Exercício Avaliativo

UniCathedral Centro Universitário LISTA DE EXERCÍCIOS Matriz 20241 QUESTÃO 03 Sejam os vetores reais e não nulos u e v definidos sobre um espaço vetorial V Para que esses dois vetores sejam ortogonais é necessário que o produto De acordo com o texto acima julgue as assertivas abaixo atribuindo F se FALSA ou V se VERDADEIRA escalar desses vetores seja nulo vetorial desses vetores seja nulo escalar desses vetores seja igual a 1 vetorial desses vetores seja anticomutativo Justifique a resposta correta QUESTÃO 04 Grandeza vetorial é aquela que não fica perfeitamente determinada só pelo significado físico e por um valor numérico porque possui além desses dois elementos uma direção e um sentido É o caso de uma velocidade por exemplo Fisicamente a velocidade significa um quociente de espaço por tempo Portanto uma grandeza vetorial caracterizase por quatro elementos significado físico valor numérico módulo direção e sentido É o que acontece por exemplo com velocidade força aceleração etc Notamos que o significado físico é aquilo que a grandeza representa dentro da Física enquanto que o valor numérico a direção e o sentido são as características matemáticas da grandeza e não características físicas Ao conjunto dessas três características puramente matemáticas da grandeza vetorial chamamos vetor Portanto chamase vetor o conjunto do valor numérico direção e sentido É um ente puramente matemático sem qualquer significado físico Chamase módulo de um vetor o seu valor numérico É preciso distinguir o vetor da grandeza vetorial Esta possui um significado físico O vetor não possui Assim duas grandezas vetoriais diferentes podem ter o mesmo valor numérico a mesma direção e o mesmo sentido Por exemplo uma força pode ter módulo 2 direção AB e sentido de A para B Uma velocidade que é uma grandeza diferente de uma força pode ter o mesmo módulo 2 a mesma direção AB e o mesmo sentido de a A para B Logo o vetor correspondente a essas duas grandezas vetoriais é o mesmo embora elas sejam grandezas de espécies diferentes isto é essas duas grandezas são diferentes sob o ponto de vista físico porque uma é força e outra é velocidade mas têm as mesmas características matemáticas USP Grandezas Vetoriais e Grandezas Escalares Disponível em httpwwwcepaifuspbrfefisicaelectricidadebasicocap00intrcap00intr04htm Acesso dia 16 mai 2024 Nas ciências exatas é comum estudarmos os vetores a partir do módulo direção e sentido independentemente do significado físico Assim podese definir um vetor como um segmento de reta orientado que estabelece um sentido de percurso e o comprimento igual ao módulo do vetor Considere os vetores AB BC e AC explicitados na figura a seguir UniCathedral Centro Universitário LISTA DE EXERCÍCIOS Matriz 20241 QUESTÃO 06 Vetores são úteis em muitos aspectos da física e da engenharia como por exemplo para descrever a velocidade e a aceleração de objetos movendose no espaço Um outro exemplo de aplicação de vetores é para a representação de forças Uma força é representada por um vetor porque tem módulo medido em libras ou newtons direção e sentido Se várias forças estão agindo em um objeto a força resultante experimentada pelo objeto é o vetor soma dessas forças Neste contexto um versor ou vetor unitário é um vetor cujo módulo é 1 Em geral se v 0 então o vetor unitário u que tem mesma direção e mesmo sentido de v chamado versor de v é dado por vetor u 1v vetor v Onde v é o módulo do vetor Adaptado de STEWART J Cálculo volume II 7a ed São Paulo Cengage Learning 2013 O texto apresentado define o versor uma ferramenta da geometria analítica utilizada para solucionar diferentes problemas práticos da engenharia Diante disso avalie o caso a seguir Considerando os pontos A3 2 5 B7 3 5 e sabendo que vetor u AB Calcule o versor de vetor u QUESTÃO 07 Dado o cubo de aresta a representado na figura abaixo Os valores das operações entre os vetores a seguir será a vetor OA vetor OC b vetor OB UniCathedral Centro Universitário LISTA DE EXERCÍCIOS Matriz 20241 