Erro de Estado Estacionario em Sistemas de Controle - Definição e Testes

DEFINIÇÃO E ENTRADA DE TESTES O erro de estado estacionário ou em regime permanente é a diferença entre a entrada e a saída para uma entrada de teste prescrita quando t As entradas de teste utilizadas para a análise e projeto do erro em regime permanente estão resumidas na Tabela abaixo DEFINIÇÃO E ENTRADA DE TESTES As entradas em degrau representam posições constantes e assim são úteis na determinação da capacidade do sistema de controle se posicionar em relação a um alvo estacionário como um satélite em órbita geoestacionária O controle de posicionamento de uma antena é um exemplo de um sistema que pode ter a exatidão testada com a utilização de entradas em degrau As entradas em rampa representam entradas de velocidade constante para um sistema de controle de posição por meio de sua amplitude linearmente crescente Essas formas de onda podem ser utilizadas para testar a capacidade de um sistema de seguir uma entrada linearmente crescente ou equivalentemente de rastrear um alvo com velocidade constante Finalmente as parábolas cujas segundas derivadas são constantes representam entradas de aceleração constante para sistemas de controle de posição e podem ser utilizadas para representar alvos acelerando Resumo de sábado para prova CONSTANTES DE ERRO ESTÁTICO E TIPOS DE SISTEMA CALCULANDO OS ERROS DE ESTADO ESTACIONÁRIO Na Figura a uma entrada em degrau e duas possíveis saídas são mostradas A saída 1 tem erro em regime permanente nulo e a saída 2 tem um erro em regime permanente finito e2 Na Figura b na qual uma entrada em rampa é comparada com a saída 1 que tem erro em regime permanente nulo e a saída 2 que tem um erro em regime permanente finito e2 conforme medido verticalmente entre a entrada e a saída 2 após os transitórios terem desaparecido Para a entrada em rampa existe outra possibilidade Se a inclinação da saída for diferente da inclinação da entrada então temos a saída 3 Neste caso o erro em regime permanente é infinito conforme medido verticalmente entre a entrada e a saída 3 após os transitórios terem desaparecido e t tender a infinito CALCULANDO OS ERROS DE ESTADO ESTACIONÁRIO Examinar o erro pela perspectiva de um diagrama de blocos mais geral Como o erro é a diferença entre a entrada e a saída de um sistema admitimos uma função de transferência em malha fechada Ts e formamos o erro Es tomando a diferença entre a entrada e a saída como mostrado na Figura a Neste caso estamos interessados no valor em regime permanente ou valor final de et Para sistemas com realimentação unitária Es aparece como mostrado na Figura b FONTES DE ERROS DE ESTADO ESTACIONÁRIO Muitos erros em regime permanente em sistemas de controle originamse de fontes não lineares como folgas em engrenagens ou um motor que não se moverá a não ser que a tensão de entrada exceda um limiar O comportamento não linear como fonte de erros em regime permanente Observe o sistema mostrado na Figura a na qual Rs é a entrada Cs é a saída e Es Rs Cs é o erro Considere uma entrada em degrau No regime permanente se ct for igual a rt et será nulo Mas com um ganho puro K o erro et não pode ser nulo se ct deve ser finito e diferente de zero Assim devido à configuração do sistema um ganho puro de K no caminho à frente um erro deve existir Se chamarmos o valor em regime permanente da saída de cregime permanente e o valor em regime permanente do erro de eregime permanente então cregime permanente Keregime permanente ou Assim quanto maior o valor de K menor o valor de eregime permanente terá que ser para resultar em um valor similar de cregime permanente A conclusão a que podemos chegar é que com um ganho puro no caminho à frente sempre haverá um erro em regime permanente para uma entrada em degrau Este erro diminui à medida que o valor