Quádricas - Exercícios Resolvidos e Identificação de Tipos

1 25 pt Reduza a equação da quádrica x2 y z2 0 que está na forma geral à forma cartesiana Identifique qual é a quádrica obtida paroboloide elipsoide hiperboloide etc e esboce graficamente 2 25 pt Reduza a equação da quádrica 4x2 9y2 36z 0 que está na forma geral à forma cartesiana Identifique qual é a quádrica obtida e esboce graficamente 3 25 pt Obtenha a equação do conjunto de todos os pontos do espaço que são equidistantes do plano π x 2 e do ponto P2 0 0 O conjunto obtido é uma quádrica identifiquea 4 25 pt Determine a equação do conjunto de todos os pontos Px y z tais que a soma das distancias de P aos dois pontos 2 0 0 e 2 0 0 e igual a 6 O conjunto obtido é uma quádrica Qual 1 x2 y z2 0 isolar variável não quadratica y x2 y2 Fórmula parabolóide circular z x2 y2 ou y z2 x2 ou x y2 z2 Então y x2 y2 é parabolóide circular de eixo central y Se y 1 x2 y2 1 círculo Se y 4 x2 y2 22 círculo Assim 2 4x2 9y2 36z 0 Isolar variável não quadrática 36z 4x2 9y2 36 z 4x236 9y236 z x29 y24 z x232 y222 Para bolóide hiperbólico é da forma x1 x22b2 x32a2 com x1 x2 x3 variáveis distintas Então z x232 y222 é parabolóide hiperbólico de eixo central z Se z 1 x232 y222 1 hipérbole com eixox imaginário Se z 1 y222 x232 1 hipérbole do eixo x imaginário Assim Parabola Parabola Tentativa de desenhista π x2 e P2 0 0 Diretriz parábolaide analogo a parábola Seja xyz A um ponto dA P x2² y² z² e dA π x2² Equidistante dA P dA π x2² y² z² x2² x2² y² z² x2² x² 4x 4 y² z² x² 4x 4 8x y² z² x y²8 z²8 Parábolaide círculo do eixo central x 4 se Pxyz e dP 200 dP 200 6 Definição de elipsóide Focos 200 e 200 Centro em 000 Eixo central é X Eixo maior Fórmula x²a² y²b² z²c² 1 e Da elipse dP200 dP200 6 2a a3 No plano z0 x²3² y²b² 1 com F2 a²b² F² 9 b² 4 b² 5 Analogamente se y0 x²3² z²c² 1 com F2 obtem c²5 Logo Elipse da equação x²9 y²5 z²5 1