Exercícios Resolvidos - Séries Numéricas - Convergência e Divergência

Dadas a série n1 to 14n2 1 determine i S1 S2 e S3 ii Sn iii a soma da série se for convergente 2 Use o teorema da série geométrica para determinar a série 1 e3 e3n1 converge ou diverge se convergir ache sua soma 3 Use o teste do termo de ordem n para determinar se a série n1 to 3n5n 1 diverge ou se é necessária uma investigação adicional 4 i Mostre que a função f determinada pelo termo geral da série n1 to n2 en3 verifica as hipóteses do teste da integral ii Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge 5 Use o teste da razão para determinar se a série n1 to n10 10n converge ou diverge ou se o teste é inconclusivo 6 Use o teste da raiz para determinar se a série n2 to nlnnn converge ou diverge ou se o teste é inconclusivo 7 Determine se a série n1 to 1n1 1n2 7 I verifica as condições para o teste das séries alternadas II converge ou diverge 8 Determine se a série n2 to 1n1 12n 1 é absolutamente convergente condicionalmente convergente ou divergente 9 Faça o desenvolvimento em série de MacLaurin da função fx e3x Questão 1 I Temos S1 1 41 21 S11 3 S2 1 42 21 S1 S2 1 161 1 3 S2 1 15 5 15 S2 6 15 S22 5 S3 1 43 21 S2 S3 1 491 2 5 S3 1 361 14 35 S3 1 35 14 35 S315 35 S33 7 II Note que temos Sn i1 n 1 4i 21 Sn i1 n 1 2i 21 2 Sn i1 n 1 2i12i1 Sn1 2 i1 n 1 2i1 1 2i1 Sn1 2 1 11 3 1 31 5 1 2n3 1 2n1 1 2n1 1 2n1 Cortando termos temos Sn1 2 1 1 1 2n1 Sn1 21 1 2n1 III Para n claramente temos S1 2 10 S1 2 Questão 2 A soma da série geométrica é dada por n0 r n 1 1r No nosso caso temos uma série geométrica com re 3 Como r1 temos que a série converge Logo a sua soma vale S 1 1 e 3 Questão 3 Note que para n os termos da série tendem para lim n anlim n 3n 5n1 lim n 3 51 n 3 50 3 5 Como o resultado não é igual a zero temos que a série é divergente Questão 4 Para verificar escolhemos a seguinte função f x x 2e x 3 Assim vamos avaliar I 1 f x dx 1 x 2e x 3 dx Seja ux 3 du3 x 2dx assim temos I 1 e u du 3 1 3 1 e udu 1 3 e u0 1 3 e e 0 1 3 01 1 3 Como a integral converge a série deve convergir também Questão 5 Usando o teste da razão calculamos lim n an1 an lim n n1 1010 n1 n 1010 n lim n n1 1010 n 1010 n n1 lim n n1 10 n 10 10 n 10 1 10 n 10 n n1n lim n 1 1 n 10 10 n 10 1 10 n 10 1 n1 lim n 1 1 n 10 10 n 10 1 10 n 10 lim n 1 n1 10 100 10 0 0 Como o valor é inferior a 1 temos que a série é convergente Questão 6 Usando o teste da raiz calculamos lim n nan lim n n n ln n n lim n n ln n Usando a regra de LHospital para calcular o limite temos lim n n ln n lim n 1 1 n lim nn Como o resultado é maior do que 1 esta série é divergente Questão 7 Vamos fazer o teste da série alternada Primeiramente note que lim n anlim n 1 n 27 0 Ou seja os termos vão tendendo a zero Agora note que n1n n1 2n 2 n1 27n 27 1 n1 27 1 n 27 an1an Ou seja os termos são monotonamente decrescentes Logo com estas duas condições satisfeitas o teste nos indica que a série converge Questão 8 Vamos fazer o teste da