de K aumenta FONTES DE ERROS DE ESTADO ESTACIONÁRIO Caso o ganho do caminho à frente seja substituído por um integrador como mostrado na Figura b haverá erro nulo em regime permanente para uma entrada em degrau O raciocínio é o seguinte à medida que ct aumenta et irá diminuir uma vez que et rt ct Essa diminuição continuará até que haja erro zero mas ainda existirá um valor para ct uma vez que um integrador pode ter uma saída constante sem qualquer entrada ERRO DE ESTADO ESTACIONÁRIO DE SISTEMAS RETROAÇÃO UNITÁRIA O erro em regime permanente pode ser calculado a partir da função de transferência em malha fechada de um sistema Ts ou da função de transferência em malha aberta Gs para sistemas com realimentação unitária ERRO DE ESTADO ESTACIONÁRIO EM TERMOS DE Ts Es Rs Cs Cs RsTs Es Rs1 Ts e lim t et lim s0 sEs lim s0 sRs1 Ts lim s0 s1 Ts EXEMPLO Determine o erro em regime permanente para o sistema da Figura abaixo caso Ts 5s² 7s 10 e a entrada seja um degrau unitário Es s² 7s 5 ss² 7s 10 e 12 ERRO DE ESTADO ESTACIONÁRIO DE SISTEMAS RETROAÇÃO UNITÁRIA ERRO DE ESTADO ESTACIONÁRIO EM TERMOS DE Gs Es Rs Cs Cs EsGs Es Rs1 Gs e lim s0 sRs1 Gs A equação acima nos permite calcular o erro em regime permanente e dados a entrada Rs e o sistema Gs Substituímos agora diversas entradas para Rs e então tiramos conclusões sobre as relações que existem entre o sistema em malha aberta Gs e a natureza do erro em regime permanente e ERRO DE ESTADO ESTACIONÁRIO DE SISTEMAS RETROAÇÃO UNITÁRIA ERRO DE ESTADO ESTACIONÁRIO EM TERMOS DE Gs 2 ENTRADA EM RAMPA Rs 1s2 e erampa lim s0 s1s21Gs lim s0 1ssGs 1lim s0 sGs lim s0 sGs lim s0 sGs z1z2p1p2 lim s0 sGs 0 3 ENTRADA EM PARÁBOLA Rs 1s3 e eparábola lim s0 s1s31Gs lim s0 1s2 s2Gs 1lim s0 s2Gs lim s0 s2Gs lim s0 s2Gs z1z2p1p2 lim s0 s2Gs 0 EXEMPLO Determine os erros em regime permanente para entradas de 5ut 5t1t e 5t2ut para o sistema mostrado na Figura abaixo A função ut é o degrau unitário e edegrau 51 lim s0 Gs 51 20 521 e erampa 5lim s0 sGs 50 e eparábola 10lim s0 s2Gs 100 EXERCÍCIOS Um sistema com realimentação unitária possui a seguinte função de transferência à frente e determine o erro em regime permanente para as seguintes entradas 15ut 15tut e 15t²ut O sistema em malha fechada é estável Para 15ut edegrau 0 para 15tut erampa 21875 para 15t²ut eparábola Repita para O sistema em malha fechada é instável Os cálculos não podem ser realizados CONSTANTES DE ERRO ESTÁTICO E TIPOS DE SISTEMA Nos sistemas com realimentação unitária negativa definimos parâmetros que podemos utilizar como especificações de desempenho de erro em regime permanente da mesma forma que definimos fator de amortecimento frequência natural tempo de acomodação ultrapassagem percentual e assim por diante como especificações de desempenho para a resposta transitória Essas especificações de desempenho de erro em regime permanente são chamadas de constantes de erro estático Para uma entrada em degrau ut Para uma entrada em rampa tut Para uma entrada em parábola 12 t²ut CONSTANTES DE ERRO ESTÁTICO E TIPOS DE SISTEMA Nos sistemas com realimentação unitária negativa definimos parâmetros que podemos utilizar como especificações de desempenho de erro em regime permanente da mesma forma que definimos fator de amortecimento frequência natural tempo de acomodação ultrapassagem percentual e assim por diante como especificações de desempenho para a resposta transitória Essas especificações de desempenho de erro em regime permanente são chamadas de constantes de erro estático Para uma entrada em degrau ut Para uma entrada em rampa tut Para uma entrada em parábola 12 t²ut CONSTANTES DE ERRO ESTÁTICO E TIPOS DE SISTEMA Os três termos no denominador para os quais se calcula o limite determinam o erro em regime permanente Chamamos esses limites de constantes de erro estático Individualmente