Trabalho de Geometria Analítica

NAS QUESTÕES 20 E 23 USAREMOS A SEGUINTE ESTRATÉGIA DETERMINAR OS VETORES DIRETORES vr E vs DAS RETAS r E s CALCULAR O PRODUTO VETORIAL vr x vs v SENDO v O VETOR NORMAL AO PLANO DESEJADO ENCONTRAR UM PONTO QUALQUER DE ALGUMA DAS RETAS p r ou p s E CALCULAR v X p 0 SENDO X x y z UM PONTO DO PLANO A EQUAÇÃO ACIMA VAI GERAR O PLANO DESEJADO v E pX SÃO ORTOGONAIS PORTANTO v pX v X p 0 20 y 2x 3 r z x 2 r x 2x 3 x 2 x ℝ x 2x x 0 3 2 PORTANTO vr É 1 2 1 POIS x vr x 1 2 1 x 2x x S x 13 3 15 5x 1 3z 1 5x 5 33 z 5x3 23 z y 1 y 1 y 1 S x 1 5x 23 x 1 0 53 0 1 23 x ℝ vr x vs i j k i j 10i3 j 5j30 2k 103 83 1 2 1 2 1 1 2 v Veja que p 0 3 2 r TOME x 0 NA EQUAÇÃO DE r ASSIM A EQUAÇÃO DO PLANO É v X p 0 103 83 2 x y z 0 3 2 0 103 83 2 x y 3 z 2 0 10x3 8y3 8 2z 4 0 10x 8y 6z 12 0 22 r x 3 τ y τ r 3 τ τ 4 τ τ 0 3 0 4 z 4 τ1 1 0 3 0 4 vr s x 22 4 12 x 22 1 y2 x 2 1 y y x 1 z 0 z 0 z 0 s x x 1 0 x 1 1 0 0 1 0 vs NESSE CASO vr vs E vr x vs 0 NÃO CONSEGUIMOS DO MESMO MODO VAMOS CONSTRUIR UM VETOR w DA SEGUINTE MANEIRA TOMAR UM PONTO pr DA RETA r E UM PONTO ps DA RETA S E FAZER COM QUE w SEJA O VETOR QUE LIGA ESSES PONTOS NA EQUAÇÃO DA RETA r TOME τ 0 E pr 3 0 4 ENQUANTO EM S TOME x 0 COM ps 0 1 0 LOGO w pr ps 3 1 4 FAZENDO v vr x w v i j k i j 4i k 4j 3k 4 4 2 Logo a equação do plano é v X ps 0 4 4 2 x y 1 z 0 4x 4y 4 2z 0 2x 2y 2 z 0 Para resolver o problema de encontrar a equação do plano que contém a reta dada e satisfaz as condições descritas seguimos os seguintes passos 1 Identificar a reta e seu vetor diretor A reta r é definida por begincases y 2x 3 z x 2 endcases Parametrizando com x t temos mathbfrt t 2t 3 t 2 O vetor diretor é mathbfd 1 2 1 2 Determinar um ponto na reta Para x 0 obtemos o ponto p 0 3 2 3 Calcular o vetor normal ao plano Dado VF 4 2 1 e VS 1 0 3 calculamos o produto vetorial mathbfn VF imes VS beginvmatrix mathbfi mathbfj mathbfk 4 2 1 1 0 3 endvmatrix 6 13 2 4 Escrever a equação do plano Usando o ponto p 0 3 2 e o vetor normal mathbfn 6 13 2 a equação do plano é 6x 0 13y 3 2z 2 0 implies 6x 13y 2z 35 0 Resposta Final A equação do plano é boxed6x 13y 2z 35 0