Econometria - Raízes Unitárias e Testes de Estacionariedade

EAE1223 Econometria III Aula 4 Raízes unitárias Luis A F Alvarez 22 de março de 2024 Operador diferença Vamos definir o operador diferença como a função que para uma série de tempo Xt t T nos devolve uma série de tempo Xt da seguinte forma Xt def 1 LXt Xt Xt1 t T Usaremos a notação d para a aplicação d vezes do operador diferença ie dXt 1 LdXt t T Exemplo 2Xt 1 L1 LXt Xt Xt1 Xt1 Xt2 Definimos 0 1 L0 1 2 26 Processo Id Em nosso contexto vamos definir um processo Yt t T como integrado de ordem d ou Id se ele se escreve em forma simplificada como ΦL1 LdYt α ΘLϵt para polinômios Φx e Θx onde todas as raízes de Φx estão fora do círculo unitário Processo requer d diferenciações consecutivas para tornarse estacionário Dizemos que o processo tem d raízes unitárias visto que o polinômio Φx1 xd possui d raízes x com x 1 Note que um processo I0 é estacionário pois 1 L0 1 3 26 Regressão espúria Processos Id d 0 geram problemas de inferência sérios Variabilidade crescente do processo gera distorções Como exemplo gere dois passeios aleatórios independentes no R e considere ajustar um modelo linear de um no outro Como os dados foram gerados de maneira independente esperamos que o coeficiente associado à série seja 0 um processo não explica o outro O que acontece na prática 4 26 Regressão espúria cont Time rw 0 100 200 300 400 500 10 0 10 20 Testes indicam que ambas as séries têm relação quando sabemos que isso não é verdade 5 26 Testando a presença de raiz unitária Dadas as relações espúrias que são estimadas quando há tendência estocástica é importante ser capaz de detectála nos dados Também é importante diferenciar tendência estocástica de determinística visto que a melhor transformação a se fazer em cada caso é diferente Considere o seguinte modelo para uma série de tempo Yt Yt ρYt1 ϵt 1 onde ϵtt é ruído branco Observe que 1 Se ρ 1 processo é I0 2 Se ρ 1 processo é I1 6 26 Teste de raiz unitária Subtraindo Yt1 de ambos os lados de 14 obtemos Yt γYt1 ϵt 2 onde γ ρ 1 Observe que 1 Se γ 0 processo é I1 2 Se γ 2 0 processo é I0 Podemos usar um teste t da nula de que γ 0 contra a alternativa unicaudal γ 0 como uma teste da nula de uma raiz unitária contra a alternativa de que o processo é estacionário Estatística de teste é ˆt ˆγseˆγ onde seˆγ é o erro padrão homocedástico de Econometria I Como sob a nula o processo apresenta tendência estocástica a distribuição de referência de ˆt não é normal Detalhes Valores críticos tabulados Dickey e Fuller 1979 7 26 Teste de raiz unitária modelo com intercepto Às vezes não temos certeza sobre os termos determinísticos de um processo Nesse caso é interessante considerar modelos como Yt α γYt1 ϵt 3 Nesse modelo se γ 0 processo é um passeio aleatório com drift se γ 0 é um AR1 estacionário com intercepto Estatística t associada a γ tem distribuição não normal sob α γ 0 0 Valores críticos tabulados Dickey e Fuller 1981 Também é possível testar a nula de que α γ 0 0 usando um teste F Nesse caso a estatística também tem valores críticos não convencionais tabulados Dickey e Fuller 1981 8 26 Teste de raiz unitária modelo com intercepto e tendência linear Podemos considerar também Yt α β t γYt1 ϵt 4 Nesse modelo se γ 0 processo é um passeio aleatório com tendência quadrática se γ 0 é um AR1 com tendência linear Estatística t associada a γ tem distribuição não normal sob β γ 0 0 Valores críticos tabulados Dickey e Fuller 1981 Também é possível testar a nula de que β γ 0 0 usando um teste F Nesse caso a estatística também tem valores críticos não convencionais tabulados Dickey e Fuller 1981 9 26 Teste de raiz unitária valores críticos da estatística ˆt 10 26 Teste de raiz unitária valores críticos da estatística F 11 26 TESTE DICKEYFULLER AUMENTADO A construção das estatísticas de teste nos