seus nomes são constante de posição Kp em que Kp lim Gs s0 Rs 1s constante de velocidade Kv em que Kv lim sGs s0 Rs 1s² constante de aceleração Ka em que Ka lim s²Gs s0 Rs 1s³ Essas grandezas dependendo da forma de Gs podem assumir um valor nulo uma constante finita ou infinito Uma vez que a constante de erro estático aparece no denominador do erro em regime permanente o valor do erro em regime permanente diminui à medida que a constante de erro estático aumenta EXEMPLO Para cada um dos sistemas da Figura abaixo calcule as constantes de erro estático e obtenha o erro esperado para as entradas padronizadas em degrau em rampa e em parábola Kp Kv Ka Gs 500s2s5s8s10s12 Degrau e 11Kp 11524 0161 Rampa e 1Kv 10 Parábola e 1ka 10 Kp lim Gs 500x2x58x10x12 524 Kv lim sGs 0 Ka lim s²Gs 0 EXEMPLO Para cada um dos sistemas da Figura abaixo calcule as constantes de erro estático e obtenha o erro esperado para as entradas padronizadas em degrau em rampa e em parábola Gs Rp Kv Ka e 11kp 11 0 e 1Kv 13125 0032 e 1ka 10 EXEMPLO Para cada um dos sistemas da Figura abaixo calcule as constantes de erro estático e obtenha o erro esperado para as entradas padronizadas em degrau em rampa e em parábola kP kV Ka 500 x 2 x 4 x 5 x 6 x 7 8 x 10 x 12 x 4 875 e 1 1 kP 0 e 1kV 0 e 1ka 1875 00011 EXEMPLO Para cada um dos sistemas da Figura abaixo calcule as constantes de erro estático e obtenha o erro esperado para as entradas padronizadas em degrau em rampa e em parábola KP lim s0 Gs KV lim s0 sGs Ka lim s0 s²Gs 500 x 2 x 4 x 5 x 6 x 7 8 x 10 x 12 875 Assim para uma entrada em degrau e 11 KP 0 Para uma entrada em rampa e 1KV 0 Para uma entrada em parábola e 1Ka 1875 114 x 10³ TIPOS DE SISTEMA Os valores das constantes de erro estático novamente dependem da forma de Gs especialmente do número de integrações puras no caminho à frente Uma vez que os erros em regime permanente dependem do número de integrações no caminho à frente damos um nome a este atributo do sistema Dado o sistema na Figura abaixo definimos o tipo do sistema como sendo o valor de n no denominador ou equivalentemente o número de integrações puras no caminho à frente Portanto um sistema com n 0 é um sistema do Tipo 0 Se n 1 ou n 2 o sistema correspondente é um sistema do Tipo 1 ou do Tipo 2 respectivamente Tipo 0 não possui integrações puras à frente Tipo 1 n1 s Tipo 2 n2 s² e 11 KP para degrau e 1KV para rampa e 1Ka para parábola EXERCÍCIO PROBLEMA Um sistema com realimentação unitária possui a seguinte função de transferência à frente Gs 1000s8 s7s9 a Determine o tipo do sistema Kp Kv e Ka b Utilize suas respostas do Item a para determinar os erros em regime permanente para as entradaspadrão em degrau em rampa e em parábola a Kp lim s0 Gs 1000 x 8 7 x 9 12698 Kv lim s0 s Gs 0 Ka lim s0 s² Gs 0 Tipo 0 E 1 1Kp 00079 E 1 Kv E 1 Ka EXERCÍCIO PROBLEMA Um sistema com realimentação unitária possui a seguinte função de transferência à frente Gs 1000s8 s7s9 a Determine o tipo do sistema Kp Kv e Ka b Utilize suas respostas do Item a para determinar os erros em regime permanente para as entradaspadrão em degrau em rampa e em parábola RESPOSTAS a O sistema em malha fechada é estável Tipo do sistema Tipo 0 Kp 127 Kv 0 e Ka 0 b edegrau 78 x 103 erampa eparábola ESPECIFICAÇÕES DE ERRO EM REGIME PERMANENTE As constantes de erro estático podem ser utilizadas para especificar as características de erro em regime permanente de sistemas de controle Assim como o fator de amortecimento ζ o tempo de acomodação Ts o instante de pico Tp e a ultrapassagem percentual UP são utilizados como especificações para a resposta transitória de um sistema de controle a constante de posição Kp a constante de velocidade Kv e a constante de aceleração Ka podem ser utilizadas como especificações para os erros em regime permanente de um sistema de controle Veremos a