Lista de Exercicios Estatistica e Regressao Linear Multipla com Solucoes

Questão 1 Seja a função densidade de probabilidade fx Kx² para os valores x 01 a Qual é o valor de K b PX 05 e PX 1 c Encontre EX e VarX d Faça um gráfico da função fx e Faça um gráfico da função Fx PX x Questão 4 Seja o modelo de regressão linear múltipla yi β0 β1xi1 β2xi2 β3xi3 εi i 12 n Cujo erro satisfaz as propriedades Eεi 0 para todo i Varεi σ² para todo i Covεi εs 0 para todo i s Em que σ² é conhecido Pedese a Escreva as n equações para cada indivíduo b Represente o modelo na forma matricial Y Xβ ε defina cada elemento da matriz X e dos vetores Y β e ε c Usando a representação gráfica e a definição de produto interno encontre o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários MQO dos parâmetros do modelo d Encontre a matriz de variânciacovariância Σ definida como Σ Covε EεεT Questão 5 apenas as letras b e d Questão 5 O avaliador de políticas públicas deseja saber se o sexo tem impacto na renda dos indivíduos Ele propõe o seguinte modelo de regressão linear múltipla rendai β₀ β₁ educi β₂ expi β₃ sexoi εi i 12n 1 Em que renda é a rendahora sexo é uma variável dicotômica dummy sendo 1 se for mulher e 0 se for homem educ é o número de anos de escolaridade 0 educ 17 exp são os anos de experiência profissional 0 exp 40 e ε é o erro da regressão O método de mínimos quadrados ordinários MQO foi usado para estimar o modelo 1 sendo os resultados da estimação rendai 0362 0094 educi 0014 expi 0178 sexoi 0128 0008 0002 0058 n 124 Os números entre parênteses são os errospadrão das estimativas Pedese a Testar se o sexo influencia a renda dos indivíduos considere o nível de significância de 5 teste H₀ β₃ 0 vs H₁ β₃ 0 b Usando a equação estimada 2 determine quem ganha mais homem ou mulher ceteris paribus Quantas vezes a mais ganha um homem em relação a uma mulher c Testar se a educação influencia a renda dos indivíduos considere o nível de significância de 5 teste H₀ β₁ 0 vs H₁ β₁ 0 Mostre o Pvalor num gráfico e conclúa o teste olhando o gráfico d Se a educação aumenta em um ano em quanto aumenta a renda ceteris paribus e Qual a renda prevista por esse modelo para um indivíduo do sexo masculino com 10 anos de educação e 4 anos de experiência Questão 6 Considere o modelo de regressão linear múltipla lognotai 41 00003 logrendai 0004 idadei 032 trabalhoi 091 bolsai 00001 0004 064 028 Em que nota é a nota de matemática do aluno renda é a renda da familiar trabalho é uma dummy indicando se o aluno trabalha valor de 1 e zero se o aluno não trabalha bolsa é uma dummy indicando 1 se o indivíduo recebeu bolsa para estudar e zero se não recebeu Idade é a idade do aluno Os valores entre parêntesis são os erros padrão dos estimadores Pedese a Testar se renda influencia a nota de matemática ao nível de significância de 5 b Testar se idade influencia a nota de matemática ao nível de significância de 10 c Encontre a nota de um aluno de 25 anos que trabalha com renda familiar de 1000 reais e não recebe bolsa