modelos anteriores supõe que os erros ϵt comportemse como ruídos brancos Em particular os erros não podem ser autocorrelacionados Said e Dickey 1984 sugerem aumentar os modelos 24 incluindo defasagens ΔYt γYt1 j1k κj ΔYtj ut ΔYt α γYt1 j1k κj ΔYtj ut ΔYt α βt γYt1 j1k κj ΔYtj ut 5 de modo que ut comportese aproximadamente como ruído branco Ideia é que se número de defasagens k varia como função lenta do tamanho amostral T é possível capturar a correlação serial e ainda assim construir testes válidos com T grande SELECIONANDO DEFASAGENS Nos modelos ΔYt γYt1 j1k κj ΔYtj ut ΔYt α γYt1 j1k κj ΔYtj ut ΔYt α βt γYt1 j1k κj ΔYtj ut 5 Teste de raiz unitária continua sendo de H0 γ 0 contra H1 γ 0 Distribuição assintótica das estatísticas de teste sob as nulas correspondentes continua sendo a mesma Ng e Perron 2001 propõem método MAIC para selecionar k Ideia é encontrar k tal que uma aproximação do erro quadrático médio de se prever ΔYt com base no modelo correspondente sob a nula de raiz unitária seja minimizada Alternativa de Phillips e Perron 1988 Phillips e Perron 1988 propõem uma alternativa ao teste ADF Em vez de aumentar 24 com defasagens autores sugerem considerar os modelos 24 mas ajustar o erro padrão para tornálo robusto a heterocedasticidade e correlação serial mais adiante Sob a nula γ 0 distribuição assintótica dessa ˆt coincide com a do teste ADF no modelo correspondente Ao teste baseado nessa estatística damos o nome de PhillipsPerron PP Esse teste tende a funcionar bastante mal alta rejeição da nula mesmo quando é verdadeira quando a parte MA do processo exibe raiz negativa Por esse motivo padrão na literatura se consolidou no teste ADFMAIC para seleção de k embora PP possa ser usado como complemento 14 26 Procedimento sequencial para testar a presença de uma tendência estocástica Da equação 5 vimos três modelos diferentes em que podemos testar a presença de uma raiz unitária A literatura sugere uma variedade de procedimentos sequenciais para testarmos se a série é I1 começando do modelo mais geral ao mais simples Nos próximos slides apresentamos uma versão desses procedimentos baseada numa simplificação do procedimento descrito no Apêndice à Seção 44 de Enders 2014 15 26 PROCEDIMENTO SEQUENCIAL I 1 Comece estimando o modelo mais geral ΔYt α βt γ Yt1 j1k κj ΔYtj ut Teste H0 γ 0 contra alternativa de que H1 γ 0 usando a estatística t e os valores críticos não normais para esse caso slide 10 caso 4 1 Se rejeitamos a hipótese nula concluímos que a série não apresenta raiz unitária 2 Se não rejeitamos a hipótese nula fazemos o teste F da nula β γ 0 0 usando os valores críticos do slide 11 Caso 4 21 Se não rejeitamos a hipótese nula do teste F concluímos que o modelo não apresenta tendência linear Nesse caso vamos à etapa 2 próximo slide 22 Se rejeitamos a hipótese nula do teste F há evidências de tendência linear Nesse caso o teste t da nula H0 γ 0 contra a alternativa H1 γ 0 pode ser feito usando a tabela da normal Repita o teste com essa tabela Se rejeitamos a nula concluímos que a série não apresenta raiz unitária Se não rejeitamos a nula concluímos que a série apresenta raiz unitária PROCEDIMENTO SEQUENCIAL II 2 Se chegamos a essa etapa não temos evidências de que haja uma tendência linear no modelo Nesse caso estimamos ΔYt α γYt1 j1k κj ΔYtj ut Teste H0 γ 0 contra alternativa de que H1 γ 0 usando a estatística ât e valores críticos não normais para esse caso slide 10 caso 2 21 Se rejeitamos a hipótese nula concluímos que a série não apresenta raiz unitária 22 Se não rejeitamos a hipótese nula fazemos o teste F da nula αγ 00 usando os valores críticos do slide 11 Caso 2 221 Se não rejeitamos a hipótese nula do teste F concluímos que o modelo não apresenta intercepto Nesse caso vamos à etapa 3 próximo slide 222 Se rejeitamos a hipótese nula do teste F há