Serie de Fourier - Analise de Sistemas Lineares e Sinais

WYF0939 ANÁLISE DE SISTEMAS LINEARES Análise de Sinais no Tempo Contínuo Série de Fourier PROF MOISÉS ARAUJO OLIVEIRA EMAIL MOISESOLIVEIRAPROFESSORESAREA1EDUBR 20221 WYF0939 SÉRIE DE FOURIER 1 Sumário 1 Introdução 2 Série Trigonométrica de Fourier 3 Série Trigonométrica Compacta 4 Série Exponencial 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 2 Introdução A análise de Fourier séries e transformadas é utilizada na análise de sinais As séries de Fourier são usadas para analisar sinais periódicos A transformada de Fourier pode ser utilizada tanto na análise de sinais aperiódicos quanto periódicos A representação de um sinal em séries de Fourier pode ser comparada com a representação de um vetor em componentes de uma base de um espaço vetorial Nas séries de Fourier um sinal é representado como a soma de componentes em uma base de funções ortogonais senos cossenos ou exponenciais 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 3 Introdução Seja xt um sinal periódico com período T0 ou seja xt xt T0 t O menor valor de T0 é chamado de período fundamental de xt Verificase para um determinado período fundamental T0 que Definese ainda f0 1T0 frequência fundamental Hz ω0 2πT0 2πf0 frequência fundamental rads 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 4 Introdução Senóides com frequências múltiplas da frequência fundamental são chamadas de harmônicas cosω0t cos 2πf0t primeira harmônica cos2ω0t cos 4πf0t segunda harmônica cosnω0t cos 2πnf0t nésima harmônica As séries de Fourier possuem três representações equivalentes 1 Série trigonométrica sinnω0t e cosnω0t 2 Série trigonométrica compacta cosnω0t θn 3 Série exponencial ejnω 0 t Para as duas últimas representações podese definir o espectro de um sinal periódico 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 5 Série Trigonométrica Fourier mostrou que um sinal periódico xt com período T0 pode ser escrito como Ou seja um sinal periódico xt pode ser representado como a soma de um termo constante componente DC e de infinitas harmônicas Para determinar a série trigonométrica de Fourier de um sinal xt é necessário determinar os coeficientes a0 an e bn 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 6 Série Trigonométrica Para determinar os coeficientes a0 an e bn verificase que 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 7 Série Trigonométrica De modo similar temse que 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 8 Série Trigonométrica Finalmente A partir dessas três expressões verificase que os termos cosnω0t e sinnω0t são ortogonais para diferentes valores de n 0 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 9 Série Trigonométrica Para se obter a0 integrase em um período a expressão Logo 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 10 Série Trigonométrica Para se obter an a componente de cosnω0t fazse o seguinte Logo 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 11 Série Trigonométrica Para se obter bn a componente de sinnω0t fazse o seguinte Logo 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 12 Série Trigonométrica Assim a série trigonométrica de Fourier é dada por Onde e os coeficientes são 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 13 Série Trigonométrica Simetrias Se xt é um sinal par então o termo bn será nulo Ou seja temos que 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 14 Série Trigonométrica Simetrias Se xt é um sinal impar então os termos a0 e an são nulos Portanto temos que 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 15 Série Trigonométrica Compacta Sabese que Logo a série de Fourier pode ser escrita na forma compacta como Os coeficientes C0 Cn e θn são obtidos a partir de a0 an e bn de acordo com as relações 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 16 Série Trigonométrica Compacta Alguns casos especiais podem ser enfatizados bn0 Neste caso temse que 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 17 Série Trigonométrica Compacta Alguns casos especiais podem ser enfatizados an0 Neste caso temse que 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 18 Espectro da Série Compacta A partir da série compacta é possível obter o espectro da expansão em séries de Fourier O espectro consiste nos gráficos discretos de Cn x ω nω0 espectro de amplitude θn x ω nω0 espectro de fase O espectro permite verificar a contribuição de cada harmônica para o sinal periódico xt Enquanto xt é uma representação no domínio do tempo o espectro é o seu equivalente no domínio da frequência 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 19 Série Exponencial de Fourier Dn é calculado da seguinte maneira Porém 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 20 Série Exponencial de Fourier Logo a série exponencial é dada por A relação entre a série exponencial é obtida expandindose xt 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 21 Série Exponencial de Fourier Assim Porém 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 22 Série Exponencial de Fourier Analogamente Temos que 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 23 Série Exponencial de Fourier Analogamente O espectro da série exponencial consiste nos gráficos discretos de Dn x ω nω0 espectro de amplitude função par Dn x ω nω0 espectro de fase função ímpar Devese observar que o espectro da série exponencial possui tanto frequências negativas quanto positivas 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 24 Série de Fourier 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 25 Exemplos Determinar as três séries de Fourier para o sinal xt e esboçar os espectros de amplitude e fase das séries compacta e exponencial 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 