Exercicios de Algebra Linear

ESAMC Álgebra Linear 1º Semestre de 2024 Roteiro de Trabalho para Avaliação de Alunos em Regime Especial Nome RA Módulo A Matrizes 1 2 3 Módulo B O Produto Escalar 1 2 3 4 a b b a a b 1 Módulo C Equações de Retas e Planos 1 2 a b b a Módulo D Cilindros e Superfícies Quádricas Álgebra Linear Módulo A Matrizes 1 A aij2x2 com aij3ij Logo A 311 312 321 322 2 1 5 4 2 Temos que A 121 122 123 221 222 223 321 322 323 421 422 423 3 5 7 4 6 8 5 7 9 6 8 10 e B 1 1 1 1 4 4 4 4 9 9 9 9 AB 3 5 7 4 6 8 5 7 9 6 8 10 1 1 1 1 4 4 4 4 9 9 9 9 86 86 86 86 100 100 100 100 114 114 114 114 128 128 128 128 C23100 3 XA3 BX3 C X A B X 3C X X B A 3C B A 3C 0 Vamos verificar se isto é verdade B A 3C 1 2 1 0 2 1 3 1 34 1 2 1 9 2 7 4 0 0 0 0 0 Portanto não existe X que satisfaça a equação Módulo B Produto Escalar 1 a Os vetores que representam os lados do triângulo ΔABC são AB B A 6 1 1 2 5 3 5 1 2 BC C B 1 6 2 1 0 5 7 3 5 CA A C 1 1 2 2 3 0 2 4 3 Temos que ABBC ABBCcosB cosB ABBC ABBC Assim podemos usar a fórmula CosB 57 13 25 5² 1² 2² 7² 3² 5² 42 30 83 0841685056 B arcos0841685056 B 33 CosA CAAB CAAB 25 41 32 2²4²3² 5²1²2² 12 29 30 0406838102 Â arcos0406838102 Â 114 Ĉ 180 Â B 180 33 114 Ĉ 33 b Os vetores que representam os lados do triângulo ΔPQR são PQ Q P 2 0 1 1 3 6 2 0 9 QR R Q 5 2 4 1 2 3 3 3 5 RP P R 0 5 1 4 6 2 5 3 4 Temos que cosP RPPQ RPPQ 52 30 43 5² 3² 4² 2² 0² 9² cosP 46 5085 46 4250 0705607789 P arcos0705607789 P 45 cosQ PQQR PQQR 23 03 95 2²0²9² 3² 3² 5² 39 85 43 3655 0645090901 Q arcos0645090901 Q 50 R 180 P Q 180 45 50 R 85 2 a a 23 b 41 A projeção escalar de b sobre a é b1 ab a 24 31 2² 3² 11 13 b1 11 13 e o vetor projeção é proja b b1a a 11 13 23 2² 3² 11 13 23 13 proja b 2213 3313 b a 31 e b 23 A projeção escalar de b sobre a é b1 ab a 32 13 3² 1² 3 10 b1 3 10 e o vetor projeção é proja b b1a a 3 10 31 3² 1² 3 10 31 10 proja b 910 310 3a a 152 e b 4 2 3 Se ab 0 então a e b são ortogonais ab 14 52 23 4 10 6 0 a e b são ortogonais b a 3i j k e b i j 2k Podemos reescrever a 311 e b 112 Assim ab 31 11 12 3 1 2 0 a e b são ortogonais 4 Queremos que 3x 2x e 4 x sejam ortogonais então o produto escalar entre eles deve ser 0 3x 2x 4 x 0 3x4 2xx 0 12x 2x2 0 2x6x 0 x 0 ou x 6 Solução x0 ou x 6 Módulo C Equações de Retas e Planos 1 a 103 0 2 4 e 4 1 6 Sejam A 103 B 0 2 4 e C 416 Temos que se AB x AC 0 então dado P xyz podemos obter a equação do plano que contém AB e C pela fórmula AB AB x AC 0 Produto Misto Temos que AB 0 2 4 103 121 AC 4 1 6 103 3 1 9 AB x AC det i j k 1 2 1 3 1 9 i29 i11 j19 j13 k11 k23 17i 6j 5k 17 6 5 AQ x1 y z3 π x1 y z3 17 6 5 0 17x 17 6y 5z 15 0 17x 6y 5z 32 π 17x 6y 5z 32 b A 2 1 3 B 5 1 4 C 2 2 4 AB 5 1 4 2 1 3 3 2 7 AC 2 2 4 2 1 3 0 3 7 AB x AC det i j k 3 2 7 0 3 7 i27 i73 j37 j0 k33 k20 7i 21j 9k 7 21 9 AQ x2 y1 z3 π x2 y1 z3 7 21 9 0 7x 14 21y 21 9z 27 0 7x 21y 9z 20 π 7x 21y 9z 20 2 Para encontrar o ponto de interseção devemos substituir as coordenadas parametrizadas na equação do plano a x 1 2t y 1 z t 2x y z 5 0 212t 1 t 5 0 2 4t 1 t 5 0 3t 6 t 2 P 1 22 1 2 1 4 1 2 P 3 1 2 b x 1 t y t z 1 t z 1 2x y 1 t 1 21t t 1 t 1 2 2t t 3t 2 t 1 P 1 1 1 1 1 0 1 2 P 0 1 2 Módulo D Cilindros e Superfícies Quadráticas 1 a x y2 z2 Se x k então y2 z2 k representa uma circunferência de centro y0 z0 e raio k com k0 Se yk então x k2 z2 representa uma parábola que possui raiz apenas se k0 Se zk então x y2 k2 representa uma parábola que possui raiz apenas se k0 Portanto temos o seguinte esboço da superfície b 2x2 z2 4 Se xk então 2 x2 z2 4 z2 4 2k2 ou seja k é constante se 4 2k2 0 2 k 2 Se y k então 2x2 z2 4 é uma elipse na forma x22 z24 1 independente do valor de k Se zk então 2x2 k2 4 x2 4k22 ou seja x é constante se 4k2 0 2 k 3 Portanto temos o seguinte esboço da superfície