Augusto Cesar de O Morgado - Analise Combinatoria e Probabilidade p034-083

40 Combinacoes e Permutacoes Cap. 2 % 38) Cade a) Determine quantos professores ha em cada banco. 33. A partir de um conjunto de n atletas formarem-t times de k atletas cada. Todos os atletas participarao de um mesmo numero de times e cada par de atletas fara junto no mesmo time um mesmo nmmero de vezes. Determine: a) o numero de times cada atleta participa; b) em quantos times cada par de atletas fica junto. 34. Mostre que em um tabuleiro 8 x 8, em que as casas sao todas pretas ou brancas, ou qualquer subtabuleiro tern 4 x 4 casas com um com de casas. (Note que seu tabuleiro 8 x 8 vulda algumas sao todas pretas ou brancas, sempre que eliminarmos as quatro esquinas de qualquer subtabuleiro 4x 4 ficarao 10 casas extremas tern a mesma cor. (Observacao: no tabuieiro a configuração final nao riter determinada rores differentes.) por f) 35. Prove que, para um módulo p, a potência dos dois inteiros consecutivos sempre: diversel por primeir segundos p(p 1)/l 36) Prove, usando um argumento combinatorio, que os, números: abaixo são inteiros para qualquer natural. a) bn Cn b) peen- c) me(2a 4pcon) 37. No inicio de uma festa há 6 rapazes descompanhados e 10 mocas desacompanitadas. Quantas trio so? são possíveis no fim da festa? 38. Prove, usando um argumento combinatório, que: C7 s - 7! \' Cap. 2 Combinacoes e Permutacoes 41 3% Prove que n > 2 I, 39. Prove que Cn pares n > 2 1, 4 e divisivel por iT. 2.4 Permutacoes Circulares De quantos modos podemos colocar n objetos distintos em n lugares equidistantem em tormo do eixo de um circelo, se considerarmos como equivalentes disposições que possam ser obtidas por rotacoes7 A posicão desses problemas pode ser representada por (PC)n,o número de permutações circulares de n objetos distintos. chamemos, e verta (PC)) a e qualquer disposição e seu igual diferente de r. wallen. tom lugares. No entanto se as três primeiras disposiçôes podem coincidir entre si por rotacao e se mundo corte com tres nções. de douros, forma e ngola dis pis i dos objetor distinos podem (PC)7 = 1,12-1. esultado: sempre que tres permutaçoes simples . ares a lavagem ue os objetos econom place na passo que uma passagr permutagipser carros ms 42 Combinacoes e Permutacoes Cap. 2 Não importa a apenas a posição entre tas relafvos onsto entna a o por mpos deste objeto sinegural. podendo ja então porta, a posigao relafer ilmenta guarda uma entena anre Fos uguras e mais velh. eu prece o que precede 2. que prece 1: portanto. 1 prefireci ox que precede 1: que precede- 1i portanate. a poSiquna dos objetos é a memam Podemos verificar que (PCPO 17 e dos modos b) Seja quo corresponda e a entre n um lugares) Considere mesma o de maneiras de osconto costentendo opentosa entre na equivalena. quue ntas dfsportes reseitores. Considersonse equivelaneianto cporte saos disponovepe poded. com perma rosloe ness:upoloestes escolhemotal giute pofotes de ekanny aras! o objetos nuns distanctas Col ofocamanes premogues Solo algubos de traslinIONES Algumas de outras alpumoss kgav fervo relação como modeos (PCUR-o m (e-1)!.! Como e agrtomes perfeitos coordinamos estorsor modo de o família já e uma conyecalda, mais orr perses dos ce ofezers ón mido que disponível os W di est médos de cha olveno o no posicoes) de nos tados para elém dontes ocfc jul cara e soque do 4er os urs) ele tecnanente luninnes a e um otros usos finos Depois nasorendo os mutes explicados para mos 3m As das entano tamnoras um object heni itodes nem de lugar 3 e qua ns este ra to ouro que eve enanao lao posiçóoão uma um do mesmo tador e mesmana bntoo ao (30)e-ut od hay pocrando (PC)n n-1!=3! (n-1) = (n-1)! 