Exame de Seleção Mestrado PPGMNE 20241 - Cálculo: Questões e Resoluções

Exame de Seleção Mestrado PPGMNE 20241 Cálculo 08022024 Valor máximo100 pontos Nome Ass Em caso de dúvida sobre a questão anote sua pergunta na prova que será considerado na correção Em caso de achar que está faltando dados ou que existem dados errados anote isto na resolução arbitre um valor que achar conveniente diferente de zero e continue a resolução isto será considerado na correção Questões 1 10 pontos cada item Faça o que se pede a Elimine o módulo e esboce o gráfico da função fx 2x 3 1 para x 1 4 b Verifique se existe o x x x 2 1 3 2 lim 1 2 c A função em b é contínua em x 12 Justifique 2 10 pontos cada item Seja a função por partes a seguinte 1 1 1 3 2 1 2 3 x se x se x se x x f x a Verifique se existe o lim 1 x f x b A função é contínua em x 1 Justifique c Esboce o gráfico para x3 2 3 10 pontos Verifique quantos raízes a função 1 3 2 3 x x f x possui utilizando derivada e dê um intervalo de amplitude 1 que contém as raizesexistindo mais de uma raiz dê um intervalo de amplitude 1 para cada raiz 4 10 pontos Calcule e esboce a área do conjunto A onde A é o conjunto de todos os pontos x y limitado por x 1 x 2 e 1 𝑥2 𝑦 5 4𝑥2 5 10 pontos Esboce o gráfico da função fx 𝑥2 𝑥22 para isso calcule todos os limites necessários os intervalos de crescimento e de decrescimento a concavidade e os pontos críticos determinando se existem ou não pontos de máximo pontos de mínimo e pontos de inflexão 6 10 pontos O raio r e a altura h de um cilindro circular reto estão variando de modo a manter constante o volume V Num determinado instante h 3 cm e r 1 cm e neste instante a altura está variando a uma taxa de 02cms A que taxa estará variando o raio neste instante Exame de Seleção Mestrado PPGMNE 20241 Álgebra Linear 08022024 Valor máximo100 pontos Nome Ass Em caso de dúvida sobre a questão anote sua pergunta na prova que será considerado na correção Em caso de achar que está faltando dados ou que existem dados errados anote isto na resolução arbitre um valor que achar conveniente diferente de zero e continue a resolução isto será considerado na correção Questões Texto base para a questão 1 A figura a seguir apresenta quatro esquinas no mapa de uma cidade as setas em verde os sentidos de cada rua e os valores em azul o fluxo de veículos Além disso todos os veículos que chegam num determinado