Álgebra Linear

7 Determinar uma transformação linear T R³ R³ cuja imagem seja gerada pelos vetores 1 2 0 e 1 1 1 8 Determinar uma T P₃R P₂R cujo núcleo seja gerado pelos polinômios 1 x³ e 1 x²P₃R é o espaço dos polinômios de grau nó máximo 3 P₂Ré o espaço dos polinômios de grau nó máximo 2 QUESTÃO 7 Sejam v₁ 1 2 0 v₂ 1 1 1 Desejase construir uma transformação linear T R³ R³ tal que ImT spanv₁ v₂ Uma maneira direta de garantir isso é definir T a partir das imagens da base canônica e₁ e₂ e₃ onde e₁ 1 0 0 e₂ 0 1 0 e₃ 0 0 1 Escolhese Te₁ v₁ Te₂ v₂ Te₃ 0 Isso já força a imagem de T a ficar dentro do subespaço gerado por v₁ e v₂ e ao mesmo tempo garante que v₁ e v₂ realmente aparecem como saídas logo o gerador pedido está contido na imagem Como qualquer x x₁ x₂ x₃ R³ pode ser escrito como x x₁e₁ x₂e₂ x₃e₃ pela linearidade temse Tx Tx₁e₁ x₂e₂ x₃e₃ x₁Te₁ x₂Te₂ x₃Te₃ Substituindo as escolhas feitas Tx x₁v₁ x₂v₂ x₃0 x₁1 2 0 x₂1 1 1 Somando coordenada a coordenada Tx₁ x₂ x₃ x₁ x₂ 2x₁ x₂ x₂ Também é possível escrever T por uma matriz A usando que as colunas de A são Te₁ Te₂ Te₃ A 1 1 0 2 1 0 0 1 0 Tx Ax Agora verificase que a imagem é exatamente o subespaço pedido Primeiro mostrase ImT spanv₁ v₂ De fato para todo x₁ x₂ x₃ Tx₁ x₂ x₃ x₁v₁ x₂v₂ ou seja toda saída é uma combinação linear de v₁ e v₂ Logo TR³ spanv₁ v₂ Em seguida mostrase spanv₁ v₂ ImT Tome um vetor qualquer do span y av₁ bv₂ a b R Escolhendo x a b 0 obtémse Ta b 0 av₁ bv₂ y Assim todo vetor do span aparece como imagem de algum x então spanv₁ v₂ ImT Juntando as duas inclusões ImT span1 2 0 1 1 1 Uma resposta possível entre infinitas é portanto Tx₁ x₂ x₃ x₁ x₂ 2x₁ x₂ x₂ ou de forma equivalente Te₁ 1 2 0 Te₂ 1 1 1 Te₃ 0 0 0 QUESTÃO 8 Seja P₃R o espaço dos polinômios reais de grau no máximo 3 e P₂R o espaço dos polinômios reais de grau no máximo 2 Procurase uma transformação linear T P₃R P₂R tal que kerT span1 x³ 1 x² Considere um polinômio genérico de P₃R px a bx cx² dx³ A condição px pertence ao subespaço gerado por 1 x3 e 1 x2 significa que existem α β R tais que px α1 x3 β1 x2 Desenvolvendo o lado direito α1 x3 β1 x2 α β 0 x βx2 αx3 Comparando coeficientes com px a bx cx2 dx3 obtémse o sistema a α β b 0 c β d α Das duas últimas equações α d β c Substituindo em a α β a d c a d c a c d 0 Portanto o subespaço span1 x3 1 x2 pode ser descrito também como o conjunto dos polinômios px a bx cx2 dx3 cujos coeficientes satisfazem simultaneamente b 0 a c d 0 A ideia é então definir τ de modo que τp 0 imponha exatamente essas duas condições e que a saída esteja em P2R Para isso definese τa bx cx2 dx3 b a c dx Como b e a c d dependem linearmente de a b c d a aplicação é linear Além disso o valor de τp é um polinômio de grau no máximo 1 logo pertence a P2R como exigido Agora verificase que o núcleo é exatamente o subespaço pedido Se p kerτ então τp 0 como polinômio isto é b a c dx 0 Para um polinômio ser identicamente nulo seus coeficientes devem ser nulos Assim b 0 a c d 0 Da segunda igualdade a d c então px a bx cx2 dx3 d c 0 x cx2 dx3 Reorganizando px d1 x3 c1 x2 Logo p span1 x3 1 x2 Isso mostra que kerτ span1 x3 1 x2 Reciprocamente tome px α1 x3 β1 x2 Expandindo px α β 0 x βx2 αx3 de modo que seus coeficientes são a α β b 0 c β d α Então a c d α β β α 0 e portanto τp b a c dx 0 0 x 0 Logo p kerτ isto é span1 x3 1 x2 kerτ Das duas inclusões kerτ span1 x3 1 x2 Uma resposta válida é portanto a transformação linear definida por τa bx cx2 dx3 b a c dx que de fato satisfaz kerτ 1 x3 1 x2 e tem contradomínio em P2R