seguir que informações valiosas estão contidas na especificação de uma constante de erro estático Por exemplo se um sistema de controle possui a especificação Kv 1000 podemos tirar diversas conclusões 1 O sistema é estável 2 O sistema é do Tipo 1 uma vez que apenas os sistemas do Tipo 1 possuem Kv com um valor constante finito Recorde que Kv 0 para sistemas do Tipo 0 enquanto Kv para sistemas do Tipo 2 3 Uma entrada em rampa é o sinal de teste Como Kv é especificado como uma constante finita e o erro em regime permanente para uma entrada em rampa é inversamente proporcional a Kv sabemos que o sinal de teste é uma rampa 4 O erro em regime permanente entre a rampa de entrada e a rampa de saída é 1Kv por unidade de inclinação da rampa de entrada Interpretando a Especificação de Erro em Regime Permanente PROBLEMA Que informações estão contidas na especificação Kp 1000 Kp Posição e 1 1 Kp SISTEMA TIPO 0 k FINITO e CTE SISTEMA EM MALHA FECHADA É ESTÁVEL E 1 1 Kp 1 1 1000 0000999 ENTRADA DEGRAU et rt ct ct rt et ct 1 0000999 e 0000999 Projeto de Ganho para Atender a uma Especificação de Erro em Regime Permanente PROBLEMA Dado o sistema de controle na Figura 710 determine o valor de K de modo que haja um erro de 10 em regime permanente Gs Ks 5 ss 6s 7s 8 FIGURA 710 K E 10 01 INTEGRAÇÃO PURA Gs Tipo 1 Kv CTE ERRO ESTACIONÁRIO E 1 Kv 01 1 Kv Kv 1 01 10 Kv lim s Gs s0 lim s0 Ks5 ss6s7s8 10 K5 678 10 5k 3360 K 3360 5 k 672 EXERCÍCIO PROBLEMA Um sistema com realimentação unitária possui a seguinte função de transferência à frente Gs Ks 12 s 14s 18 Determine o valor de K para resultar em um erro de 10 em regime permanente E 10 Tipo 0 ENTRADA DEGRAU E 1 1 Kp 01 1 1 Kp 01 01kp 1 01kp 1 01 01kp 09 Kp 9 Kp lim s0 Gs Kp lim s0 Ks 12 s 14s 18 9 12K 14 x 18 12 K 2268 K 189 REFERÊNCIAS NISE N S Engenharia de Sistemas de Controle 5 ed Rio de Janeiro LTC 2009 Ultima semana revisão INTRODUÇÃO O lugar geométrico das raízes uma representação gráfica dos polos em malha fechada à medida que um parâmetro do sistema é variado é um método poderoso de análise e projeto para a estabilidade e a resposta transitória Evans 1948 1950 Os sistemas de controle com realimentação são difíceis de compreender de um ponto de vista qualitativo e portanto dependem fortemente da matemática O lugar geométrico das raízes é uma técnica gráfica que nos dá a descrição qualitativa do desempenho de um sistema de controle que estamos O lugar geométrico das raízes p de ser utilizado para descrever qualitativamente o desempenho de um sistema à medida que diversos parâmetros são alterados Por exemplo o efeito da variação do ganho sobre a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação e o instante de pico pode ser mostrado vividamente A descrição qualitativa pode então ser verificada através de uma análise quantitativa O PROBLEMA DO SISTEMA DE CONTROLE Rcs KGcs Cs TS kGcsl kGcsHs INFLUÊNCIA nos Polos Do Polinômio CARACTERÍSTICO O PROBLEMA DO SISTEMA DE CONTROLE Um sistema de controle com realimentação em malha fechada típico é mostrado na Figura abaixo A função de transferência em malha aberta foi definida como KGsHs Normalmente podemos determinar os polos de KGsHs uma vez que eles se originam de subsistemas de primeira ou de segunda ordem simplesmente em cascata Além disso variações em K não afetam a posição de qualquer polo dessa função Por outro lado não podemos determinar os polos de Ts KGs 1 KGsHs a menos que fatoremos o denominador Além disso os polos de Ts variam com K O PROBLEMA DO SISTEMA DE CONTROLE Um sistema de controle com realimentação em malha fechada típico é mostrado na Figura abaixo A função de transferência em malha aberta foi definida como KGsHs Normalmente podemos determinar os polos de KGsHs uma vez que eles se originam de subsistemas de primeira ou de segunda ordem simplesmente em cascata