evidências de intercepto no modelo Nesse caso o teste ât da nula H0 γ 0 contra a alternativa H1 γ 0 pode ser feito usando a tabela da normal Repita o teste com essa tabela Se rejeitamos a nula concluímos que a série não apresenta raiz unitária Se não rejeitamos a nula concluímos que a série apresenta raiz unitária PROCEDIMENTO SEQUENCIAL III 3 Se chegamos a essa etapa não temos evidências de que haja uma tendência linear no modelo nem um intercepto Nesse caso estimamos ΔYt γYt1 j1k κj ΔYtj ut Teste a nula de H0 γ 0 contra a alternativa de que H1 γ 0 usando a estatística ât e os valores críticos não normais para esse caso slide 10 caso 1 Se rejeitamos a hipótese nula concluímos que a série não apresenta raiz unitária Se não rejeitamos a nula concluímos que a série apresenta raiz unitária Elliott Rothenberg e Stock 1996 Elliott Rothenberg e Stock 1996 estudam o poder dos testes de raiz unitária discutidos anteriormente Os autores verificam que o poder do teste ADF nos modelos 3 e 4 pode ser baixo Isso se deve ao comportamento da estatística de teste cuja distribuição assintótica acaba dependendo da presença ou não dos componentes determinísticos no processo gerador Proposta de ERS remover os componentes determinísticos numa etapa preliminar estimando o modelo 3 ou 4 impondo que γ cT para uma constante c 0 e rodar o teste ADF nos dados detrended Procedimento aumenta poder dos testes Dificuldade é que não há ferramentas no caso para detectar qual modelo usar Podemos acoplar esse teste ao procedimento sequencial se paramos na primeira ou segunda etapa 19 26 Testando a presença de componentes determinísticos A conclusão do procedimento sequencial anterior é uma afirmação a série apresenta raiz unitária ou não Se a série apresenta raiz unitária vamos trabalhar como a série Zt Yt Se a série não apresenta raiz unitária trabalhamos com Zt Yt Podemos testar a presença de tendências determinísticas rodando Zt a b t ξt 6 e testando a nula de que b 0 contra a alternativa de que b 0 fazendo um teste t com valores críticos normais Se não rejeitamos a nula trabalhamos com Zt Se rejeitamos a nula o ideal é trabalhar com os resíduos do modelo ˆξt 20 26 Erros padrão HAC Se rodamos o modelo 6 no R e usamos a função summary para fazer inferência os erros padrão apresentados supõem homocedasticidade e não autocorrelação de ξt Nesse caso seria interessante computar erros padrão robustos a violações de ambas as hipóteses A esse tipo de erro padrão damos o nome de HAC heteroskedasticity and autocorrelation consistent Sua introdução na Economia se deve a Newey e West 1987 Podemos usar esses erros padrão robustos via função vcovHAC do pacote sandwich 21 26 Testando ordens de integração maiores O procedimento sequencial discutido anteriormente considera somente duas possibilidades ou há uma raiz unitária ou nenhuma De fato estes são os casos predominantes nas séries econômicas Não obstante há séries de interesse que são I2 Por exemplo dados referentes à incidência de Covid Chernozhukov Kasahara e Schrimpf 2021 Dickey e Pantula 1987 proveem um procedimento sequencial para determinar se uma série é I2 I1 ou I0 22 26 PROCEDIMENTO DE DICKEY E PANTULA 1987 Considere o modelo Δ2 yt γ11 Δyt1 j1k β1j Δ2 ytj ut Nesse ambiente Dickey e Pantula 1987 sugerem testar H0 γ11 0 contra H1 γ11 0 usando estatística t e valores críticos de DickeyFuller Se não rejeitamos a nula concluímos que a série apresenta DUAS raízes unitárias Se rejeitarmos a nula na etapa anterior considerar o modelo Δ2 yt γ21 Δyt1 γ22 yt1 j1k β2j Δ2 ytj ut e testar γ22 0 contra γ22 0 usando os valores críticos de DickeyFuller Se não rejeitamos a nula concluímos que série apresenta UMA raiz unitária Se rejeitamos a nula série NÃO APRESENTA raiz unitária Procedimento pode incluir componentes determinísticos Nesse caso usar a distribuição