Dinâmica dos Corpos Rígidos: Relação entre Cinemática e Dinâmica

OLÁ Você está na unidade Dinâmica dos corpos rígidos Conheça aqui a relação existente entre dinâmica de um ponto material e dinâmica dos corpos rígidos Entenda que corpo rígido é um conjunto de partículas 1 Cinemática do movimento plano de um corpo rígido Estudantes anteriormente sobre dinâmica de um sistema de pontos materiais Qual pode ser perguntado qual é a relação existente entre dinâmica de um sistema de pontos materiais e a cinemática do movimento plano de um corpo rígido PraCegoVer A figura apresenta um sistema que exemplifica o corpo em rotação em torno de um eixo fixo Para paradigmas julgamos o corpo expresso na imagem A e nele a linha radial é recatada no plano sombrio e orientada ao ponto O no eixo de rotação em relação ao ponto P Essa linha pode ser movimento angular PraCegoVer A figura apresenta um sistema com movimento circular ilustrando o componente tangencial de aceleração Se a velocidade escalar de P está crescendo logo a tem sentido de v e a velocidade escalar está diminuindo a tem sentido reverso ao de v e portanto recorrendo para o que é o centro da rota de P Figuras 6 e 6f Similarmente a velocidade e a aceleração de P capaz de ser extendida em termos do produto vetorial Seguindo a derivada temporal da Equação g v a P temos α a v a P temos α K v P 126 Recordando que ao dividir eu utilizo a fórmula ω u x P temos u K v x m 127 Fica da manifestação do produto vetorial que o primeiro termo no segundo membro dessa equação está mediado às e é sen α an e pela regra da direita para o ângulo e sentido de θ Figura 6f Assim o complementar termo assume módulo em u α P e podendo diversas vezes a hora aqui a a e b igual do primeiro v P e K e que P é expresso em fração direta de x como expresso na figura 6f Mais ainda ineficácia se responde a derivada e a não sentido como corpo Podemos mostrar de maneira mais simples no perfil em Logo e α sendo gerados e alterados através dos dois Figura 6f Como α e an são mutuamente perpendiculares o módulo da aceleração pode ser determinado pelo teorema de Pitágoras a a t² a n² Figura 6f PraCegoVer A figura apresenta três diagramas ilustrando o trabalho das forças e equivalente objeto dinâmico do corpo A fração da imagem indica o esquema de corpo livre convenientemente a parte b da imagem expressa o sistema forçabinário análogo com a força resultante empregada por meio de G a parte c da imagem é um diagrama cinético que forma impulsões climáticas onduladas A equivalência entre o diagrama de corpo livre e o diagrama cinético nos permite visualizar claramente e recordar de modo físico e efeitos distintos de translação e rotação das forças aplicadas ao um corpo rígido Informações essa correspondência matematicamente segundo ajustamos esses resultados ao exame do movimento plano de corpo rígido PraCegoVer A figura consiste em um sistema que ilustra como se dá a direção tangencial de v em relação à trajetória circular do sistema O vetor v ainda é capaz de ser colhido valendose o produto vetorial de v Nesse caso o vetor r tem berço em todo ponto do eixo de rotação e borda em P Figura 5d Temse v ω r P 121 A aceleração angular constante α 122 e essa representação analisamos na figura 5c conforme o sentido de v é determinado pela regra da mão direita Curvamse os dedos da mão direita no sentido de v para P x vetor P O módulo informa o sentido de v que é a tangente à trajetória é nulo no sentido do movimento O elemento r pertence ao plano do movimento e a velocidade do ponto P é ω 123 Aceleração α dvdt a v²r onde r vω r α de dt obtémse α Lw 0 124 αn 125 O elemento tangencial da aceleração Figuras 6e e 6f caracteriza a taxa temporal de discrepância de velocidade escalar Nessa equação o braço de momento é a separação do componente de massa fictícia do eixo x Como a compressão cobre o valor de l é capaz ser divergente para cada eixo que se estima analisar No estudo da dinâmica do movimento plano geralmente escolhe o eixo que passa pelo centro de massa G do corpo e perpendicular ao plano do movimento O momento de inércia na escolha esse se apresenta como I Vejamos como a responsabilidade de ter elevado ao quadrado na equação de presente o momento de inércia é todavia um extensão positiva As unidades adotadas nesta trabalhão para o momento de inércia ficam in m2s1 eixo y 16 e 16 I ρy dV 25 Caso o volume fundacional determinado para a integração tenha dimensões infinitesimais nas três dimensões por paradigma dV dx dy dz o momento não incluído do corpo de deve ser delimitado por uma integral tripla Não obstante a integração é capaz de ser simplificada para uma integral simples nos direcionamentos em que o volume básico possa ser determinado de forma a ter a extensão infinitesimal em somente uma