Segunda Avaliação de Dinâmica - Cinética de Corpo Rígido - Exercícios Resolvidos

EMB5041 DINÂMICA Prof Helton da Silva Gaspar 14 de julho de 2022 Segunda avaliação Cinética de Corpo Rígido nome matrícula nome matrícula Na figura uma barra de comprimento L 60 cm gira ao redor do ponto A devido ao torque proporcionado pela força F1 exercida por um pistão à pressão CB que se estica à medida que o ângulo θ aumenta no sentido antihorário Perceba que a distância AB L4 e a distância AC 3L4 Considere que a barra tenha massa m 12 kg e o raio de giração para um eixo passando por G kG L12 Use a álgebra vetorial para demonstrar que 1a o comprimento do pistão BC em função do ângulo θ é dado por BCθ L2 52 32 cos θ 1b o ângulo ϕ do pistão com a vertical medido no sentido horário é dado por cosϕθ 3 cosθ25 3 cosθ 1c Esboce um diagrama de corpo livre ilustrando as forças ponto de aplicação direção e sentido 1d Escreva a expressão algébrica do vetor da força do pistão F1 em função do ângulo ϕ 1e Escreva as equações do movimento 1f Para que a barra se levante com velocidade angular constante 𝜃 45s qual deve ser a magnitude da força F1 quando θ 30 Considere uma variação do problema 5 da lista 01α na qual a Barra AB tenha mAB 20 kg cada disco tenha mD 5 kg e o bloco retangular ao qual os eixos dos discos estão fixados tenha mbl 10 kg Perceba que os discos têm raio de 60 cm e considere que eles rolam no plano de apoio sem deslizar Se inicialmente θ 15 e o sistema encontrase em repouso 2a qual será o vetor velocidade do bloco mbl quando θ 230 Justifique a resposta 2b qual sera a velocidade angular máxima dos discos Justifique a resposta Considere três postes de 2 m de altura alinhados sobre um eixo x e que a distância da base do poste central para a base dos dois demais seja de 4 m Um fio liga o poste central ao da direita a uma altura de 50 cm abaixo do topo e outro fio liga ao poste da esquerda com configuração similar Agora considere que o poste central se incline de θ 15 com a vertical projetandose na direção ortogonal ao alinhamento original eixo y Considerando que o poste permaneça equilibrado nessa posição devido à tensão dos fios e que os demais postes permaneçam na vertical tal como a configuração original 3a Faça um esboço desse sistema destacandos as tensões 3b Se cada fio exerce 150 N de tensão determine o torque M exercido por um dos fios EMB5041 DINÂMICA Prof Helton da Silva Gaspar 18 de julho de 2022 Segunda avaliação Cinética de Corpo Rígido nome matrícula nome matrícula Na figura uma barra de comprimento L 60 cm gira ao redor do ponto A devido ao torque proporcionado pela força F1 exercida por um pistão à pressão CB que se estica à medida que o ângulo θ aumenta no sentido antihorário Perceba que a distância AB L4 e a distância AC 3L4 Considere que a barra tenha massa m 12 kg e o raio de giração para um eixo passando por G kG L12 Use a álgebra vetorial para demonstrar que 1a o comprimento do pistão BC em função do ângulo θ é dado por BCθ L2 52 32 cos θ AB BC AC BC AC AB BC² BC BC AC² AB² 2AC AB BC² 3L4² L4² 2 3L4L4 cosθ L2² 32² 12² 32 cosθ L2² 104 32 cosθ BCθ L2 52 32 cos θ 1b o ângulo ϕ do pistão com a vertical medido no sentido horário é dado por cosϕ 3 cosθ 2 5 3 cosθ CA AB CB AB CB CA AB² AB AB CB² CA² 2CB CA AB² BC² CA² 2 BC CA cosϕ L4² 5L²8 3L²8 cosθ 3L4² 2 L4 52 32 cosθ 3L4 cosϕ 1 10 6 cosθ 9 12 52 32 cosθ cosϕ 6 cosθ 18 12 52 32 cosθ cosϕ cosθ 3 2 52 32 cosθ cosϕ 3 cosθ2 5 3 cosθ cosϕ 1c Esboce um diagrama de corpo livre ilustrando as forças ponto de aplicação direção e sentido 1dF1 Fcosϕ j senϕ î em que F 0 é uma incógnita a ser determinada a partir das equações do movimento 1e P mg j NA Nx î Ny j em que Nx e Ny são incógnitas a serem determinadas a partir das equações do movimento Fres F1 P NA 1d Escreva a expressão algébrica do vetor da força do pistão F1 em função do ângulo ϕ 1e Escreva as equações do movimento Fres m aG Mres I α Mres MA AB F1 AG P L4 ûr F û1 L2 ûr mg j LF4 î j k Lmg2 î j k senθ cosθ 0 senϕ cosϕ 0 senθ cosϕ cosθ 0 senϕ 0 1 0 LF4 senθ ϕ k Lmg2 sen θ k O momento de inércia para a extremidade A via teorema dos eixos paralelos IA mkG² m AG² m L²12 L2² m L²3 A aceleração do centro de massa em movimento circular é aG L2 θ² ûr θ k L2 ûr Portanto Nx F senϕ mL2 θ cosθ θ² senθ Ny F cosϕ mg mL2 θ senθ θ² cosθ L2 F2 senθ ϕ mg senθ θ mL²2 3 1f Para que a barra se levante com velocidade angular