QUESTÃO 01 Em matemática na teoria da álgebra linear uma base ortogonal para um espaço vetorial com produto interno V é uma base para V cujos vetores são mutuamente ortogonais Se os vetores de uma base ortogonal forem normalizados a base resultante é uma base ortonormal Disponível em httpsptwikipediaorgwikiBaseortogonsa Acesso dia 16 mai 2024 Sabese que os vetores abaixo são base ortogonal de um triângulo AB 123 e AC 211 PORQUE sua área é raiz quadrada de 21 Mostre que as afirmações são verdadeiras ou falsas QUESTÃO 02 Sejam A B R³ dois pontos dados por A 421 e B352 e vetor v220 o produto escalar dado por vetor vAB será UniCathedral Centro Universitário LISTA DE EXERCÍCIOS Matriz 20241 Observe que os vetores ÁB BC e AC são definidos respectivamente por u v e w Com base nessas informações e considerando a definição de vetor analise as assertivas abaixo I As coordenadas dos vetores e v são dadas respectivamente por B A 2 2 e C B 4 1 II O vetor w é o vetor soma w u v cujo comprimento é o módulo u v 35 III Os vetores u v e w possuem mesma direção e sentido mas módulos diferentes Justifique cada resposta dos itens acima apresentando os cálculos QUESTÃO 05 Na Física estudamse várias formas de energia mecânica cinética potencial gravitacional calor elétrica etc Uma grandeza escalar importante por estar relacionada ao consumo de energia é o trabalho O trabalho W medido em joules J pode ser calculado através do produto escalar entre a força e o deslocamento do objeto no qual é aplicada a força Considere a força F 412 em newtons aplicada a um objeto O trabalho realizado por esta força para o deslocamento d 121 em metros é UniCathedral Centro Universitário LISTA DE EXERCÍCIOS Matriz 20241 QUESTÃO 08 O triângulo retângulo é um polígono que possui três lados e três ângulos e um desses ângulos é reto ou seja possui 90 Os outros dois ângulos são agudos ou seja menores que 90 O maior lado que fica sempre oposto ao ângulo de 90 é conhecido como hipotenusa e os outros dois são chamados de catetos Disponível em httpsbrasilescolauolcombrmatematicatrianguloretangulohtm Acesso dia 16 mai 2024 Utilizando os pontos Am 1 0 Bm 1 2m 2 e C1 3 1 determinar m de modo que o triângulo ABC seja retângulo em A após calcular a área deste triângulo QUESTÃO 09 Utilizando as propriedades de vetores calcule o ângulo  do triângulo ABC de vértices A 321 B 530 e C 434 QUESTÃO 10 Algumas crianças estão brincando de um jogo tradicional na região em que moram O jogo baseiase nas seguintes regras Um dos participantes que está com uma pequena bola atira a bola para o alto e grita o nome de um dos amigos Aquele que teve o nome falado deve pegar a bola o mais rapidamente possível e gritar alguma palavra de ordem por exemplo PRONTO A partir desse momento ninguém pode se mover Quem está com a bola deve tentar acertála em um dos demais Quem for carimbado pela bola é eliminado do jogo Se o atirador errar ele será o eliminado Dessa forma os participantes devem correr rapidamente e se afastar o máximo possível do atirador já que quanto mais longe estiver menor o risco de ser acertado UniCathedral Centro Universitário LISTA DE EXERCÍCIOS Matriz 20241 Assim João teve o nome gritado e correu para pegar a bola jogada para cima O seu deslocamento pode ser representado pelo vetor v 34 Antônio que estava junto de João correu segundo o vetor u 15 1 A unidade de medida é o metro Após esses deslocamentos determine a distância entre João e Antônio Questão 6 u AB B A 7 3 5 3 2 5 4 1 0 u 42 12 02 16 1 0 17 Logo versor de u é 117 4 1 0 417 117 0 Questão 7 a OA OC 0 pois OA e OC são ortogonais b OB é a diagonal de um quadrado de lado a Logo OB a2 a2 a2 Questão 9 AB 53 32 01 2 1 1 AC 43 32 41 1 1 3 AB AC 21 11 13 2 1 3 0 Logo AB e AC são ortogonais o ângulo  90 Questão 10 u v 153 1 4 12 5 122 52 144 25 169 13 Questão 8 Como é retângulo em A temos AB AC 0 m1m 2m1 20 1m 31 10 0 1 2m1 2 1m 2 1 0 11m 2m12 21 0 m 1 4m 2 2 0 5m 5 0 m 1 Logo AB 1 21 1 2 12 12 22 1 1 4 6 AC 1 1 2 1 02 22 12 5 Assim a área é 5 6 2 30 2