Troca de Base e Transformação Linear

Informações importantes Não serão aceitas respostas sem justificativas Cada questão tem um valor de 25 pontos Fazer 4 das 6 questões A nota máxima da avaliação é DEZ Utilizar somente folhas fornecidas pelo professor na resolução Enunciado das questões 1 Considere a transformação T R2 R3 definida por Txy x 2y x x y e as bases A 13 24 e B 111 220 300 Calcule TBA 2 Determinar a transformação no plano dada por uma reflexão em relação à reta y x seguida de um cisalhamento horizontal de fator 2 e uma contração de fator 13 na direção de 0y 3 Sejam v1 x1 y1 e v2 x2 y2 vetores arbitrários de R2 verifique se a função dada por fv1v2 2x1x2 x1y2 x2y1 y1y2 é um produto interno em R2 4 Determinar em relação ao produto interno usual uma base ortonormal para o subespaço do R4 gerado pelos vetores v1 1111 v21124 e v3 1243 5 Considere o espaço tridimensional R3 munido do produto interno usual Dado o subespaço S t 212 t R determine uma base para S Questao 1 Considere a transformacao T R2 R3 definida por Tx y x 2y x x y e as bases A 1 3 2 4 e B 1 1 1 2 2 0 3 0 0 Calcule TB A Passo 1 Aplicacao de T nos vetores da base A Para o vetor 1 3 T1 3 1 2 3 1 1 3 7 1 2 Para o vetor 2 4 T2 4 2 2 4 2 2 4 6 2 6 Passo 2 Escrever os vetores T1 3 e T2 4 como combinacoes lineares dos vetores da base B Para T1 3 7 1 2 7 1 2 c11 1 1 c22 2 0 c33 0 0 Resolvendo o sistema c1 2c2 3c3 7 c1 2c2 1 c1 2 Solucao c1 2 c2 1 2 c3 8 3 Para T2 4 6 2 6 6 2 6 d11 1 1 d22 2 0 d33 0 0 Resolvendo o sistema d1 2d2 3d3 6 d1 2d2 2 d1 6 Solucao d1 6 d2 4 d3 4 3 Passo 3 Matriz de transformacao TB A A matriz TB A e dada pelos vetores c1 c2 c3 e d1 d2 d3 organizados em colunas TB A 2 6 1 2 4 8 3 4 3 Questao 2 Determinar a transformacao no plano dada por 1 Uma reflexao em relacao a reta y x 2 Um cisalhamento horizontal de fator 2 3 Uma contracao de fator 1 3 na direcao do eixo Oy 1 Passo 1 Matriz de reflexão em relação à reta y x A reflexão em relação à reta y x troca as coordenadas x e y A matriz de reflexão é R 0 1 1 0 Passo 2 Matriz de cisalhamento horizontal de fator 2 O cisalhamento horizontal de fator 2 desloca cada ponto horizontalmente em uma quantidade proporcional à sua coordenada y A matriz de cisalhamento é S 1 2 0 1 Passo 3 Matriz de contração na direção do eixo Oy A contração por um fator de 13 na direção do eixo y reduz a coordenada y a um terço de seu valor A matriz de contração é C 1 0 0 13 Passo 4 Composição das transformações A transformação total é dada pela multiplicação das três matrizes na ordem inversa à aplicação das transformações primeiro a reflexão depois o cisalhamento e por último a contração T C S R 2 1 13 0 Questão 3 Sejam v1 x1y1 e v2 x2y2 vetores arbitrários de R2 Verifique se a função dada por fv1v2 2x1x2 x1y2 x2y1 y1y2 é um produto interno em R2 Passo 1 Verificação da Positividade Vamos calcular fvv onde v x1y1 fvv 2x12 x1y1 x1y1 y12 2x12 2x1y1 y12 Reescrevendo fvv x12 x1 y12 Essa expressão é sempre não negativa e fvv 0 apenas quando x1 0 e y1 0 Portanto a função satisfaz a propriedade de positividade Passo 2 Verificação da Simetria Verificamos se fv1v2 fv2v1 fv1v2 2x1x2 x1y2 x2y1 y1y2 fv2v1 2x2x1 x2y1 x1y2 y2y1 Como podemos ver fv1v2 fv2v1 então a simetria é satisfeita Passo 3 Verificação