cruzamento seguem seu destino por algum dos caminhos possíveis sempre respeitando os sentidos das vias 1 Considerando w x y e z como variáveis do problema a 5 pontos Defina e justifique o tipo de solução do sistema linear Impossível Possível e Determinado Possível e indeterminado b 5 pontos Se o valor de z for igual a 100 temse que o valor de w é igual a c 10 pontos Se o a soma dos valores de z com y for igual a 450 temse que o módulo da diferença entre x e z é 2 Seja 𝛼 ℝ e o seguinte sistema linear 𝑥 2𝑦 𝑧 3 𝑥 𝑦 𝑧 2 𝑥 𝑦 𝛼2 5𝑧 𝛼 200 150 250 z 200 250 y x 100 150 w 300 Discuta e resolva se possível o sistema linear com as seguintes condições 𝑎 𝟔 𝒑𝒐𝒏𝒕𝒐𝒔 𝛼 1 b 7 pontos 𝛼 2 c 7 pontos 𝛼 2 3 20 pontos Encontre a Matriz Inversa de 𝐴 𝑎 𝑐 0 0 𝑏 𝑑 0 0 0 0 𝑎 𝑐 0 0 𝑏 𝑑 2 Quais dos seguintes conjuntos de vetores em M22 são linearmente independentes Para aqueles que forem expresse um vetor como uma combinação linear dos outros a 10 pontos 1 1 1 2 1 0 0 2 0 3 1 2 2 6 4 6 b 10 pontos 1 1 1 2 1 0 0 2 0 3 1 2 3 Considere as seguintes bases de R2 S u1 2 0 1 u2 1 2 0 u3 1 1 1 e T v1 6 3 3 v2 4 1 3 v3 5 5 2 E também v 4 9 5 a 5 pontos Encontre os vetores de coordenadas de v em relação à base T b 5 pontos Qual é a matriz P de mudança da base de T para S d 5 pontos Encontre os vetores de coordenadas de v em relação à base S e 5 pontos Encontre os vetores de coordenadas de v em relação a T usando P Compare as respostas do item a QUESTÃO 1a A PARTIR DA FIGURA DADA OBTÉMSE AS SEGUINTES EQUAÇÕES 250 y 200 z z 150 200 x x 250 w 100 w 150 300 y SIMPLIFICANDO y z 50 x z 50 LOGO y x CONTINUANDO w x 150 w z 50 150 w z 100 E w 150 300 y z 100 150 300 y z 250 300 y z 250 300 z 50 z 250 z 250 TRIVIAL OBSERVASE QUE AS EQUAÇÕES SÃO DEPENDENTES ENTRE SI PODEM SER EXPRESSAS EM TERMOS UMA DAS OUTRAS ALÉM DISSO AS VARIÁVEIS PODEM SER ESCRITAS PARA QUALQUER VALOR DE z O QUE CARACTERIZA O SISTEMA COMO POSSÍVEL E INDETERMINADO QUESTÃO 1B USANDO A RELAÇÃO w z 100 COM w 100 TEMOS w 100 100 200 QUESTÃO 1C ENCONTRAMOS ANTERIORMENTE y z 50 DADO QUE z y 450 ENTÃO z z 50 450 2z 50 450 2z 500 z 250 ANTERIORMENTE TAMBÉM ENCONTRAMOS x z 50 x 250 50 200 LOGO x 31 200 250 50 50 QUESTÃO 2a PARA α 1 x 2y z 3 x y z 2 x y 4z 1 DA 2 e 3 EQUAÇÕES x y 2 z x y 4z 1 LOGO 2 3 4 3 1 3z 3 z 1 SOMANDO AS DUAS PRIMEIRAS EQUAÇÕES 2x 3y 5 1 SUBSTITUINDO z 1 NA 3 EQUAÇÃO x y 4 1 x y 3 MULTIPLICANDO A EQUAÇÃO ACIMA POR 2 2x 