2 𝐶 Cómo llegan las cabras han mantenido siempre su independencia y por ello su alimento predilecto son las plantas arbustivas como árboles y arbustos con follaje y corteza dura normalmente desechada por rumiantes como las vacas a Podemos escrever 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 𝑥𝑦 𝑓𝑡𝑥𝑡𝑦 𝑡𝑥2 𝑡𝑦2 𝑡𝑥𝑡𝑦 𝑡2𝑥2 𝑦2 𝑡2𝑥𝑦 𝑡0 𝑥2 𝑦2 𝑥𝑦 𝑡0𝑓𝑥 𝑦 A equação é homogênea de grau zero É uma equação diferencial de coeficientes homogêneos b Vamos usar a substituição 𝑦 𝑢𝑥 𝑑𝑦 𝑢𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑢 Substituindo na equação 𝑑𝑦 𝑥2𝑦2 𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑢𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑢 𝑥2 𝑢2𝑥2 𝑥2𝑢 𝑑𝑥 1 𝑢2 𝑢 𝑑𝑥 𝑢𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑢 1 𝑢 𝑑𝑥 𝑢𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑢 1 𝑢 𝑑𝑥 Rearranjando e integrando 𝑢𝑑𝑢 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑢𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑥 𝑢2 2 ln𝑥 𝐶 𝑢 𝑦 𝑥 𝑦2 2𝑥2 ln𝑥 𝐶 A solução é 𝑦2 2𝑥2ln𝑥 𝐶 4𝑥 𝑦 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 8𝑥 2𝑦 1 4𝑥 𝑦 3𝑑𝑦 𝑑𝑥 24𝑥 𝑦 1 Vamos usar a substituição 𝑢 4𝑥 𝑦 𝑦 4𝑥 𝑢 𝑑𝑦 4𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑢 34𝑑𝑥 𝑑𝑢 2𝑢 1𝑑𝑥 4𝑢 3𝑑𝑥 𝑢 3𝑑𝑢 2𝑢 1𝑑𝑥 4𝑢𝑑𝑥 12𝑑𝑥 𝑢𝑑𝑢 3𝑑𝑢 2𝑢𝑑𝑥 𝑑𝑥 2𝑢𝑑𝑥 𝑢𝑑𝑢 3𝑑𝑢 13𝑑𝑥 3 𝑢𝑑𝑢 13 2𝑢𝑑𝑥 𝑢 3 2𝑢 13 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Temos uma equação separável Vamos integrar em ambos os lados Vamos usar a substituição 𝑥 2𝑢 13 𝑢 𝑥 13 2 𝑑𝑢 𝑑𝑥 2 𝑢 3 2𝑢 13 𝑑𝑢 𝑥 13 2 3 𝑥 𝑑𝑥 2 1 2 1 2 𝑥 13 𝑥 𝑑𝑥 3 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 13 2 3 𝑥 𝑑𝑥 2 1 2 1 2 1𝑑𝑥 13 1 𝑥 𝑑𝑥 3 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 13 2 3 𝑥 𝑑𝑥 2 1 2 7 2 ln𝑥 𝑥 2 7 4 ln𝑥 𝑥 4 Su dieta generalmente incluye hojas brotes frutos y tallos jóvenes que son ricos en nutrientes Las cabras también son conocidas por ser animales exploradores y oportunistas capaces de adaptarse a diferentes tipos de vegetación según la disponibilidad en su entorno Então 𝑢 3 2𝑢 13 𝑑𝑢 7 4 ln𝑥 𝑥 4 7 4 ln2𝑢 13 2𝑢 13 4 𝑢 3 2𝑢 13 𝑑𝑢 𝑑𝑥 7 4 ln2𝑢 13 2𝑢 13 4 𝑥 𝐶 Voltando à 𝑢 4𝑥 𝑦 a solução é 7 4 ln8𝑥 2𝑦 13 𝑦 2 𝐶 𝑥 2𝑦 𝑥 3𝑑𝑦 𝑦 𝑥 3𝑑𝑥 Vamos fazer uma substituição 𝑦 𝑢𝑥1 2 𝑑𝑦 𝑢𝑑𝑥1 𝑥1𝑑𝑢 𝑥 𝑥1 1 𝑑𝑥 𝑑𝑥1 2𝑢𝑥1 2 𝑥 3𝑢𝑑𝑥1 𝑥1𝑑𝑢 𝑢𝑥1 2 𝑥 3𝑑𝑥 2𝑢2𝑥1𝑑𝑥1 𝑢𝑥1𝑑𝑥1 2𝑢𝑥1 2𝑑𝑢 𝑥1 2𝑑𝑢 𝑢𝑥1𝑑𝑥1 𝑥1𝑑𝑥1 Eliminando os termos em comum dos dois lados da igualdade 2𝑢2𝑥1𝑑𝑥1 2𝑢𝑥1 2𝑑𝑢 𝑥1 2𝑑𝑢 𝑥1𝑑𝑥1 2𝑢2𝑥1 𝑥1𝑑𝑥1 𝑥1 2 2𝑢𝑥1 2𝑑𝑢 Dividindo os dois lados por 𝑥1 2𝑢2 1𝑑𝑥1 1 2𝑢𝑥1𝑑𝑢 Rearranjando 2𝑢 1𝑑𝑢 2𝑢2 1 𝑑𝑥1 𝑥1 Integrando 2𝑢 1𝑑𝑢 2𝑢2 1 𝑑𝑥1 𝑥1 Lado esquerdo frações parciais 2𝑢 1 2𝑢2 1 1 2 4𝑢 2𝑢2 1 1 2𝑢2 1 1 2 4𝑢𝑑𝑢 2𝑢2 1 𝑑𝑢 2𝑢2 1 𝑑𝑥1 𝑥1 arctan2𝑢 2 ln2𝑢2 1 2 ln𝑥1 𝐶 Voltando à 𝑢 𝑦 2 𝑥1 arctan 2 𝑦 2 𝑥1 2 ln 2 𝑦 2 𝑥1 2 1 2 ln𝑥1 𝐶 A solução é com 𝑥1 𝑥 1 arctan 2𝑦 22 𝑥 1 2 ln2𝑦2 8𝑦 𝑥2 2𝑥 9 2 𝐶 Esta diversidad en su dieta les permite sobrevivir en zonas áridas y montañosas donde otras especies no encuentran suficiente alimento destacando su capacidad de adaptación y aprovechamiento eficiente de recursos naturales