Problemas de Geometría Analítica - Mir kletenik Archivo1

EDITORIAL MIR D. KLETENIK PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Д. Б. КЛЕТЕНИК СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Под редакцией проф. Н. В. Ефимова ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ На украинском языке D. KLETENIK PROBLEMAS DE GEOMETRIA ANALITICA revisado por el profesor N. EFIMOV Traducido del ruso por EMILIANO APARICIO REINADO, Candidato a Doctor en Ciencias Físico-Matemáticas, trabajador del Akademicheskoe Izdatelstvo de laशनिएो Unión Soviética de Moscú (segunda edición) EDITORIAL MIR MOSCU INDICE 513/516 Impreso en la URSS, 1968 Derechos reservados Primera Parte GEOMETRIA ANALITICA PLANA I Capítulo PROBLEMAS ELEMENTALES DE LA GEOMETRIA ANALITICA PLANA § 1. El eje y segmentos del eje. Las coordenadas en la recta Se llama eje a la recta en la que se ha elegido una dirección posi- tiva. El segmento, limitado por los puntos A y B, se llama dirigido, si se ha tenido en cuenta de lo que sigue que es el origen y cuál el ex- tremo del segmento. El segmento dirigido, con el origen en A y con el extremo en B, se designa con el símbolo AB. Se llama magnitud del segmento dirigido del eje a su longitud, dotada con algún modo, el de la dirección considerada como positiva. Por consiguiente, el segmento dirigido AB es igual a la dirección en línea recta, el símbolo AB indica que el punto A tiene distinguirse en el sentido de la dirección elegida. La magnitud del segmento AB la designamos con el número r y la longitud con el símbolo r-+ Si los puntos A y B coinciden, se dice que el segmento que determinan es nulo: es evidente que se tiene como AB = BA = 0 (la dirección del segmento nulo es indiferente). Supongamos dada una recta arbitraria α. Tomemos un segmento por unidad de medida de la longitud, eligiamos en la recta la dirección positiva (después de lo cual la recta se convierte en eje) y su origen sea con la letra O ofrece punto de aquella. Con esto, en la recta α queda establecido un sistema de coordenadas. Se llaman coordenadas de algún cualquiera de los de la recta α (en el sistema de coordenadas establecido) el número x; igual a la magnitud del segmento QM: x=QM. El punto O se llama origen de coordenadas y su coordenada es igual a cero. A continuación, el símbolo M indica que el punto M tiene la coordenada . Si M1(x1) y M2(x2) son dos puntos arbitrarios de la recta α, la fórmula . |M1M2| = x2-x1 expresa la magnitud del segmento M1M2 y la fórmula |M1M2| = |x1-x1 expresa su longitud. Por lo general, en los diagramas se señala de izquierda a dere- cha la dirección positiva en los ejes horizontales. 1. Trazar los puntos: A(3), B(5), C(−1), D(7/2), E(−3/7), F(√2) y H(−√5). 2. Trazar los puntos, cuyas coordenadas satisfacen a las ecuaciones: 1) |x|=2; 2) |x−1|=3; 3) |1−x|=−2; 4) |2+x|=2. 3. Caracterizar geométricamente la posición de los puntos, cuyas coordenadas satisfacen a las desigualdades: 1) x⩾3; 2) 2−3⩽6; 3) 12−x⩽0; 4) 2x−9⩽0; 5) 4+x−5⩽0; 6) 1<x⩽3; 7) 2⩽x⩽3; 8) ⟨x⟩=0; 9) ⟨x⟩=1; 10) ⟨x⟩⟨−4⟩; 11) |2x|=8x+15⟨x⟩=3−8+15>0; 14) x=±x−12=0; 4. Determinar la magnitud AB y la longitud |AB del segmento definido por los puntos: 1) A(3) y B(11); 2) A(5) y B(2); 3) A(−1) y B(3); 4) A(−5) y B(−3); 5) A(1−1) y B(−8); 6) A(−7) y B(−5). 5. Calcular la coordenada del punto A, si se conocen: 1) B(3) y AB=5; 2) B(2) y AB=-... 3) B(−1) y BA=2; 4) B(−5) y AB=−−3; 5) B(0) |AB|=2; 6) B(2) y |AB|=8; 7) B(−1) y |AB|−15=; 8) B(−5) y |AB|=2−. 6. Caracterizar geométricamente la posición de los puntos, cuyas coordenadas satisfacen a las siguientes desigualdades: 1) |x⟩⟨1; 2) |x|⟩3; 3) |x|⟨2; 4) |x|>3; 5) |x−2|<3; 6) |x−5|<1; 7) |x−1|>2; 8) |x−3|>1; 9) |x+1|<3; 10) |x+2|⟨1; 11) |x+5|⟨1; 12) |x+1|⟩2. a