Prova 3 de Álgebra Linear

Prova de Álgebra Linear\nAluno: Ederson Henrique Pereira Silveira\n\n1º) Verifique que A é que se pede.\na) Se A é ortogonal, então A* é ortogonal.\n\nSolução:\nUma matriz A é ortogonal se e somente se: A*A^t = I.\nPor outro lado, se A é ortogonal sua transposta também é ortogonal.\nAssim (A*)^t = A, portanto, esta prova já implica que a inversa de uma matriz ortogonal também é ortogonal.\n\nb) Se A e B são ortogonais na mesma ordem, então A*B é ortogonal.\n\nSolução:\nSabemos que (A*B)* = B*A*, usando A e B ortogonais, temos:\n(AB)* = B*A* = A*B*, e A*A = I. Portanto, AB é ortogonal.\n\n2º) Seja R = {x, y, z} ∈ R³; x = y - z.\n\nSolução: Determinamos uma base ortonormal de R. \nComo base: (y, z) = {(2,1,0), (3,0,0)} + 0*(0,0,1).\nVerificamos se são LI.\n\n[ a 0 0 ]\n\né igual ao que não é linearmente independente e, portanto, formam uma base de R.\n\nVerificamos se não são ortogonais;\n\n(1, 0, 0)·(0, 0, 1) = 0 + 0 + 0 = 0 (ortogonal)\nVerificamos se são unitários;\n\n< (1, 0, 0) · (1, 0, 0) > = 4 + 0 + 0 = 5 (não é um tátor)\n< (0, 0, 1) · (0, 0, 1) > = 0 + 0 + 1 = (um tátor).\nLogo, não é ortogonal. Vamos transformar sem compromisso em uma base ortonormal atendendo às normalizações.\n\n{ (2, 1, 0) , (1, 0, 0) }\n\n→ W¹ → {(√2)(1/√2)(0), (0, 0, 1)}\n\nagora temos que W¹ é uma base ortonormal de R. b) Completar essa base a uma base ortonormal de R³.\n\nSolução:\nPara completar essa base, vamos adicionar um vetor que esteja fora de (x, y) que são a nova base não ortonormal de R.\nVamos adicionar tanto a iteração 3 - w₃ = { (1, 0, 0) } => computamos W e verificamos que são não ortogonais e limitando logo.\n\nw₁: w₃ = (√2/√5)(10)·(0, 0, 1) = 0 + 0 + 0 (ortogonal)\n\nw₂: w₃ = (√2/√5)(10)·(1, 0, 0) = 2/√3 + 0 + -2/√5 (ortogonal)\n\nw₃: w₁ = (0, 0, 1)·(1, 0, 0) + 0 + 0 + 0 (ortogonal)\n\nAgora vamos verificar se não estivermos;\n\n(√2/√5)(10)(1, 0, 0) + (√2/√5)(10)(4) + 0 + (1/√5) + 0 + (1/√5) + 10 + 5 (não é um tátor).\n\nLogo não é. O padrão se precisou uma normalização al, logo,\n\nw₃ = {(√2/√5)(10), (0, 0, 1), (1/√5), (-2/√5)(10)} \n\né uma base ortonormal de R³. 3º) Verifique que o operador T: ℝ³ → ℝ² dado por T(x, y) = (x² + y, y) é linear e, portanto, isométrrica.\n\nSolução: Um operador T: ℝ³ → ℝ² canoniza uma isometria isto para cada n ∈ ℝ.||T(v)|| = ||v||. Logo\n\n||T(x, y)|| = √{(x² + y)² + y²} = √{(x² + 2xy + y²) = 0} => Real quociente da lei de isometriaít.o.\n\n4º) Se R = {(x,y)} = (y,n = 2x - 2y, 3x - 3y) e a simetria ortogonal S: ℝ² → ℝ² em relação a uma vetor semelhante a matriz dos limões numa base canônica (A).\n\nSolução: Tomar 3x = 2y => 2y = m gorríndo.\n\nFazemos a projeção sobre w pela fórmula: P = (x,y)². P = 2x+ (4x + 6y + 6x + 3y)\n\n(ii) ||(1,1)|| = (1/√3 + 1/√2)² = √{3} = 3. \n\nPara fim, calculamos S: P=(2x + 3y + 2px - 2p(y + 1)).