Além disso variações em K não afetam a posição de qualquer polo dessa função Por outro lado não podemos determinar os polos de Ts KGs 1 KGsHs a menos que fatoremos o denominador Além disso os polos de Ts variam com K Observamos o seguinte normalmente conhecemos os fatores dos numeradores e dos denominadores de Gs e Hs Além disso os zeros de Ts consistem nos zeros de Gs e dos polos de Hs Os polos de Ts não são conhecidos imediatamente e de fato podem mudar com K J2 1 NÚMEROS COMPLEXOS OPERAÇÕES Z a J b a PARTE REAL DE Z b A IMAGINÁRIA DE Z Z1 a J b Z3 Z1 Z2 Z2 c J d Z3 a c j b d Forma Retangular Re Z a j b CONJUGADO DE Z IMg a b Z3 Z1 x Z2 a J b c J d ac Jad jcb J2 bd ac Jad bc bd Z3 ac Jad bc Z3 ac bd j ad bc Z3 Z1 Z2 a J b c J d x c J d c J d Z3 ac Jad Jbc bd c2 d2 ac bb J bc ad c2 d2 RETANGULAR Z a Jb z a² b² θ ¹ba Números Complexos cosθ az a zcosθ senθ bz b z senθ OPERACÕES Z₁ Z₁θ₁ Z₂ Z₂θ₂ Z₃ Z₁ Z₂ Z₃ Z₁ Z₂ θ₁ θ₂ Z₃ Z₁Z₂ Z₃ Z₁Z₂ θ₁ θ₂ Z a Jb Z z cosθ Jz senθ Z zcosθ Jsenθ Jθ e cosθ Jsenθ Z zeJθ Z zθ Z z θ CONJUGADO Representação Vetorial de Números Complexos Qualquer número complexo σ jω pode ser representado graficamente por um vetor como mostrado na Figura a O número complexo também pode ser descrito na forma polar com magnitude M e ângulo θ como Mθ Caso o número complexo seja substituído em uma função complexa Fs outro número complexo resultará Caso o número complexo seja substituído em uma função complexa Fs outro número complexo resultará Por exemplo se Fs s a então substituindo o número complexo s σ jω resulta Fs σ a jω outro número complexo Este número é mostrado na Figura b Representação Vetorial de Números Complexos Qualquer número complexo σ jω pode ser representado graficamente por um vetor como mostrado na Figura a O número complexo também pode ser descrito na forma polar com magnitude M e ângulo θ como Mθ Caso o número complexo seja substituído em uma função complexa Fs outro número complexo resultará Caso o número complexo seja substituído em uma função complexa Fs outro número complexo resultará Por exemplo se Fs s a então substituindo o número complexo s σ jω resulta Fs σ a jω outro número complexo Este número é mostrado na Figura b Caso translademos o vetor a unidades para a esquerda como na Figura c temos uma representação alternativa do número complexo que se origina no zero de Fs e termina no ponto s σ jω Representação Vetorial de Números Complexos Admita a função Fs Símbolo significa produto m número de zeros e n número de polos Cada fator do numerador e cada fator do denominador é um número complexo que pode ser representado como um vetor A função define a aritmética complexa a ser realizada para se calcular Fs em qualquer ponto s Como cada fator complexo pode ser interpretado como um vetor a magnitude M de Fs em qualquer ponto s é em que uma distância até um zero s zi é a magnitude do vetor traçado a partir do zero de Fs em zi até o ponto s e uma distância até um polo s pj é a magnitude do vetor traçado a partir do polo de Fs em pj até o ponto s O ângulo θ de Fs em qualquer ponto s é em que um ângulo até um zero é o ângulo medido a partir da extensão positiva do eixo real do vetor traçado do zero de Fs em zi até o ponto s e o ângulo até um polo é o ângulo medido a partir da extensão positiva do eixo real do vetor traçado do polo de Fs em pi até o ponto s Representação Vetorial de Números Complexos Dado determine Fs no ponto s 3 j4 NUMERADOR DEFCS1 Nss1 Ns 3 4J 1 Ns 2 4J Ns sqrt22 42 Ns sqrt216 sqrt20 Ns tg1 42 1166º D1s s D1s 3 J4 D1s sqrt32 42 D1s 5 D1s tg1 43 1269º D2s 5 2 D2s 3 J4 2 D2s 3 J4 D2s sqrt12 42 D2s sqrt17 D2s tg1 41 1040º Fs Ns D1s D2s Fs sqrt20 1166º 5 1269º sqrt17 104º M sqrt20 5 sqrt17 0217 Θ 1166º 1269º 104º 1143º Fs 0217 1143º Representação Vetorial de Números Complexos Dado determine Fs no ponto s 3 j4 Representação