Equacao Exponencial e Funcao Exponencial - Definições e Exercícios

Departamento de matematica CM300 Introducao ao Calculo Profa Adriana Prado Equacao Exponencial Definicao Uma equacao exponencial e da forma bx a onde b e a base x e o expoente incognita e a e a potˆencia sendo b 1 b 0 e a 0 Assim uma sentenca matematica que envolve a igualdade entre dois termos onde a incognita aparece em pelo menos um expoente e denominada equacao exponencial Em uma equacao expo nencial determinamos quantos fatores sao multiplicados ou seja quantas vezes a base se multiplica a fim de obtermos um determinado resultado Exemplos 2x 4 3x 27 4x 16 2x 10 As equacoes exponenciais podem ser escritas de varias formas e para resolvˆelas utilizaremos que potˆencias iguais de bases iguais obrigatoriamente tambem possuem os mesmos expoentes Assim uma estrategia para resolver equacoes exponenciais e igualar as bases das potˆencias Uma vez que as bases estejam iguais podemos eliminalas e comparar os expoentes Utilizamos ferramentas matematicas como a fatoracao e as propriedades da potenciacao Dos exemplos acima temos 2x 4 2x 22 x 2 e podemos fazer tambem para a segunda e a terceira A ultima requer outra abordagem Exercıcio 1 Resolva as equacoes exponenciais dadas a 4x 16 4x 42 x 2 b 3x 27 3x 33 x 3 c 2x 16 2x 24 x 4 d 8x 4 23x 22 23x 22 3x 2 x 2 3 Funcao Exponencial Definicao Seja um real a R tal que a 0 e a 1 A funcao f A R B R definida por fx ax e chamada por funcao exponencial de base a De um modo geral a funcao exponencial tem as seguintes caracterısticas A funcao exponencial e uma funcao contınua O grafico da funcao exponencial de base a e uma curva situada totalmente acima do eixo das abcissas A reta y0 eixo x é a assíntota horizontal do gráfico A curva intercepta o eixo y no ponto 01 A função fxax é crescente se a1 e decrescente se 0a1 A função exponencial é uma função que apresenta um crescimento ou decrescimento acelerado Essa função aparece em inúmeras situações nos cálculos das quatro ciências exatas além de ser muito estudada no segundo grau nas disciplinas de Física Química Matemática e Biologia Ela também aparece em outras áreas como Economia Engenharia Astronomia Geografia Medicina etc Exercício 2 Uma cultura de bactérias cresce segundo a lei Nt α10kt onde Nt é o número de bactérias em t horas t0 e α e k são constantes estritamente positivas Se após 2 horas o número inicial de bactérias N0 é duplicado após 6 horas o número de bactérias será a 4α b 2α2 c 6α d 8α e 8α2 Resolução Para N0 α e após 2 horas temos N2 2N0 2α como pela lei N2 α102k 2α Assim 102k 2 2k log102 k 12 log102 log10 212 esta é a forma certa de fazer Para N6 α106k α106log10212 então N6 α10log10 262 α10log10 23 23 8 resposta letra d Exercício 3 Um computador desvalorizase exponencialmente em função do tempo de modo que seu valor y daqui a x anos será y Akx em que A e k são constantes positivas Se hoje o computador vale R500000 e valerá metade desse valor daqui a 2 anos seu valor daqui a 6 anos será a R62500 b R55000 c R57500 d R60000 e R65000 Resolução No início f0 Ak0 5000 A 5000 e como daqui a 2 anos será metade escrevemos N2 5000k2 2500 Portanto encontramos k2 25005000 k2 12 O valor de k 12 Para o valor daqui a 6 anos será f6 5000126 5000123 62500 letra a Exercício 4 Seja fx 22x1 Se a e b são tais que fa 4fb podese afirmar que a ab2 b ab1 c ab3 d ab2 e ab1 Exercício 4 para entregar na quinta 27 valendo 10 pontos Funcao Exponencial de base natural Uma base amplamente usada para a funcao exponencial denominada base natural e o numero irracional e 2 7183 conhecido como numero de Euler Funcoes logaritmicas Definicao Seja a R tal que a 0 e a 1 Chamamos funcao logaritmica de base a a funcao f A R B R definida por y fx loga x De um modo geral a funcao logaritmica tem as seguintes caracterısticas y loga x ay x O significado dessa espressao e que a funcao logaritmica e a funcao exponencial sao inversa uma da outra fx loga x f1 loga1 0 Isso significa que o par ordenadao 1 0 pertence a toda funcao logaritmica A reta y 0 eixo x e a assıntota horizontal do grafico Como a 0 e a 1 temos duas possibilidades a 1 ou 0 a 1 Para a 1 e se x1 x2 loga x1 loga x2 fx1 fx2 Daı f e crescente Para 0 a 1 e se x1 x2 loga x1 loga x2 fx1 fx2 Daı f e decrescente Funcao inversa Definicao Uma funcao f A R B R e chamada de funcao injetora se e somente se para todo x1 x2 A com x1 x2 fx1 fx2 O domınio e A a b c d B 1 2 3 4 5 6 observe que cada elemento de A tem um unico elemento em B Funcao sobrejetora Definicao Uma funcao f A R B R e chamada de funcao sobrejetora se e somente se para todo y B existe x A tal que fx y O domınio e A a b c d e f B 1 2 3 4 5 6 observe que todo elemento de B tem um elemento em A que chega nele Funcao bijetora Definicao Uma funcao f A R B R e chamada de funcao bijetora se e somente se ela for injetora e esobrejetor ao mesmo tempo Literalmente a funcao pode ir e voltar como nas flechas Exercıcio 5 Verifique se as funcoes abaixo sao injetoras se nao for justifique a fx 3x 1 b gx 1 2x c fx x2 Exercıcio 6 Verifique se as funcoes abaixo sao sobrejetoras se nao for justifique a fx 2x 4 b gx 1 3x c fx x2 Exercıcio 7 Seja f A R B R encontre os conjuntos A e B para que a funcao fx x2 seja bijetora Exercıcio 7 para entregar na quinta 27 valendo 20 pontos Funcoes Trigonometricas Se liga no resuno da profa ProfessorraRafaelaFabro e tudo que precisa saber Guarde para usar quando precisar