1341 Exemplo 2.1.6: Quantas rodas de crianças pedem serradas em nossas rotocas Siolule o fegira, o importante rocaso de cade de roda ao carro criança sem from ele sua undados isce st anges é (PC)hed- Tar 1 certro ann oexas ros om. Cap. 2 Combinacoes e Permutacoes 43 Exemplo 2.17: De quantos modos temos una roda numstube okay desenh.6 DICE circanda com 7. crevuas denne deveremoro formação tomada imposible dessa e crianças não fiquem juntas? Solucao: Podemos formar (PC)DC-4 ou che alquas crianças Ha agora o modacer, coda criança a na roda, Figs 27 Há agora 4 modas e colocar a criança B nn raido e cada o junto de A com a P., cesteto4. cas andres 44x4 neco ercencia um aali assoe 44 Combinacoes e Permutacoes Cap. 2 Exercicios e) De quantos ovos e 5 meninas podem formar urna Uma rods de crian? E mode que pessoas de aeixos juntos se rão figuem junto s? 2. De quantos costos t'ecas podem forma na modo ao modo de E modo que pada penso não pemaneo o lado do no de perver endereara um amamento... de onde e criança I e mode que os morrem por cado peito fm combinado adma umtposażno sobre o bnbha nnennto eo coso de selecionar rezar, deice modo tās escolhas Venant unem-se ao modo do edaivo, ano age rela or lumermol rodeado armadi: aimosossa deena uma lesirosse medescn dois eto Calculowe nesse mesmo maneira duas rezarmos primeira pone cada ou de na propnan 11. cmorotorn ume chame cias creas coinas no lado O. 12. Uware qual ma cena 13. O mones asumaapue feccuas embrante alimentent time caes peukier, tin fenbo y olho a braco já mode rotar ue en gole disafao 14. Oollen eludo, sem terno pera go na niños so como ester o menina on entor de si. Seebo o braco pode ou lar os tercer para dois entre foras.c. 15. De quantos modos 5 mulheres & dos h homens podem andas form agora de os ossos de atestado modo que o muleher como sit rebusca ou lado do hameu de rem fundo do seu lado .VEER.MO. 16. Sefe tantos, possых как можно a car dentro cu apenas sama escas do o insen Cap. 2 Combinacoes e Permutacoes 45 itmos ter personas T 7? olandos ann 2.5 Permutacoes de Elementos nem Todos Dis permanentes Quantas anagramas de cada canando posta ainda Quantas tancas pode-se cònco Pela de TARTARA. ra- 65 letras tes poler o número ónormeu serenos combustão de co que retido e número levantamento en 7 tantes Juarano TARDTRARA E oncos TARD!. = a do numero de anagramas de 'TAR TA que bexam. es: Peca situacao assaurus hondar -> mego sap: 一 tetarm 32, a?) Aż或如 . Nel.um modo do modo nos drame de cos de ordem so nrmodares o 4 de corade centrir,{1O fünfuse olen.do: a planaios prime: detntedo v L fomening fico, e trasport, metara Com eria e, fiando, mos que corusomando aderon suunsicaarios E TRN . Finalment som do modo eo outro da P:=| 33/ estan as extraordinada modo ula: colonata que uma comer? (Contact que & n), B)= uma letra forma eston snirecavidadar -> P: 747, e sevente:, ou escolhemos demais numeros + tes por as colocamos E: ano cos alisesnte, L., como os setor número das letras reste temrio & lett infinidos( = modho tribui súcameta incorporadas altes correcela sugestões e as terlor do rm'], Com she ulises ]= crpê 4{2 91x2.2 I do = ter одинапе e 1. 13. rod são mos eu outra ge rod D enquanto que Fig 4 27 에이 손은 확D 대소정리 내가 익영장 에따라 탕게 다청일웅하셔야 겠었다는 이있다.에이것만보 하고 고 검지 걸겜 하는zeg 할거에 의해 벗어나는것소인준다該 똥물에서 흠 판데 없어 특정 성것c 청이 직눈 거파에 분크 다형어 다 챘대에나 4 榮 그 짐에 기둥에 방지 네째네기 황적으로입니다 기형채随限于性流修 무이슷 영 알그 한영 보죽永 영 에펨날통 떠라어했절 이거 하 자 위이나 말 임에세차是 대는 주면 는 있아 Vớiđ nó-LĐ이백일 그리한지 경우是장 평화성으로프 황 誕是은 만기도 배남 현재들것에 물의 것에 있는 집 곳이면 만 만方 发白든 이않거은 自 하지 후 니 제 스 트 에 표아 할DP 있다는 상 않다 걍마 거의 계열법이 라해은 것에 음의 별 하외 효도입 ? 없어 O 사 이력마녓 는 이입니다 난인 성 있는 그볼 때 그 성함게해은 있기 죽을 놈있해서양이 을 것에만한 실 하것에 일下 존재 탄발항나 않으 요는 스강 입여와서 1! 시는 하는당 장 銜 바람 것이 속에등 험 임 저 하느아 직욝 하 하는당 새부 Q 친것있 오커리사 黃 觀미 싶어 대륜 영리어{ 장 하가 푸았적인냐 시이기장을 장의며 두어 서로의 되더에 아는 것이 있 기 는 이따 하는법 있다 영랍 사 데다까성 요 민 증 여용 人 이계학을 철 도장이라고未王与 속책에 물어오는 음6 然 서 구 챙상 모ㄱ 나 いことの 차 인성와 어 성 經그르 리깋이 걸보 지니지만는 못되면 관거 는 감초 며 다양 무다는 일 걸이은 걸요쳤 한 는 말출적힙 재 양이 禮. 발박 보인不 林온금히 선 우기. 강깃어 점 베가 근상지만 마치要금스달에 형대-(G-어则의기적 인 신계 女적려한 개오 생 Ю某한 걸 이다の 있탈 다이 生 전까지 기械 달습 정해지내수 있습니다.