direção 23 Equações dinâmicas do movimento plano Na investigação que se sucede deliberadamente nossos conhecimento a dinâmica do movimento plano de corpos rígidos que simultaneamente com suas cargas são classificados inválidos em associado a um plano de referência preciso Nesse caso a trajetória de cada ponto do corpo é uma curva plana paralela ao plano de referência Conforme o movimento do corpo e este se vê por vista do plano de referência todas as forças e momentos de binário conduzidos nesse corpo serão se projetados acerca desse plano Um modelo desse perfil do corpo rígido consegue ser percebido na figura 5A PraCegoVer A figura apresenta um modelo desse perfil de corpo rígido para ilustrar a trajetória curva plana paralelo ao plano de referência Nesse modelo o origem do referencial inercial x y e z bate com um ponto P casualmente fixado no corpo Por escolha esses eixos são fixos ou mudam próximos Conforme esse modelo de forças foi consagrado primeiramente para a pesquisa de um sistema de pontos materiais a equação F ma 26 A equação será aqui empregada Essa equação será explicada deste momento em diante como a equação do movimento de translação para o centro de massa de um corpo rígido De afinação com essa equação a soma de todas as forças externas atuando no corpo é similar ao produto da massa do corpo pela aceleração de seu centro de massa G Para o movimento de um corpo no esquema xy a equação do movimento de translação consegue ser readequada na ideia de duas equações escalares ΣF măx 27 e ΣF măy 28 Equação do Movimento de Rotação Caracteristicamente outros resultados causados pelos torques do modelo de forças externos conjecturados em analógico a um eixo que é normal ao plano do movimento eixo 2 passa pelo ponto P PraCegoVer A figura apresenta um diagrama de corpo livre para o ponto material Como expresso no esquema de corpo livre do ponto material Figura 10 F forma a resultante das forças externas causados no ponto material é f decremente das forças internas causadas pelas influências com os outros pontos do corpo em superlógica os outros pontos em contato são adjacentes ao iésimo ponto Se um ponto material tem massa m I um particular interesse sua aceleração é ã logo o diagrama dinâmico deve se dispor conforme a imagem 11C Acrescendo os torques em analógico ao ponto P das forças atuando no ponto material admitimos r F r x F maP 210 Ou também Mp mRa 211 Para os torques movimentos em relação ao ponto P podemos ser enunciados em condições de aceleração de P Figura 11 Se o corpo assume uma aceleração angular u e certa velocidade angular ɷ logo pelo emprego da equação ΣM Iα 212 Observos Mp mR x ȧ ɷ R vɷ Suponhamos que as forças externas atuando no corpo em analogia ao ponto P o torque resultando das forças livres seja a contribuição global de todas essas forças surgidas por forças de peculiar meio colineares e sentidos discrepanes por isso o torque de cada parte em comparação do ponto P se cancela As linhas no primeiro e segundo termos no segundo integram dessa equação são utilizados para identificar o centro de massa G acerca de P portanto ym dm dy m dm 214 Portanto disso a última integral caracteriza o momento de inércia preliminado em correlação do eixo x isto é I p r2 dm Logo ΣM m 216 É permissível entender essa equação do mesmo perfil mais acessível se o ponto P combina com o centro de massa G do corpo Nesse contexto x y 0 e EMa mgR 216 PraCegoVer A figura apresenta um plano xy em torno do qual há vetores ilustrando o diagrama do corpo livre Esse rendimento fundamental marca que caso os momentos das forças externas em associação ao ponto P veja o diagrama de corpo livre sejam somados Figura 12e eles se tornam equipolentes ao total dos momentos dinâmicos dos elementos de máG em analogia a P com o momento dinâmico de máG Figura 13f Em diferentes termos caso os momentos dinâmicos ΣMαi sejam calculados Figura 13f os vetores mGαG e mGαG são convenientes como vetores desenhados isto e eles podem ser deslocados para si qual for o ponto da redefinição de sua direção De momento análogo máG pode ser tratado como um vetorial livre e pode ser definido para qualquer ponto É importante ter em mente que máG não só é similar categoria que uma força ou um momento Eis só unicamente resultados das forças e momentos de binário procedendo no corpo Junto a isso em objetivo podemos reproduzir a equação ação numa perf mais global Para restringir a investigação podemos formular três equações escalares que especificam o movimento plano geral de um corpo rígido simétrico ΣFx max 226 ΣFy may 227 ΣMG IGα 228 ou ΣMG ΣMαi 229 24 Equações de movimento translação em torno de um eixo fixo Um corpo rígido tem um movimento de translação Figura 14a todos os pontos do corpo têm a identidade aceleracional de possibilidade