Vetorial de Números Complexos Dado Fs s 1 s s 2 determine Fs no ponto s 3 j4 SOLUÇÃO O problema é representado graficamente na Figura 83 na qual cada vetor s a da função é mostrado terminando no ponto escolhido s 3 j4 O vetor com origem no zero em 1 é 20 1166 88 O vetor com origem no polo na origem é 5 1269 89 O vetor com origem no polo em 2 é 17 1040 810 Substituindo as Eqs 88 até 810 nas Eqs 85 e 86 resulta M θ 20 517 1166 1269 1040 0217 1143 811 como o resultado do cálculo de Fs no ponto 3 j4 FIGURA 83 Representação vetorial da Eq 87 CENTRO UNIVERSITÁRIO UniFBV Exercício PROBLEMA Dado Fs s 2s 4 s s 3s 6 determine Fs no ponto s 7 j9 das seguintes formas a Substituindo diretamente o ponto em Fs b Calculando o resultado utilizando vetores Exercício PROBLEMA Dado Fs s 2s 4 s s 3s 6 determine Fs no ponto ŝ 7 j9 das seguintes formas a Substituindo diretamente o ponto em Fs b Calculando o resultado utilizando vetores RESPOSTA 0039 j00899 0096 1107 CENTRO UNIVERSITÁRIO Definindo o Lugar Geométrico das Raízes A técnica do lugar geométrico das raízes pode ser utilizada para analisar e projetar o efeito do ganho de malha sobre a resposta transitória e a estabilidade do sistema Admita a representação em diagrama de blocos de um sistema de rastreamento como mostrado na Figura abaixo em que os polos em malha fechada do sistema mudam de posição à medida que o ganho K é variado Definindo o Lugar Geométrico das Raízes A técnica do lugar geométrico das raízes pode ser utilizada para analisar e projetar o efeito do ganho de malha sobre a resposta transitória e a estabilidade do sistema Admita a representação em diagrama de blocos de um sistema de rastreamento como mostrado na Figura abaixo em que os polos em malha fechada do sistema mudam de posição à medida que o ganho K é variado Definindo o Lugar Geométrico das Raízes A técnica do lugar geométrico das raízes pode ser utilizada para analisar e projetar o efeito do ganho de malha sobre a resposta transitória e a estabilidade do sistema Admita a representação em diagrama de blocos de um sistema de rastreamento como mostrado na Figura abaixo em que os polos em malha fechada do sistema mudam de posição à medida que o ganho K é variado Definindo o Lugar Geométrico das Raízes Na Figura abaixo as posições individuais dos polos em malha fechada são removidas e seus caminhos são representados por linhas contínuas É esta representação dos caminhos dos polos em malha fechada à medida que o ganho é variado que chamamos de lugar geométrico das raízes O lugar geométrico das raízes mostra as variações na resposta transitória à medida que o ganho K varia Em primeiro lugar os polos são reais para ganhos inferiores a 25 Assim o sistema é superamortecido Com um ganho de 25 os polos são reais e múltiplos e portanto criticamente amortecidos Para ganhos superiores a 25 o sistema é subamortecido Propriedades do Lugar Geométrico das Raízes Vamos examinar as propriedades do lugar geométrico das raízes A partir dessas propriedades seremos capazes de fazer um esboço rápido do lugar geométrico das raízes para sistemas de ordem elevada sem ter que fatorar o denominador da função de transferência em malha fechada As propriedades do lugar geométrico das raízes podem ser deduzidas a partir do sistema de controle geral da Figura abaixo A função de transferência em malha fechada para o sistema é À partir da Eq acima um polo s existe quando o polinômio característico no denominador se anula ou Propriedades do Lugar Geométrico das Raízes Vamos examinar as propriedades do lugar geométrico das raízes A partir dessas propriedades seremos capazes de fazer um esboço rápido do lugar geométrico das raízes para sistemas de ordem elevada sem ter que fatorar o denominador da função de transferência em malha fechada As propriedades do lugar geométrico das raízes podem ser