2y 6 2 SUBTRAINDO A EQUAÇÃO 1 PELA EQUAÇÃO 2 y 1 SUBSTITUINDO NA PRIMEIRA EQUAÇÃO x 21 1 3 x 2 1 3 x 4 ENTÃO O CONJUNTO SOLUÇÃO É ÚNICO x 4 y 1 z 1 QUESTÃO 2B SUBSTITUINDO α 2 x 2y z 3 x y z 2 x y z 2 JÁ OBSERVASE QUE TEMOS DUAS EQUAÇÕES IDÊNTICAS PODEMOS ESCREVER AS OUTRAS DUAS EQUAÇÕES EM TERMOS DE z x 3z 1 y 2z 1 ENTÃO O SISTEMA É POSSÍVEL E INDETERMINADO COM INFINITAS SOLUÇÕES QUESTÃO 2C SUBSTITUINDO α 2 x 2y z 3 x y z 2 x y z 2 ISOLANDO x DA 1 EQUAÇÃO E SUBSTITUINDO NAS OUTRAS DUAS x 3 2y z SUBSTITUINDO 3 2y z y z 2 3 2y z y z 2 SIMPLIFICANDO y 2z 3 2 y 2z 3 2 ISOLANDO y DA PRIMEIRA EQUAÇÃO y 2z 1 SUBSTITUINDO NA SEGUNDA EQUAÇÃO 2z 1 2z 3 2 2 2 FALSO PORTANTO O SISTEMA NÃO POSSUI SOLUÇÃO Questão 3 a A MATRIZ DADA É M a c 0 0 b d 0 0 0 0 a c 0 0 b d PODEMOS OBSERVAR QUE A MATRIZ É COMPOSTA POR 2 MATRIZES 2 X 2 AO LONGO DA DIAGONAL PRINCIPAL ISSO SIGNIFICA QUE PODEMOS CALCULAR A INVERSA DE CADA UMA DESSAS MATRIZES E COLOCÁLAS NA MESMA DISPOSIÇÃO SEJA A a c b d A1 1ad bc d c b a PARA ad bc 0 ENTÃO A MATRIZ INVERSA É M1 dadbc cadbc 0 0 badbc aadbc 0 0 0 0 dadbc cadbc 0 0 badbc aadbc Questão 2a ESCREVENDO A BASE COMO UMA MATRIZ 4X4 A 1 1 0 2 1 0 3 6 1 0 1 4 2 2 2 6 VAMOS ESCALONAR ESSA MATRIZ SUBTRAINDO AS LINHAS L2 L3 PELA LINHA 1 E SUBTRAINDO L4 POR 2L1 1 1 0 2 0 1 3 4 0 1 1 2 0 0 2 2 AGORA FAZENDO L2 L2 L4 L2 L1 L3 L2 L3 1 0 3 6 0 1 3 4 0 0 2 2 0 0 2 2 SOMANDO L3 COM L4 1 0 3 6 0 1 3 4 0 0 2 2 0 0 0 0 COMO A ÚLTIMA LINHA É NULA PORTANTO A BASE DADA NÃO É LINEARMETE INDEPENDENTE Questão 2B COMO OS 3 VETORES DA BASE DADA SÃO IDÊNTICAS À BASE DO ITEM A E COMO SE VERIFICOU QUE UMA LINHA É NULA NAQUELA OCASIÃO LOGO A BASE DADA É LINEARMENTE INDEPENDENTE JÁ QUE AS OUTRAS LINHAS NÃO SE ANULARAM NO ESCALONAMENTO ASSIM PODEMOS EXPRESSAR OUTRO VETOR COMO COMBINAÇÃO LINEAR DOS OUTROS 3 1 1 1 2 1 0 0 2 0 3 1 2 2 4 2 6 QUE É JUSTAMENTE O 4º VETOR DO ITEM A Questão 3a PARA ISSO TEMOS QUE RESOLVER O SISTEMA 4 9 5 x 6 3 8 y 4 1 3 z 5 5 2 OU 6x 4x 5z 4 1 3x y 5z 9 2 3x 3y 2z 5 3 SUBTRAINDO 2 DE 3 4y 3z 14 4 SUBTRAINDO 1 DE 2 3x 5y 13 5 3x 13 5y 6 SUBSTITUINDO EM 3 13 5y 3y 2z 5 13 2y 2z 5 2y 2z 8 7 MULTIPLICANDO 7 POR 2 E SOMANDO COM 4 3 2 3 2 SUBSTITUINDO EM 4 4y 32 14 4y 6 14 4y 8 y 2 SUBSTITUINDO EM 6 3x 13 5 2 3x 13 10 3x 3 x 1 ENTÃO O VETOR V 4 9 5 QUANDO ESCRITA NA BASE T É VT 1 2 2 Questão 3b Precisamos encontrar as soluções para 6 3 3 c11 201 c12 120 c13 111 