que é G a Diante disso α 0 por conseguinte a equação do movimento de rotação empregado para o ponto G resumese a modo simplificado ΣMG 0 230 Argumentaremos contudo a administração dessa equação e das equações de movimento de translação para cada um dos dois modos de translação Translação Retilínea Caso um corpo tinha movimento de translação retilínea todos os seus pontos placa movemse em trajetos retilíneos paralelos PraCegoVer A figura apresenta um corpo rígido que tem um movimento de translação A imagem 15b revela os diagramas de corpo livre e dinâmico para o corpo As equações de movimento que são utilizadas nesse caso são ΣFx max 231 ΣFy may 232 ΣMG 0 233 A última equação que seja nula é 0 dos torques de todas as forças externas e resultante de binário previstos em analogia ao centro de massa Naturalmente é possível somar os momentos em relação aos pontos do próprio corpo de forma livre Nesse caso o momento de máG deve ser levado em conta Para paráfrase se apontarmos o ponto A numa longitude da reta que integra então devemos investir e sugerir o ponto de modo que ΣMG em relação ao mesmo ponto A ΣMA diagrama de corpo livre é igual ao momento de máG em relação ao mesmo ponto A ΣMA diagrama dinâmico Translação curvilínea PraCegoVer A figura apresenta dois sistemas que ilustram a translação curvilínea de um sistema inercial com origem coincidente com o centro de massa e eixos orientados nas direções tangencial e normal à trajetória Figura 17 Corpo rígido que gira em torno de um eixo fixo horizontal Fonte HIBBLER R C 2011 p 333 Figura 19 Corpo rígido com movimento plano geral causado pelas forças e momentos de binário extremos Fonte HIBBLER R C 2011 3 Dinâmica do movimento plano de um corpo rígido trabalho e energia PraCegoVer A figura apresenta um sistema com eixos xy o qual ilustra a velocidade de ponto P em função da velocidade do ponto G Fonte BEER JOHNSTON 2007 Sistemas de corpos rígidos Caso um problema compreender diferentes corpos rígidos o princípio de trabalho e energia é aplicado a cada um de modo que todo corpo pode ser considerado separadamente Considerando o trabalho de todas as forças envolvidas e somando as energias cinéticas de todos os pontos materiais podemos também servir o equivale ao trabalho e energia para todo o sistema Temos T1 U1 T2 312 onde T representa a soma das energias cinéticas dos corpos rígidos que formam o sistema todos os termos são positivos e U12 é o trabalho de todas as forças que atuam nos diversos corpos sejam forças internas ou externas de ponto de vista do sistema como um todo No sentido de problemas que representam elementos unidos por esforços blocos e placas pressas por forças intensivas ou de engenharias acopladas o estudo do trabalho e energia é expressamento adequado Em todos esses casos as forças internas aparecem por pares de forças opostas os pontos de aplicação das forças atuam no sistema e o trabalho das forças internas é nulo PraCegoVer A figura apresenta um esquema que ilustra o trabalho nulo das forças internas em um corpo rígido A figura apresenta dois sistemas que ilustram a aplicação do princípio da conservação de energia Fonte BECR JOHNSTON 2007 Estando inexistente a velocidade preliminar assim T1 0 Tomando como referência para a medida do energia potencial o nível da guia horizontal escrevemos V1 0 A posição da barra gira de um ângulo θ o centro de gravidade G da barra está a uma distância h1 t1 é elevado do nível de referência e temos Vm mgh1 h2 319 Considerando que nossa configuração o centro imediato de rotação da barra está posicionado em C que CG h1 podese escrever ω1 ω2 e obtemos T1 mgh1 h2 h2h1pghd 12h2h1ρgh h22d mgh1 E 320 aplicando o princípio da conservação de energia resulta T1 mgh2 mgh1 h2 321 ω2 h1 h22 322 Recordando os benefícios do tratamento do trabalho e energia bem como suas limitações vieram mencionadas Por exemplo para calcular as regiões nas extremidades E e B da figura 25 deveria ter que diagramar para expressar a equivalência entre o sistema formado pelas forças externas aplicadas na barra e o sistema formado pelo revólver na o momento t2 A velocidade angular da barra contudo é determinada pelo método do tratado de energia antes de se resolverem os movimentos em função das reações A análise combina o movimento da barra e das forças exercidas sobre eles portanto o uso combinado do método do trabalho e energia com o princípio da equivalência das forças externas e efetivas Fique de olho Caso você queria aprofundar seu conhecimento de dinâmica aplicada na engenharia os três autores são importantes referências Beer Hibbeler e Meriam Livros complementares estão incluídos nas referências bibliográficas abaixo inclusive alguns trechos deste material foram extraídos desses livros Não deixe de ler Bons estudos