do teste ADF do caso correspondente Possível acoplar o procedimento sequencial em cada etapa da metodologia para determinar o componente determinístico apropriado Referências I Chernozhukov Victor Hiroyuki Kasahara e Paul Schrimpf 2021 Causal impact of masks policies behavior on early covid19 pandemic in the US Em Journal of Econometrics 2201 Pandemic Econometrics pp 2362 issn 03044076 doi httpsdoiorg101016jjeconom202009003 url httpswwwsciencedirectcomsciencearticlepii S0304407620303468 Dickey David A e Wayne A Fuller 1979 Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series With a Unit Root Em Journal of the American Statistical Association 74366 pp 427431 issn 01621459 url httpwwwjstororgstable2286348 1981 Likelihood Ratio Statistics for Autoregressive Time Series with a Unit Root Em Econometrica 494 pp 10571072 issn 00129682 14680262 url httpwwwjstororgstable1912517 24 26 Referências II Dickey David A e Sastry G Pantula 1987 Determining the Order of Differencing in Autoregressive Processes Em Journal of Business Economic Statistics 54 pp 455461 issn 07350015 url httpwwwjstororgstable1391997 acesso em 17032024 Elliott Graham Thomas J Rothenberg e James H Stock 1996 Efficient Tests for an Autoregressive Unit Root Em Econometrica 644 pp 813836 issn 00129682 14680262 url httpwwwjstororgstable2171846 acesso em 13032024 Enders Walter out de 2014 Applied Econometric Time Series 4ª ed Wiley Series in Probability and Statistics Nashville TN John Wiley Sons Newey Whitney K e Kenneth D West 1987 A Simple Positive SemiDefinite Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix Em Econometrica 553 pp 703708 issn 00129682 14680262 url httpwwwjstororgstable1913610 acesso em 13032024 25 26 Referências III Ng Serena e Pierre Perron 2001 LAG Length Selection and the Construction of Unit Root Tests with Good Size and Power Em Econometrica 696 pp 15191554 doi httpsdoiorg1011111468026200256 eprint httpsonlinelibrarywileycomdoipdf1011111468 026200256 url httpsonlinelibrarywileycomdoiabs1011111468 026200256 Phillips Peter C B e Pierre Perron 1988 Testing for a Unit Root in Time Series Regression Em Biometrika 752 pp 335346 issn 00063444 url httpwwwjstororgstable2336182 acesso em 13032024 Said Said E e David A Dickey 1984 Testing for Unit Roots in AutoregressiveMoving Average Models of Unknown Order Em Biometrika 713 pp 599607 issn 00063444 url httpwwwjstororgstable2336570 26 26 Derivação da distribuição assintótica de γ sob a nula γ0 Considere o estimador de MQO γ de 2 Note que γρ1 onde ρ é estimador de MQO de ρ em 1 Das propriedades de MQO sabemos que γγt2Tyt1 ϵt t2Tyt12 Defina a função com domínio 01 XT rj1kϵj T se k rT k1 j1Tϵj T se r1 Função em escada Sob a nula γ0 j1kϵj T yk T Gráfico de r XT r sob a nula Teorema de Donsker Teorema de Donsker Se os ϵj j são iid com Eϵj 0 e σ2 então quando T T XT σ B onde B é um movimento Browniano ou processo de Wiener em 01 Teorema diz que a função aleatória T XT converge fracamente para um Browniano Convergência fraca distribuição de T XT converge para distribuição do Browniano Possível relaxar hipótese iid para ruído branco fracamente dependente Phillips e Perron 1988 Processo de Wiener é um processo estocástico ou função aleatória t Bt cujas trajetórias são sempre contínuas B00 e onde os incrementos Bt Bt tem distribuição normal com média zero e variância t t Processo de Wiener cinco realizações 4 5 Derivação da distribuição assintótica sob a nula Note que sob a nula yt12 2 yt1 epsilont epsilont2 yt1 epsilont2 yt2 Escrevendo em termos de XTr ficamos com hatgamma gamma fracsumt2T yt1 epsilontsumt2T yt12 frac12 fracT2 XT12 y12 sumt2T epsilont2T3 int01 XT2u du Pela LGN plimT o infty frac1T1 sumt2T epsilont2 sigma2 Segue por preservação de convergência fraca em funções contínuas que Thatgamma gamma Rightarrow fracB21 12 int01 B2u du