de estudos d Se a renda aumenta em 2 em quanto por cento aumenta a nota conceito de elasticidade R a O valor de 𝐾 deve ser tal que 𝑓𝑥 1 0 𝑑𝑥 1 Assim segue que 𝐾𝑥2 1 0 𝑑𝑥 𝐾 3 𝑥3 0 1 𝐾 3 13 03 𝐾 3 𝐾 3 1 𝐾 3 Logo devese ter 𝐾 3 ou seja a função densidade de probabilidade é dada por 𝑓𝑥 3𝑥2 𝑥 0 1 b 𝑃𝑋 05 3𝑥2 05 0 𝑑𝑥 3𝑥3 3 0 05 053 03 0125 𝑃𝑋 1 3𝑥2 1 1 𝑑𝑥 0 c 𝐸𝑋 𝑥 3𝑥2 1 0 𝑑𝑥 3𝑥3 1 0 𝑑𝑥 3𝑥4 4 0 1 3 4 14 04 3 4 075 Agora 𝐸𝑋2 𝑥2 3𝑥2 1 0 𝑑𝑥 3𝑥4 1 0 𝑑𝑥 3𝑥5 5 0 1 3 5 15 05 3 5 060 𝑉𝑎𝑟𝑋 060 0752 00375 Nota 𝑉𝑎𝑟𝑋 𝐸𝑋2 𝐸𝑋2 d e A função 𝐹𝑥 é tal que 𝐹𝑥 𝑓𝑡 𝑥 0 𝑑𝑡 3𝑡2 𝑥 0 𝑑𝑡 3𝑡3 3 0 𝑥 𝑥3 𝐹𝑥 0 𝑥 0 𝑥3 0 𝑥 1 1 𝑥 1 Gráfico Questão 4 Resolução a 𝑦1 𝛽0 𝛽1𝑥11 𝛽2𝑥12 𝛽3𝑥13 𝜀1 𝑦2 𝛽0 𝛽1𝑥21 𝛽2𝑥22 𝛽3𝑥23 𝜀2 𝑦3 𝛽0 𝛽1𝑥31 𝛽2𝑥32 𝛽3𝑥33 𝜀3 𝑦𝑛 𝛽0 𝛽1𝑥𝑛1 𝛽2𝑥𝑛2 𝛽3𝑥𝑛3 𝜀𝑛 b 𝑌 𝑋𝛽 𝜀 𝑦1 𝑦2 𝑦𝑛 1 𝑥11 𝑥12 𝑥13 1 𝑥21 𝑥22 𝑥23 1 𝑥𝑛1 𝑥𝑛2 𝑥𝑛3 𝛽0 𝛽1 𝛽2 𝛽3 𝜀1 𝜀2 𝜀𝑛 c Como qualquer vetor 𝑥 do espaço 𝑆 é ortogonal ao vetor de resíduos então o produto interno é zero ou seja para algum vetor 𝑥 𝑆 e 𝑦 ℝ𝑛 em que 𝑥 e 𝑦 são ortogonais se cumpre que o produto interno entre 𝑥 e 𝑦 é zero isto é 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 0 𝑥𝑦 0 A matriz 𝑋 contém nas colunas vetores no espaço 𝑆 logo cada vetor será ortogonal ao vetor de resíduo 𝜀 Logo 𝑋𝜀 0 𝑋𝑌 𝑋𝛽 0 𝑋𝑋𝛽 𝑋𝑌 Assim o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários MQO será dado por 𝛽 𝑋𝑋1𝑋𝑌 d 𝜀𝜀𝑇 𝜀1 𝜀2 𝜀𝑛 𝜀1 𝜀2 𝜀𝑛 𝜀1 2 𝜀1𝜀2 𝜀1𝜀𝑛 𝜀2𝜀1 𝜀2 2 𝜀2𝜀𝑛 𝜀𝑛𝜀1 𝜀𝑛𝜀2 𝜀𝑛2 𝑛𝑛 𝚺 𝐸𝜀1 2 𝐸𝜀1𝜀2 𝐸𝜀1𝜀𝑛 𝐸𝜀2𝜀1 𝐸𝜀2 2 𝐸𝜀2𝜀𝑛 𝐸𝜀𝑛𝜀1 𝐸𝜀𝑛𝜀2 𝐸𝜀𝑛2 𝑛𝑛 Sabese que 𝐶𝑜𝑣𝜀𝑖 𝜀𝑠 𝐸𝜀𝑖𝜀𝑠 𝐸𝜀𝑖𝐸𝜀𝑠 0 𝑖 𝑠 então consequentemente 𝐸𝜀𝑖𝜀𝑠 0 𝑖 𝑠 pois 𝐸𝜀𝑘 0 𝑘 Logo 𝚺 𝐸𝜀1 2 0 0 0 𝐸𝜀2 2 0 0 0 𝐸𝜀𝑛2 𝑛𝑛 Ainda dado que 𝑉𝑎𝑟𝜀𝑖 𝐸𝜀𝑖 2 𝐸𝜀𝑖2 𝜎2 então 𝐸𝜀𝑖 2 𝜎2 𝑖 Por fim 𝚺 𝜎2 0 0 0 𝜎2 0 0 0 𝜎2 𝑛𝑛 Portanto a matriz de variânciacovariância é uma matriz diagonal com elementos da diagonal principal igual a 𝜎2 Questão 5 apenas as letras b e d b R A equação 2 indica que quem ganha mais em média são os homens Um homem ganha em média 0178 𝛽3 a mais do que uma mulher d R Se a educação aumenta em um ano a rendahora aumenta 0094 𝛽1 em média R a 𝑛 65 Hipóteses 𝐻0 𝛽1 0 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝐻1 𝛽1 0 Temos 𝑡𝑐𝑎𝑙 𝛽1 𝛽1𝐻0 𝐸𝑃𝛽1 𝑡𝑛𝑘 𝑡𝑐𝑎𝑙 00003 0 00001 3 Valores críticos 𝑡𝛼2 e 𝑡𝛼2 Da tabela tStudent com 𝛼 005 5 e 𝐺𝐿 𝑛 𝑘 65 5 60 temos que o valor crítico é tal que 𝑡𝛼2 2 Como 𝑡𝑐𝑎𝑙 3 2 𝑡𝛼2 rejeitamos 𝐻0 ou seja a renda influencia a nota de matemática ao nível de significância de 5 b Hipóteses 𝐻0 𝛽2 0 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝐻1 𝛽2 0 Temos 𝑡𝑐𝑎𝑙 𝛽2 𝛽2𝐻0 𝐸𝑃𝛽2 𝑡𝑛𝑘 𝑡𝑐𝑎𝑙 0004 0 0004 1 Valores críticos 𝑡𝛼2 e 𝑡𝛼2 Da tabela tStudent com 𝛼 010 10 e 𝐺𝐿 𝑛 𝑘 65 5 60 temos que o valor crítico é tal que 𝑡𝛼2 167 Como 𝑡𝑐𝑎𝑙 1 167 𝑡𝛼2 não rejeitamos 𝐻0 ou seja a idade não influencia a nota de matemática ao nível de significância de 10 c log𝑛𝑜𝑡𝑎 41 00003 log1000 0004 25 032 1 091 0 log𝑛𝑜𝑡𝑎 368 𝑛𝑜𝑡𝑎 𝑒368 3965 Assim a nota de um aluno de 25 anos que trabalha com renda familiar de 1000 reais e não recebe bolsa de estudos é de 3965 d Temse que 00003 log2 00002 ou seja se a renda aumenta em 2 a nota aumentará 00002