26 Exemplos Determinar as três séries de Fourier para o sinal xt e esboçar os espectros de amplitude e fase das séries compacta e exponencial Solução 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 27 Exemplos Determinar as três séries de Fourier para o sinal xt e esboçar os espectros de amplitude e fase das séries compacta e exponencial Solução 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 28 Exemplos Determinar as três séries de Fourier para o sinal xt e esboçar os espectros de amplitude e fase das séries compacta e exponencial Solução 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 29 Exemplos Determinar as três séries de Fourier para o sinal xt e esboçar os espectros de amplitude e fase das séries compacta e exponencial Solução 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 30 Exemplos Determinar as três séries de Fourier para o sinal xt e esboçar os espectros de amplitude e fase das séries compacta e exponencial Solução 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 31 Exemplos Determinar as três séries de Fourier para o sinal xt e esboçar os espectros de amplitude e fase das séries compacta e exponencial 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 32 Exemplos Determinar as três séries de Fourier para o sinal xt e esboçar os espectros de amplitude e fase das séries compacta e exponencial Solução Observase que xt é par T0 2π ω0 2πT0 1 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 33 Exemplos Determinar as três séries de Fourier para o sinal xt e esboçar os espectros de amplitude e fase das séries compacta e exponencial Solução Uma vez que cosx cosx π podemos expressar a série de Fourier como 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 34 Exemplos Determinar as três séries de Fourier para o sinal xt e esboçar os espectros de amplitude e fase das séries compacta e exponencial Solução n par caso contrário n ímpar n371115 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 35 Exemplos Determinar as três séries de Fourier para o sinal xt e esboçar os espectros de amplitude e fase das séries compacta e exponencial Solução 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 36 Exemplos Determinar as três séries de Fourier para o sinal xt e esboçar os espectros de amplitude e fase das séries compacta e exponencial 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 37 Exemplos Determinar as três séries de Fourier para o sinal xt e esboçar os espectros de amplitude e fase das séries compacta e exponencial Solução 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 38 Exemplos Determinar as três séries de Fourier para o sinal xt e esboçar os espectros de amplitude e fase das séries compacta e exponencial Solução 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 39 Existência das Séries de Fourier Para as série de Fourier existir é necessário que a0 an e bn sejam finitos Para que isso ocorra xt deve ser absolutamente integrável em um período ou seja 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 40 Propriedades da Série de Fourier 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 41 Convergência da Série de Fourier O critério de convergência usado nas séries de Fourier é a convergência na média Considere uma série infinita para um sinal periódico xt e sua versão truncada aproximada xNt dadas por O erro de aproximação devido ao truncamento é dado por et xt xNt 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 42 Convergência da Série de Fourier A série converge na média no intervalo 0 T0 se Ou seja a energia do erro em um período tende a zero quando N tende a infinito Um outro critério mais simples para a convergência na média é verificar se o sinal tem energia finita em um período Um sinal periódico xt possui uma série de Fourier que converge na média se 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 43 Convergência da Série de Fourier Além da convergência na média é útil analisar a convergência em pontos específicos Condições de Dirichlet Se um sinal periódico xt satisfizer as três condições a seguir então a série de xt converge para todo ponto em que o sinal é contínuo e converge para o valor médio dos dois lados da descontinuidade nos pontos de descontinuidade 1 xt é absolutamente integrável 2 Há um número finito de descontinuidades finitas em um período 3 Há um número finito de máximos ou mínimos em um período 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 44 Fenômeno de Gibbs O sinal periódico xt apresenta descontinuidades Ao se considerar uma série de Fourier truncada há a presença de um sobresinal de amplitude aproximadamente igual a 9 do valor da descontinuidade nas vizinhanças dos pontos de descontinuidade 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 45 Teorema de Parseval Segundo o teorema de Parseval a potência de um sinal periódico é igual a soma das potências das componentes da série ou seja Para xt real Dn Dn 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 46 Exercício A série de Fourier para o sinal periódico na Figura é dada a seguir Verifique o teorema de Parseval para esta série dado que Se x t for aproximado pelos primeiros N termos desta série encontre N de modo que a potência do sinal de erro seja menor que 1 de Px 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 47 Resposta de um Sistema LCIT a Entradas Periódicas Vimos que um sinal periódico xt pode ser representado como Se um sistema LCIT com função de transferência é estável então Aplicando a propriedade da linearidade temse que Entrada periódica saída periódica com o mesmo período da entrada Componentes do espectro do sinal periódico são afetadas diferentemente pela função de transferência do sistema 30032022 WYF0939 ASL SÉRIE DE FOURIER 48