deduzidas a partir do sistema de controle geral da Figura abaixo A função de transferência em malha fechada para o sistema é À partir da Eq acima um polo s existe quando o polinômio característico no denominador se anula ou em que 1 é representado na forma polar como 12k 1180 Alternativamente um valor de s é um polo em malha fechada se Propriedades do Lugar Geométrico das Raízes A Eq acima estabelece que se um valor de s for substituído na função KGsHs um número complexo resulta Se o ângulo do número complexo for um múltiplo ímpar de 180 este valor de s é um polo do sistema para algum valor específico de K Acabamos de descobrir que um polo do sistema em malha fechada faz com que o ângulo de KGsHs ou simplesmente GsHs uma vez que K é um escalar seja múltiplo ímpar de 180 Além disso a magnitude de KGsHs deve ser unitária implicando que o valor de K é o inverso da magnitude de GsHs quando o valor do polo é substituído no luga de s Propriedades do Lugar Geométrico das Raízes Para o sistema abaixo a função de transferência em malha aberta é A função de transferência em malha fechada Ts é Se o ponto s é um polo do sistema em malha fechada para algum valor de ganho K então s deve satisfazer às seguintes Eqs Considere o ponto 2 j3 Se este ponto é um polo em malha fechada para algum valor de ganho então os ângulos dos zeros menos os ângulos dos polos devem ser iguais a um múltiplo ímpar de 180 A partir da Figura abaixo Portanto 2 j3 não é um ponto do lugar geométrico das raízes ou alternativamente 2 j3 não é um polo em malha fechada para algum ganho Propriedades do Lugar Geométrico das Raízes Caso esses cálculos sejam repetidos para 2 j22 o ponto a soma dos ângulos será 180 Isto é 2 j22 é um ponto do lugar geométrico das raízes para algum valor de ganho Prosseguimos agora para calcular este valor de ganho Observando a Figura abaixo com o ponto 2 j3 substituído por 2 j22 o ganho K é calculado como Resumimos o que descobrimos como se segue dados os polos e zeros da função de transferência em malha aberta KGsHs um ponto no plano s estará sobre o lugar geométrico das raízes para um valor particular de ganho K se os ângulos dos zeros menos os ângulos dos polos todos traçados até o ponto escolhido no plano s totalizarem 2k 1180 Além disso o ganho K neste ponto para o qual os ângulos totalizam 2k 1180 é encontrado dividindose o produto das distâncias até os polos pelo produto das distâncias até os zeros Exercício PROBLEMA Dado um sistema com realimentação unitária que possui a função de transferência à frente Gs Ks2s² 4s 13 faça o seguinte a Calcule o ângulo de Gs no ponto 3 j0 determinando a soma algébrica dos ângulos dos vetores traçados a partir dos zeros e dos polos de Gs até o ponto dado b Determine se o ponto especificado em a está sobre o lugar geométrico das raízes c Se o ponto especificado em a estiver sobre o lugar geométrico das raízes determine o ganho K utilizando os comprimentos dos vetores RESPOSTAS a Soma dos ângulos 180 b O ponto está sobre o lugar geométrico das raízes c K 10 Illinois Lots for Sale New constructionExisting homes RV parking Singlewide Doublewide Home Only 6308558709 McHenry Lots for Sale New constructionExisting homes RV parking Singlewide Doublewide Home Only Situation Plan Demarcation of Road Utility Alignment Situation Plan Demarcation of Road Utility Alignment WIDE ROADS Situation Plan Demarcation of Road Utility Alignment ALONG WITH DRAINAGE UTILITY পচলছডই রসতর মইন রসতর পশ Utility Lines গল বসন হযছ যমন 1 ফটপথ 2 বদযৎ 3 ফন 4 পনয জল 5 রসতবত 6 ডরনজ 7 গযস Utility Lines গল সট করপরশনএ শমকগৎস উসপ এর শরতনযয Utility Linesএর বরড দয হইযছ য কছ Utility Lines দখত নচর ছব সমহ উললখ কর হইযছ 7 গযস ৬ডরনজ ৫রসতবত ৩ফন ১ ফটপথ ২ বদযৎ 4 পনয জল Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines Utility Lines 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