Exercícios de Álgebra Linear 2

1010 Seja u a b c R3 um vetor unitário com abc 0 Determine t de modo que pondo v bt at 0 e w act bct 1t os vetores u v w sejam unitários e dois a dois ortogonais Exercícios 101 Seja E um espaço vetorial com produto interno Para quaisquer vetores u v E prove que uv vu e uv vu são ortogonais 104 Considere a base V v1 v2 v3 R3 formada pelos vetores v1 1 1 1 v2 1 1 1 e v3 1 1 1 Determine a matriz de passagem p de V para a base ortonormal U u1 u2 u3 obtida de V pelo método de GramSchmidt Observe que os elementos da diagonal de p são números positivos e abaixo da diagonal todos são nulos Generalize 112 Use o exercício anterior a fim de achar uma inversa à direita para a transformação linear A R3 R2 dada por Ax y z x 2y 3z 2x y z e uma inversa à esquerda para a transformação linear B R2 R4 onde Ax y x 2y 2x y x 3y 4x y 101 uv vu uv vu u2 v v vu v u uv u v v2u u u2 v v v2 u u u2 v2 v2 u2 0 ortogonais 104 w1 v1 111 w2 v2 Pw1 v2 v2 v2 w1 w1 w1 w1 v2 13 v1 23 43 23 w3 v3 Pw1 v3 Pw2 v3 w3 v3 v3 w1 w1 w1 w1 v3 w2 w2 w2 w2 w3 v3 13 w1 43 w2 249 v3 13 v1 12 v2 13 v3 w3 v3 12 v1 12 v2 101 u1 w1 w1 v1 3 u2 w2 w2 v2 13 v1 263 64 v2 612 v1 u3 w3 w3 v3 23 v1 12 v2 2 22 v3 23 v1 24 v2 33 612 23 0 64 24 0 0 22 Wi vi Σ aj wj aj vj wj wj wj ui wi wi 1010 u v u w v w 0 u u v v w w 1 a2 ẍ b2 ẍ c t 0 a2 b2 c2 a2 b2 t2 a2 b2 c2 t2 1 t2 1 a2 b2 t2 1 t 1 a2 b2 1 1 c2 a2 b2 c2 t2 1 t2 c2 1 t2 c2 a2 b2 1 112 a 1 2 3 2 1 1 aT 1 2 2 1 3 1 a aT 14 3 3 6 a aT1 1 75 6 3 3 14 aT a aT1 1 75 12 31 9 8 15 5 Bx y 1 75 12x 31y 9x 8y 15x 5y B A 1 2 2 1 1 3 4 1 AT 1 2 1 4 2 1 3 1 AT A 22 7 7 15 AT A1 1 281 15 7 7 22 118 Se os operadores lineares A B E E comutam isto é AB BA prove que A e B também comutam 119 Seiam u1un E e v1vm F conjuntos de geradores AT A1 AT 1 281 1 37 6 53 37 36 59 6 Bx y z t x 27y 6x 53t 37x 36y 59z 6t 118 A B B A A B B A