da Linearidade Distribuição Vamos calcular fv1 v2 v3 e comparar com fv1 v3 fv2 v3 Considerando v3 x3 y3 temos v1 v2 x1 x2 y1 y2 Então aplicamos a função f ao vetor v1 v2 e ao vetor v3 fv1 v2 v3 2x1 x2x3 x1 x2y3 y1 y2x3 y1y2 Expandindo fv1 v2 v3 2x1x3 2x2x3 x1y3 x2y3 y1x3 y2x3 y1y3 y2y3 Agora calculamos separadamente fv1 v3 2x1x3 x1y3 y1x3 y1y3 fv2 v3 2x2x3 x2y3 y2x3 y2y3 Somando fv1 v3 fv2 v3 2x1x3 x1y3 y1x3 y1y3 2x2x3 x2y3 y2x3 y2y3 Como as expressões coincidem a função é linear em relação à adição Multiplicação por Escalar Agora consideramos v1 x1 y1 e verificamos fαv1 v2 fαv1 v2 fαx1 αy1 x2y2 fαv1 v2 2αx1x2 αx1y2 x2αy1 αy1y2 fαv1 v2 α2x1x2 x1y2 x2y1 y1y2 fαv1 v2 αfv1 v2 Isso confirma que a função também satisfaz a propriedade de linearidade em relação a um escalar A função fv1 v2 2x1x2 x1y2 x2y1 y1y2 satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um produto interno 1 Positividade definida fvv x12 x1 y12 0 e é zero apenas quando v 0 2 Simetria fv1 v2 fv2 v1 3 Linearidade fv1 v2 v3 fv1 v3 fv2 v3 e fαv1 v2 αfv1 v2 Portanto f é um produto interno no espaço R2 Questão 4 Encontre uma base ortonormal para o subespaço gerado pelos vetores v3 1111 v2 1124 e v21 1243 Usando o processo de ortogonalização de GramSchmidt Passo 1 Normalização do Primeiro Vetor O primeiro vetor u1 é simplesmente o vetor v3 normalizado u1 11² 1² 1² 1² 1111 12 12 12 12 Passo 2 Ortogonalização e Normalização do Segundo Vetor Primeiro projetamos v2 em u1 Proju1v2 v2 u1u1 u1 u1 12 12 2 12 4 1212 12 12 12 u1 41 u1 2 2 2 2 Subtraímos a projeção de v2 em u1 u2 v2 Proju1v2 1 1 2 4 2 2 2 2 1 1 0 2 Agora normalizamos u2 u2 112120222 1 1 0 2 16 1 1 0 2 66 66 0 63 Passo 3 Ortogonalização e Normalização do Terceiro Vetor Primeiro projetamos v2 1 em u1 Proju1v2 1 v2 1 u1u1 u1 u1 12 2 12 4 12 3 121 u1 1 1 1 1 Agora projetamos v2 1 em u2 Proju2v2 1 v2 1 u2u2 u2 u2 1 66 2 66 4 0 3 631 u2 362 66 66 0 63 32 32 0 3 Subtraímos as projeções de v2 1 em u1 e u2 u3 v2 1 Proju1v2 1 Proju2v2 1 1 2 4 3 1 1 1 1 32 32 0 3 12 32 3 1 Finalmente normalizamos u3 u3 1122 322 32 12 12 32 3 1 120 12 32 3 1 210 3210 325 25 Base Ortonormal Completa para o Subespaço A base ortonormal completa para o subespaço é dada por u1 12 12 12 12 u2 66 66 0 63 u3 210 3210 325 25 Questao 5 Determine uma base para o subespaco ortogonal S dado o subespaco S gerado pelo vetor v 2 1 2 no espaco tridimensional R3 Passo 1 Definicao do Subespaco S O subespaco S e gerado pelo vetor v 2 1 2 Qualquer vetor neste subespaco pode ser escrito como um multiplo escalar de v ou seja t 2 1 2 onde t e um escalar real Passo 2 Definicao do Subespaco Ortogonal S O subespaco ortogonal S consiste em todos os vetores w x y z em R3 que sao ortogonais ao vetor v A ortogonalidade e determinada pela condicao v w 0 onde denota o produto interno usual Passo 3 Calculo do Produto Interno O produto interno entre v e w x y z e dado por v w 2x y 2z 0 Esta e a equacao de um plano no espaco tridimensional que define o subespaco ortogonal S Passo 4 Determinacao da Base para S Para encontrar a base de S resolvemos a equacao 2x y 2z 0 expressando y em termos de x e z y 2x 2z Assim qualquer vetor w S pode ser escrito como w x 2x 2z z x1 2 0 z0 2 1 Portanto a base para o subespaco ortogonal S e 1 2 0 0 2 1 5