413 c21 201 c22 120 c23 111 552 c31 201 c32 120 c33 111 Para o primeiro sistema 2c11 c12 c13 6 2c12 c13 3 c11 c13 3 Aqui c11 2 c12 2 c13 1 Segundo sistema 2c21 c22 c23 4 2c12 c13 1 c21 c23 3 Aqui c21 1 c22 1 c23 2 Terceiro sistema 2c31 c32 c33 5 2c32 c33 5 c31 c33 2 Aqui c31 1 c32 1 c33 1 Então a matriz P procurada é P 2 2 1 1 1 2 1 1 1 Questão 3c Precisamos resolver 4 9 5 x2 0 1 y1 2 0 z1 1 1 ou 2x y z 4 2y z 9 x z 5 Aqui x 4 y 5 z 1 Então o vetor na base S é vs 4 5 1 Então vT p1 vs 32 12 52 12 12 32 1 0 2 4 5 1 1 2 2 QUESTÃO 1A QUANDO 2x30 temos fx 2x31 2x2 QUANDO 2x30 temos fx 2x3 1 2x4 PARA ENCONTRAR O PONTO ONDE O MÓDULO MUDA DE SINAL 2x30 x32 ASSIM PARA x32 fx 2x4 PARA x32 fx 2x2 QUESTÃO 1B NO NUMERADOR SUBSTITUÍMOS x12 2 12 3 1 3 2 NO DENOMINADOR 1 2 12 1 1 0 PRECISAMOS OLHAR O LADO ESQUERDO E DIREITO lim x12 2ε DIVERGE PARA lim x12 2ε DIVERGE PARA ENTÃO TEMOS LIMITES DIFERENTES E CONCLUÍMOS QUE O LIMITE DADO DIVERGE QUESTÃO 1C SE DIVERGE O LIMITE A FUNÇÃO 2x312x NÃO É CONTÍNUA QUESTÃO 2a ANALISANDO O LIMITE PELA ESQUERDA lim x1 2x1 211 3 ANALISANDO O LIMITE PELA DIREITA lim x1 x³2 1³ 2 1 2 3 ENTÃO AMBOS OS LIMITES SÃO IGUAIS PORTANTO lim x1 fx 3 QUESTÃO 2b O VALOR DA FUNÇÃO EM x1 É 3 E O LIMITE EM x1 É 3 ENTÃO COMO TEMOS VALORES DIFERENTES A FUNÇÃO NÃO É CONTÍNUA QUESTÃO 2c QUESTÃO 3 DERIAMO fx EM RELAÇÃO A X fx 3x²6x IGUALANDO A ZERO 3x²6x0 x3x60 x0 3x60 x2 SUBSTITUINDO NA FUNÇÃO ESSES PONTOS CRÍTICOS f00³30²11 f22³32²13 AGORA CHUTANDO ALGUNS VALORES PRÓXIMOS f½ ½³3½² 1 18 f1 1³ 31² 1 1 f52 52³ 352² 1 178 A função muda de sinal entre x ½ e x e tem uma raiz nesse intervalo TAMBÉM O MESMO PARA O INTERVALO 01 ENTÃO COM SEGURANÇA PODEMOS DIZER QUE HÁ 2 RAÍZES SENDO UMA DELAS NO INTERVALO 10 E OUTRA EM 01 QUESTÃO 4 ESBOÇANDO A ÁREA ENTÃO A ÁREA É A 1 to 21x2 54x2 dx 1 to 21x2 5 4x2 dx 1x 1to2 5x 1to2 4 x33 1to2 12 11 5 2 1 4 83 13 296 QUESTÃO 5 ASSINTOTAS VERTICAIS x2 2 0 x2 2 x 2 PRIMEIRA DERIVADA ddx x2x22 ddxx2x22 ddxx22 x2x222 2xx22 2xx2x222 4xx222 IGUALANDO A ZERO 4xx222 0 x0 PONTO CRÍTICO SEGUNDA DERIVADA ddx4xx222 4 ddxxx22 ddxx222 xx2222 43x22x223 IGUALANDO A ZERO 43x22x2230 x indefinido em R ENTÃO 2 2 QUESTÃO 6 O VOLUME DO CILINDRO É Vπr2h O VOLUME É CONSTANTE ENTÃO dVdt0 ddtπr2tht π2r drdt h r2 dhdt 0 Como h3 cm r1 cm e dhdt02 cms NO INSTANTE CONSIDERADO PODEMOS SUBSTITUIR PARA ENCONTRAR drdt π21 drdt 3 12020 6 drdt 02 drdt 026 00333 cms