Econometria III - Introdução a Séries de Tempo e Inferência Estatística

EAE1223 Econometria III Aula 1 Introdução Luis A F Alvarez 7 de agosto de 2024 Amostragem e inferência Nos cursos anteriores de Econometria boa parte das aulas foi dedicada a tópicos de inferência estatística ie a métodos de quantificação da incerteza referente a uma quantidade populacional Cômputo de erros padrão construção de testes de hipótese e intervalos de confiança A incerteza nesses cursos de Econometria decorria fundamentalmente da amostragem Observávamos somente uma amostra da população de interesse de modo que gostaríamos de quantificar o quanto poderíamos falar da população e o quanto seria contigente à amostra As propriedades dos estimadores testes e intervalos de confiança faziam referência ao experimento mental de amostras repetidas Se repetíssemos a amostragem muitas vezes e calculássemos o estimador para cada amostra na média das repetições o estimador acertaria parâmetro de interesse ausência viés ou as repetições não ficariam muito distantes de si baixa variância amostral 2 17 Amostragem aleatória simples Nos cursos anteriores as propriedades dos estimadores testes e intervalos de confiança foram derivadas sob a hipótese de amostragem aleatória simples As observações na amostra eram independentes entre si e cada uma seguia a mesma distribuição das variáveis na população Conceito serve como aproximação ao procedimento de se sortear n elementos indivíduos firmas países de uma população grande e coletar as informações deles Em dados no formato de painel sorteamos aleatoriamente n indivíduos e acompanhamos suas variáveis por T períodos de modo que observações de indivíduos diferentes são independentes e a sequência de variáveis de cada indivíduo tem a mesma distribuição da população 3 17 Séries de tempo Neste curso estudaremos métodos estatísticos e econométricos para dados de séries de tempo Estes dados possuem uma estrutura especial pois as variáveis possuem uma ordenação natural tempo Exemplo observamos dados de inflação e atividade econômica mensais de janeiro de 2003 a dezembro de 2022 Esta estrutura nos leva a uma nova sorte de problemas 4 17 Incerteza em séries de tempo Primeiramente o conceito de incerteza utilizado anteriormente necessita ser requalificado pois é difícil ver uma série de tempo como uma amostra de uma população tal qual naturalmente a pensamos Em séries de tempo a incerteza de procedimentos estatísticos decorre fundamentalmente de não sermos capazes de observar o que acontecerá em todo o futuro nem o que aconteceu num passado distante nem o que poderia ter acontecido no período da amostra e não ocorreu Essa incerteza econômica deve ser levada em conta pois gostaríamos de separar o que é contigente ao período de análise do que é essencial na trajetória de uma série Propriedades dos estimadores devem ser pensadas como avaliadas em amostras repetidas desses cenários contrafactuais superpopulação 5 17 O que muda A estrutura das séries de tempo faz com que a hipótese de dados independentes e identicamente distribuídos deixe de ser atrativa Esperamos que haja dependência do que ocorre com a inflação em t e aquilo que ocorre com ela em t 1 Além disso em muitos cenários é irrazoável supor que a distribuição de uma variável que reflete o que contrafactualmente poderia ter ocorrido com ela é a mesma em diferentes períodos A distribuição do produto Brasileiro em 1950 e 2000 não parece ser a mesma Precisamos de novos métodos para lidar com esses problemas Por fim a estrutura de séries de tempo requer cuidados adicionais na identificação e estimação de efeitos causais pois devemos levar em conta as retroalimentações dos processos 6 17 Causalidade e Econometria O conceito de causalidade em Econometria reflete o experimento mental associado ao qualificador ceteris paribus Em um sistema econômico com variáveis Y X U o efeito causal de X sobre Y é definido como o efeito de se perturbar X sobre Y mantidas as demais causas de Y constantes Primeira etapa de uma análise causal é definir o sistema econômico ou modelo causal explicitando quais variáveis causam o quê e os efeitos causais de interesse Tratase de atividade puramente mental não dependente de amostra e envolvendo conhecimento prévio ou teoria econômica Heckman e Pinto 2022 7 17 Modelo econométrico causal linear Vamos definir o seguinte modelo causal para uma variável Yt no período t Yt X tβ Ut onde Xt é um vetor k 1 de causas observadas de Yt β é um vetor k 1 definido como o efeito causal de se perturbar cada um dos elementos de Xt sobre Yt e Ut são as demais causas não observadas de Yt Exemplo definimos a função resposta de um banco central como it r neutro πmeta γπt1 πmeta ut onde ut são os determinantes não observados da regra de juros choques monetários e γ é definido como o coeficiente causal de resposta da política monetária à inflação passada 8 17 ESTIMAÇÃO DO MODELO CAUSAL LINEAR Suponha que