Controle de Levitação Magnética - Projeto em Matlab para SCA 1

Trabalho de SCA 1 Prof Cesar Lampe Orientações para o trabalho de SCA1 Formar grupos de 4 integrantes Os membros só poderão conter membros do curso que frequentam Entregar até 31082023 Para o desenvolvimento destas questões será necessário a utilização do programa Matlab ou do Octave e sempre que possível faça um comentário dos resultados obtidos como estabilidade sistema subamortecido ou não Lugar Geométrico das Raízes A ferramenta incluída no Matlab chamada sisotool ajuda na elaboração de algumas questões Entregar o professor por email cesarlinharesmarinhamilbr Bom trabalho Questão 1 Contextualização O desenvolvimento de mancais magnéticos foi essencial para a independência tecnológica do Brasil no setor nuclear Esta tecnologia propiciou que centrífugas ultrarrápidas pudessem enriquecer o urânio para o uso da Marinha do Brasil e para geração de energia elétrica Tais máquinas só são possíveis graças ao controle ativo presente nos eletroímãs que promovem a levitação dos rotores Desde então esta tecnologia já está presente em outros setores da indústria como farmacêutica petróleo aviação entre outras Objetivo Criar um projeto de controle de levitação magnética MODELAGEM Figura 1 Eletroímã A partir das leis de Maxwell encontramos a relação entre campo elétrico e magnético e podemos encontrálas na tabela abaixo Considerando um circuito magnético com um núcleo ferromagnético e um espaço de ar de comprimento de 𝑑 e que há uma espira com 𝑁 voltas por onde passa uma corrente 𝑖 podemos escrever a densidade do campo magnético 𝐵 e a sua relação e a intensidade 𝐻 Ver figura Figura 1 𝐵 𝜇0 𝜇𝑟𝐻𝐹𝑒 𝐵 𝜇0 𝐻𝑎𝑟 𝐵 𝜇0 𝑁𝑖 𝑙𝐹𝑒 𝜇𝑟1 2𝑑 Se a permeabilidade 𝜇𝑟 1 podemos escrever 𝐵 𝜇0𝑁𝑖 2𝑑 A força magnética é encontrada pela derivada espacial da energia determinada pela integral 𝐸𝑎 1 2 𝐵ℎ𝑑𝑉 1 2 𝐵𝐻𝑉 1 2 𝐵𝐻𝐴2𝑥 𝐹𝑚𝑎𝑔 𝐸𝑎 𝑥 a Encontre a fórmula da força magnética abaixo 𝐹𝑚𝑎𝑔𝑖 𝑑 𝐾𝑚 𝑖 𝑑 2 𝐾𝑚 1 4 𝜇0𝑁2𝐴 1 b Ponto de equilíbrio e linearização Para podermos escrever o controle deste sistema dinâmico precisamos linearizar a equação da força magnética acima em torno do seu ponto de equilíbrio Este ponto de equilíbrio é encontrado quando a corrente for 𝑖𝑟 no eletroímã resultar em uma força igual ao peso do corpo de tal forma que o corpo fique parado no ar a uma distância 𝑑𝑟 do imã Figura 2 Projeto de levitação simples 𝐹 0 𝑃𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 𝑓𝑚𝑎𝑔 0 𝑓𝑟 𝐾𝑚 𝑖𝑟 𝑑𝑟 2 𝑚𝑔 2 Calcule a expansão de Taylor de primeira ordem de 𝐹𝑚𝑎𝑔 na vizinhança do ponto de equilíbrio como descrita abaixo 𝑓𝑚𝑎𝑔 𝐹𝑚𝑎𝑔𝑖𝑟 𝑑𝑟 𝐹𝑚𝑎𝑔 𝑖𝑟 𝑖𝑟 𝑑𝑟𝑖𝑟 𝑖0 𝐹𝑚𝑎𝑔 𝑑 𝑖𝑟 𝑑𝑟𝑑 𝑑𝑟 e escreva na forma abaixo e apresente os termos 𝑘𝑖 e 𝑘ℎ contidos na expressão da força magnética 𝑓𝑚𝑎𝑔 𝐾𝑚 𝑖𝑟 𝑑𝑟 2 𝑘𝑖Δ𝑖 𝑘ℎΔ𝑑 c Equação da dinâmica Um corpo metálico é atraído e permanece levitado por ação de um eletroímã com corrente de base 𝑖𝑟 a uma distância 𝑑𝑟 do ímã Sua posição é medida a partir do chão como na Figura 2 A sua posição poderá variar de ℎ logo Δℎ Δ𝑑 Pela 2ª lei de Newton podemos escrever a equação diferencial do seu movimento 𝑑 𝐹 𝑚 𝑑2 𝑑𝑡2 ℎ Δℎ𝑡 𝑚Δℎ Apresente a equação de transferência do movimento do corpo metálico e o diagrama de blocos Δ𝐻𝑠 Δ𝑖𝑠 Info1 substitua Δ𝑑 por