série alternada Primeiramente note que lim n anlim n 1 2n1 0 Ou seja os termos vão tendendo a zero Agora note que n1n 2 n112n1 2 n112n1 1 2 n1 1 1 2n1 an1an Ou seja os termos são monotonamente decrescentes Logo com estas duas condições satisfeitas o teste nos indica que a série converge Questão 9 Por simplicidade vamos considerar primeiramente a função e x Pela série de Maclaurin temos f x n0 f n 0 x n n e x n0 e x n 0 x n n e x n0 e x 0 x n n e x n0 1 x n n e x n0 x n n Logo temos e 3x n0 3 x n n e 3x n0 3 n n x n Questão 1 I Temos 𝑆1 1 4 12 1 𝑺𝟏 𝟏 𝟑 𝑆2 1 4 22 1 𝑆1 𝑆2 1 16 1 1 3 𝑆2 1 15 5 15 𝑆2 6 15 𝑺𝟐 𝟐 𝟓 𝑆3 1 4 32 1 𝑆2 𝑆3 1 4 9 1 2 5 𝑆3 1 36 1 14 35 𝑆3 1 35 14 35 𝑆3 15 35 𝑺𝟑 𝟑 𝟕 II Note que temos 𝑆𝑛 1 4𝑖2 1 𝑛 𝑖1 𝑆𝑛 1 2𝑖2 12 𝑛 𝑖1 𝑆𝑛 1 2𝑖 12𝑖 1 𝑛 𝑖1 𝑆𝑛 1 2 1 2𝑖 1 1 2𝑖 1 𝑛 𝑖1 𝑆𝑛 1 2 1 1 1 3 1 3 1 5 1 2𝑛 3 1 2𝑛 1 1 2𝑛 1 1 2𝑛 1 Cortando termos temos 𝑆𝑛 1 2 1 1 1 2𝑛 1 𝑺𝒏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐𝒏 𝟏 III Para 𝑛 claramente temos 𝑆 1 2 1 0 𝑺 𝟏 𝟐 Questão 2 A soma da série geométrica é dada por 𝑟𝑛 𝑛0 1 1 𝑟 No nosso caso temos uma série geométrica com 𝑟 𝑒 3 Como 𝑟 1 temos que a série converge Logo a sua soma vale 𝑺 𝟏 𝟏 𝒆 𝟑 Questão 3 Note que para 𝑛 os termos da série tendem para lim 𝑛 𝑎𝑛 lim 𝑛 3𝑛 5𝑛 1 lim 𝑛 3 5 1 𝑛 3 5 0 3 5 Como o resultado não é igual a zero temos que a série é divergente Questão 4 Para verificar escolhemos a seguinte função 𝑓𝑥 𝑥2 𝑒𝑥3 Assim vamos avaliar 𝐼 𝑓𝑥𝑑𝑥 1 𝑥2 𝑒𝑥3𝑑𝑥 1 Seja 𝑢 𝑥3 𝑑𝑢 3𝑥2𝑑𝑥 assim temos 𝐼 𝑒𝑢 𝑑𝑢 3 1 1 3 𝑒𝑢𝑑𝑢 1 1 3 𝑒𝑢0 1 3 𝑒 𝑒0 1 3 0 1 𝟏 𝟑 Como a integral converge a série deve convergir também Questão 5 Usando o teste da razão calculamos lim 𝑛 𝑎𝑛1 𝑎𝑛 lim 𝑛 𝑛 110 10 𝑛 1 𝑛10 10 𝑛 lim 𝑛 𝑛 110 10 𝑛10 10 𝑛 𝑛 1 lim 𝑛 𝑛 110 𝑛10 10 𝑛10 1 10 𝑛10 𝑛 𝑛 1𝑛 lim 𝑛 1 1 𝑛 10 10 𝑛10 1 10 𝑛10 1 𝑛 1 lim 𝑛 1 1 𝑛 10 10 𝑛10 1 10 𝑛10 lim 𝑛 1 𝑛 1 1 010 0 1 0 0 0 Como o valor é inferior a 1 temos que a série é convergente Questão 6 Usando o teste da raiz calculamos lim 𝑛 𝑎𝑛 𝑛 lim 𝑛 𝑛 ln 𝑛 𝑛 𝑛 lim 𝑛 𝑛 ln 𝑛 Usando a regra de LHospital para calcular o limite temos lim 𝑛 𝑛 ln 𝑛 lim 𝑛 1 1 𝑛 lim 𝑛𝑛 Como o resultado é maior do que 1 esta série é divergente Questão 7 Vamos fazer o teste da série alternada Primeiramente note que lim 𝑛 𝑎𝑛 lim 𝑛 1 𝑛2 7 0 Ou seja os termos vão tendendo a zero Agora note que 𝑛 1 𝑛 𝑛 12 𝑛2 𝑛 12 7 𝑛2 7 1 𝑛 12 7 1 𝑛2 7 𝑎𝑛1 𝑎𝑛 Ou seja os termos são monotonamente decrescentes Logo com estas duas condições satisfeitas o teste nos indica que a série converge Questão 8 Vamos fazer o teste da série alternada Primeiramente note que lim 𝑛 𝑎𝑛 lim 𝑛 1 2𝑛 1 0 Ou seja os termos vão tendendo a zero Agora note que 𝑛 1 𝑛 2𝑛 1 1 2𝑛 1 2𝑛 1 1 2𝑛 1 1 2𝑛 1 1 1 2𝑛 1 𝑎𝑛1 𝑎𝑛 Ou seja os termos são monotonamente decrescentes Logo com estas duas condições satisfeitas o teste nos indica que a série converge Questão 9 Por simplicidade vamos considerar primeiramente a função 𝑒𝑥 Pela série de Maclaurin temos 𝑓𝑥 𝑓𝑛0 𝑥𝑛 𝑛 𝑛0 𝑒𝑥 𝑒𝑥𝑛0 𝑥𝑛 𝑛 𝑛0 𝑒𝑥 𝑒𝑥0 𝑥𝑛 𝑛 𝑛0 𝑒𝑥 1 𝑥𝑛 𝑛 𝑛0 𝑒𝑥 𝑥𝑛 𝑛 𝑛0 Logo temos 𝑒3𝑥 3𝑥𝑛 𝑛 𝑛0 𝒆𝟑𝒙 𝟑𝒏 𝒏 𝒙𝒏 𝒏𝟎