tenhamos acesso a séries de tempo YsXsTs1 Podemos tentar estimar o parâmetro causal β por MQO β Tt1XtXt1 Tt1XtYt Mas β Tt1XtXt1 Tt1XtXtβ Ut β 1T Tt1XtXt1 1T Tt1XtUt De Econometria I sabemos que β será não viciado se EUs X1 X2 XT 0 para s 1 T Em Econometria 1 como as observações eram independentes EUs X1 X2 XT EUs Xs e a condição collapsava para EUs Xs 0 Em séries de tempo dependência implica que precisamos de EUs X1 X2 XT 0 EXsUt 0 s t Estimação do modelo causal linear cont A condição que impomos para estimar β sem viés requer que EXsUt 0 s t Condição requer que os demais determinantes de Y não estejam sistematicamente associados com X contemporânea ou extemporaneamente Não pode haver retroalimentação entre X e U A essa condição damos nome de exogeneidade estrita Condição faz sentido no exemplo da regra monetária 10 17 ESTIMAÇÃO DO MODELO CAUSAL LINEAR CONT Para estimar β consistentemente quando T precisamos das seguinte condições 1 1T Tt1XtXt e 1T Tt1XtUt possuem limites em probabilidade 2 O limite em probabilidade de 1T Tt1XtXt tem posto cheio 3 EXtUt 0 para todo t Condição 1 é de natureza estatística processos não podem explodir nem pode ser extremamente dependentes de modo que as médias convivam deve valer uma lei dos grandes números Condição 2 versa sobre a especificação do modelo não pode haver colinearidade perfeita em amostras grandes Condição 3 é de natureza econômica exogeneidade contemporânea Condição faz sentido no exemplo da regra monetária Melhor preditor linear E se não temos um modelo causal na cabeça Ou se a hipótese de exogeneidade para consistência não vale Será que o estimador de MQO estima consistentemente alguma coisa Definição melhor preditor linear Seja Y uma variável aleatória escalar e X um vetor k 1 de preditores O coeficiente do melhor preditor linear de Y como função de X é definido por γ argmincRk EY cX2 γ é o coeficiente que minimiza erro quadrático esperado de se projetar Y como função linear de X 12 17 Melhor preditor linear e modelo preditivo Proposição 1 Se EXX tem posto completo temos que γ é único e pode ser escrito como γ EXX 1EXY 2 Além disso definindo o erro de projeção ϵ Y X γ podemos escrever Y X γ ϵ onde EXϵ 0 por construção 13 17 ESTIMAÇÃO DE MODELO PREDITIVO A fórmula de γ é bastante parecida com a do estimador de MQO β Consequentemente β estimará consistentemente o coeficiente γ do melhor preditor linear de Y em X se quando T 1T Tt1XtXt p EXX e 1T Tt1XtYt p EXY Posto de outra forma o problema de melhor prever Y como função linear de X define um modelo preditivo linear Y Xγ ϵ 0 cujo erro satisfaz a condição de exogeneidade EXϵ 0 por construção Para consistência bastará então uma LGN Condições suficientes para que a lei dos grandes números que garante a consistência do estimador de MQO β para γ valha são A EXtXt EXX e EXtYt EXY B As observações apresentam dependência fraca no tempo de modo que observações mais distantes no tempo se comportam cada vez mais como próximas de independentes ESTACIONARIEDADE E DEPENDÊNCIA FRACA As condições a e b garantem que uma lei dos grandes números valha de modo que 1T ᵀₜ₁ XₜXₜ ᵖ EXX e 1T ᵀₜ₁ XₜYₜ ᵖ EXY Condição a é uma versão de condição de estacionariedade fraca Esta condição impõe estabilidade dos momentos de X e Y garantindo que os potenciais limites das médias amostrais existam Condição b garante que haja informação suficiente no problema para que haja convergência em probabilidade para os limites Uma boa parte do curso consistirá em prover ferramentas para testar se séries de tempo são estacionárias ou não e a entender o que se deve fazer em caso negativo Quanto ao item b não testaremos essa condição embora seja importante saber que ela vale para processos bastante flexíveis Carrasco e Chen 2002 Procedimento para avaliar consistência de estimador de MQO de modelo linear em séries de tempo 1 Especificar a natureza da pergunta preditiva ou causal 2 Postular e escrever o modelo correspondente 3 Se o modelo é causal avaliar a plausibilidade de exogeneidade contemporânea teoria econômica Se modelo é preditivo exogeneidade contemporânea do erro do modelo vale por construção 4 Se exogeneidade valer e séries forem estacionárias e fracamente dependentes sabemos que estimador de MQO de ˆβ será consistente para o parâmetro do modelo postulado Obs 1 Se a série não for estacionária veremos no curso o que podemos dizerdevemos fazer Obs 2 Além disso veremos como fazer inferência sobre os parâmetros levando em conta a dependência temporal na quantificação de incerteza 16 17 Bibliografia I Carrasco Marine e Xiaohong Chen 2002 Mixing and Moment Properties of Various GARCH and Stochastic Volatility Models Em Econometric Theory 181 pp 1739 issn 02664666 14694360 url httpwwwjstororgstable3533024 acesso em 23022024 Heckman James J e Rodrigo Pinto fev de 2022 Causality and Econometrics Working Paper 29787 National Bureau of Economic Research doi 103386w29787 url httpwwwnberorgpapersw29787 17 17