Δℎ Info2 a força peso não faz parte da função de transferência final d Estabilidade Determine os polos da função de transferência e diga se é estável ou instável Por quê e LGR1 Crie o diagrama de blocos da equação diferencial e a partir do Lugar Geométrico das Raízes diga se o controle proporcional é adequado f Controles Se o sistema for controlado por um PD indique as constantes de controle que você julgar adequadas Justifique g Projeto de analógico e controle de corrente Monte um projeto de controle analógico para o PD proposto em f Ou seja que leve a função de 𝐸0𝑠 𝐸𝑖𝑠 h O programa PSpice foi utilizado para simular um circuito que utiliza um TBJ para acionar a bobina do mancal representado por L1 e R1 ver Figura 3 Um sinal em volts é gerado pelo sensor de proximidade e o transistor serve para converter esse sinal em amperes obedecendo a seguinte relação 𝑖𝑏 𝛽𝑖𝑐 𝛽 168 Figura 3 A Figura 4 mostra o diagrama de blocos da parte mecânica do mancal magnético 1 O programa sisotool do matlab pode ser utilizado para ajudar nas soluções das questões Figura 4 A equação da parte elétrica é descrita como 𝑉𝑡 𝑅𝑖𝑡 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝐾𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑡 Onde 𝑥𝑡 é o deslocamento do rotor e 𝐾𝑣 é constante da tensão induzida pelo deslocamento do rotor na bobina Desenhe o diagrama de blocos que une a equação acima com o diagrama de blocos da Figura 4 Este novo diagrama mostra um sinal de entrada em volts 𝑉𝑡 e saída em 𝑥𝑡 e servir de base para a construção do circuito na Figura 3 Questão 2 Controle de direcionamento de um navio pelo leme junto com efeitos de balanço do navio Figura 5 Ângulo 𝜙 durante uma manobra Fragata britânica 1 A estabilização do balanço e o controle de posicionamento de um navio obedecem às seguintes funções de transferências de malha aberta 𝐺𝜙𝛼𝑠 𝐾𝑟𝑜𝑙𝑙𝑠 𝑧1𝑠 𝑧2 𝑠 𝑝1𝑠 𝑝2𝑠2 2𝜉𝜙𝜔𝜙𝑠 𝜔𝜙 2 𝐺𝜓𝛼𝑠 𝐾𝑦𝑎𝑤𝑠 𝑧3𝑠2 2𝜉𝑧𝜔𝑧𝑠 𝜔𝑧2 𝑠𝑠 𝑝1𝑠 𝑝2𝑠2 2𝜉𝜙𝜔𝜙𝑠 𝜔𝜙 2 Figura 6 Efeito do leme no balanço do navio Figura 7 Efeito do leme na direção do navio Tabela 1 Dados da função de transferência de balanço pelo leme Polos zeros e ganho 10 kts 20 kts 𝑝1 023 056 𝑝2 003 005 𝑝3 01113i 012116i 𝑝4 01113i 012116i 𝑧1 023 045 𝑧2 012 024 𝐾𝑟𝑜𝑙𝑙 0022 0031 Tabela 2 Dados da função de transferência de direção pelo leme Polos zeros e ganho 10 kts 20 kts 𝑝0 0 0 𝑝1 023 056 𝑝2 003 005 𝑝3 01113i 012116i 𝑝4 01113i 012116i 𝑧1 0127 026 𝑧2 0127117i 0166163i 𝑧3 0127117i 0166163i 𝐾𝑦𝑎𝑤 5458 3477 Pedese a Plote a resposta ao degrau nas duas 𝑮𝝓𝜶𝒔 e 𝑮𝝍𝜶𝒔 b Discuta o efeito do zero com parte real positiva na ação do balanço do navio c Para a velocidade de 10 kts da função 𝑮𝝍𝜶𝒔 utilize a função feebackG1 e rlocusG para encontrar um valor adequado para o fator de amortecimento que em meios na vais fica até 02 Dica a maneira mais adequada de encontrar o ganho é pelo sisotool do Matlab e ao importar a função de transferência de malha aberta devese arrastar o cursor no LGR até encontrar o valor desejado Referência 1 Perez Tristan Ship motion control autopilots with rudder roll stabilisation and combined rudderfin stabilisers Advances in industrial control SpringerVerlag ISBN 1852339594 2 Kundur P Power System stability and control McGrawHill ISBN 9780070359581