constante 𝜃 45s qual deve ser a magnitude da força F1 quando θ 30 Se θ constante então θ 0 Para θ 30 cosθ 32 e cosϕ 023015 rad Da equação do torque temse F 2 mg sen30senπ6 023015 mg06844 1718346 N Considere três postes de 2 m de altura alinhados sobre um eixo x e que a distância da base do poste central para a base dos dois demais seja de 4 m Um fio liga o poste central ao da direita a uma altura de 50 cm abaixo do topo e outro fio liga ao poste da esquerda com configuração similar Agora considere que o poste central se incline de θ 15º com a vertical projetandose na direção ortogonal ao alinhamento original eixo y Considerando que o poste permaneça equilibrado nessa posição devido à tensão dos fios e que os demais postes permaneçam na vertical tal como a configuração original 3a Faça um esboço desse sistema destacando as tensões Na figura ao lado destacase o ponto A no poste central na cor verde no qual se fixam os fios para os outros dois postes As coordenadas desse ponto são A0 15 m senθ 15 m cosθ E portanto o vetor R da base do poste até o ponto A é R 15 m senθĵ cosθk As coordenadas do ponto B são B4 m 0 15 m 3b Se cada fio exerce 150 N de tensão determine o torque M exercido por um dos fios O vetor AB que aponta de A para B e tem a direção da força F1 é AB4 m î 15 m senθĵ15 m 1 cosθ k A magnitude do vetor AB é AB 16 2 15² 2 15² cosθ m 205 45 cosθ m Assim o vetor unitário na direção AB é ûAB 4 m î 15 m senθ ĵ 15 m 1 cosθ k 205 45 cosθ Para θ 15º ûAB 09952 î 00966 ĵ 00127k Analogamente o vetor unitário ûAC na direção da força F3 seria ûAC 09952 î 00966 ĵ 00127 k Também podese generalizar o resultado para o caso em que se considere o tombamento do poste central no sentido negativo do eixo y ûAB 09952 î00966 ĵ 00127k F1 150 N 09952 î 00966 ĵ 00127 k ûAC 09952 î00966 ĵ 00127k F3 150 N 09952 î 00966 ĵ 00127 k Nas componentes ĵ o sinal superior negativo vale para o poste inclinado para o sentido positivo do eixo y ao passo que o sinal inferior positivo vale para o poste tombado para o sentido negativo do mesmo eixo Portanto os torques M1 e M3 gerados pelas forças F1 e F3 respectivamente para θ 15º são M13 R F1 15 m 150 N î ĵ k 0 02588 09659 09952 00966 00127 M13 225 N m 0003300933 î09613 ĵ02576 k OBS No resultado acima o sinal destacado na cor preta deve ser positivo superior para o poste inclinado para o sentido positivo do eixo y e negativo para o caso contrário Já os sinais da componente ĵ e da componente k destacados a cor azul devese tomar os sinais superiores para o torque M1 e o inferiores para M3 Considere uma variação do problema 5 da lista 01α na qual a Barra AB tenha mAB 20 kg cada disco tenha mD 5 kg e o bloco retangular ao qual os eixos dos discos estão fixados tenha mbl 10 kg Perceba que os discos têm raio de 60 cm e considere que eles rolam no plano de apoio sem deslizar Se inicialmente θ 15º e o sistema encontrase em repouso 2a qual será o vetor velocidade do bloco mbl quando θ 230º Justifique a resposta Inicialmente o sistema está em repouso de modo que a energia cinética do sistema é nula a altura do CM G da barra é yG0 yA0 R r cosθ0 em que R 06 m r 04 m e θ0 15º Portanto a energia mecânica inicial é E0 mAB g R r cosθ0 os pinos A e B encontramse deslocados de θ0 15º no sentido horário desde o ponto mais alto de modo que os discos tenderão girar no sentido antihorário à medida que o peso da barra puxála para baixo Portanto inicialmente o bloco será acelerado para à direita Logo o vetor velocidade vbl do bloco será vbl v0 î Rθ î Quando o sistema entrar em movimento a energia mecânica do sistema se dará em função do ângulo θ Eθ UAB KAB 2KD Kbl em que UAB mAB g R r cosθ KAB mAB vA²2 mAB v0 vAO²2 mAB R r² θ²2 KD Iθ²2 mD Rθ²2 mD R² θ² 4 mD R² θ² 2 34 mD Rθ² Kbl mbl vO²2 mbl Rθ²2 Eθ mAB g R r cosθ 14 2 mAB R r² 3mD 2 mbl R² θ² mAB g R r cosθ 2 mAB R r² 3mD 2 mbl R² θ2² Aplicandose o princípio da conservação de energia E0 E mAB g R r cosθ0 mAB g R r cosθ 2 mAB R r² 3mD 2 mbl R² θ² 4 4 mAB g r cosθ0 cosθ 2 mAB R r² 3mD 2 mbl R² θ² θ² 4 mAB cosθ0 cosθ gr 2 mAB R r² 3 mD 2 mbl R² vbl Rθ î 4 mAB cosθ0 cosθ 2 mAB 1 rR² 3 mD 2 mbl gr ¹² î Para θ 230º vbl 18582 ms î 2b qual será a velocidade angular máxima dos discos Justifique a resposta A velocidade angular será máxima para θ 180º quando a barra mbl estiver no ponto mais baixo de sua trajetória θθπ 4 mAB cosθ0 1 2 mAB R r² 3 mD 2 mbl R² gr ¹² 34236 rads