Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral de Várias Variáveis

Profa Isabel Espinosa MATERIAL COMPLEMENTAR I Cálculo Diferencial e Integral de Várias Variáveis Mais exercícios relacionados às unidades I e II Derivadas parciais 1 Determinar fx e fy isto é derivada de f em relação a y sendo fxy 3x2 x3 y2 Devemos considerar y constante fx Derivadas parciais fxy 3x2 x3 y2 devemos considerar x constante fy Derivadas parciais 2 z y2 ex y fy regra do produto fx fy Derivadas parciais 3 Determinar a taxa de variação de z em relação a t quando t 0 sendo z ln x y x sen t e y cos t Devemos utilizar a regra da cadeia Regra da cadeia d z d t dx dt z y z x dy dt t 0 z ln x y x sen t e y cos t Regra da cadeia z x z y t 0 z ln x y x sen t e y cos t Regra da cadeia d x d t d y d t z ln x y Assim temos Regra da cadeia d x d t cos t d y d t sen t d z d t z x 1 xy z y 1 xy d z d t dx dt z y z x dy dt Para t 0 temos x sen 0 0 e y cos 0 1 Regra da cadeia d z d t 1 x y 1 x y cos t sen t d z d t 4 Calcular as derivadas de 2ª ordem da função fxy x2 y cos xy fxx fx fxy Derivadas de ordem superior fxy x2 y cos xy fyx fy fyy Derivadas de ordem superior INTERVALO 5 Calcular a derivada direcional de f na direção e sentido do ângulo θ 40º sendo fxy 3 x2 2 x y3 no ponto P 11 Versor na direção de θ é dado por u cos θ sen θ Assim u cos 40º sen40º 077 064 Derivada direcional fxy 3 x2 2 x y3 versor u 077 064 P 11 fx fxP fx 11 fy fyP fy 11 f fx fy 6 x2 2 y3 6 x y2 f 11 Derivada direcional fxy 3 x2 2 x y3 versor u 077 064 P 11 f 11 8 6 Du fx0 y0 f x0 y0 u Du f1 1 Du f1 1 232 Derivada direcional 6 Determinar os pontos críticos da função fxy ex cos y Devemos encontrar os pontos que anulam as derivadas parciais de f Máximo e mínimo Calculando as derivadas parciais de fxy ex cos y fx fy Igualando as derivadas a zero temos f não tem ponto crítico Máximo e mínimo ex 0 sen y 0 7 Uma empresa tem a função custo dada por Cxy x3 y2 75 x 16 y 350 Determine o custo mínimo Devemos calcular os pontos críticos Máximo e mínimo Cxy x3 y2 75 x 16 y 350 Pontos críticos Igualando a zero Máximo e mínimo Cx Cy Igualando a zero temos Pontos críticos 5 8 5 8 Máximo e mínimo 3 x2 75 0 2 y 16 0 Calculando as derivadas de 2ª ordem temos Máximo e mínimo Cx 3 x2 75 Cy 2 y 16 Cxx Cyy Cxy Cyx Substituindo em temos Máximo e mínimo Cxxxy Cxyx y Cyxx y Cyyx y 6x 0 0 2 Substituindo 5 8 em temos 58 12 5 60 0 logo 5 8 ponto de sela Substituindo 5 8 em temos 58 12 5 60 0 Cxx 5 8 6 5 30 0 Logo 5 8 é ponto de mínimo Máximo e mínimo Como o ponto é de mínimo teremos o custo mínimo em C58 Cxy x3 y2 75 x 16 y 350 C5 8 53 82 75 5 16 8 350 C5 8 36 Máximo e mínimo ATÉ A PRÓXIMA Profa Isabel Espinosa MATERIAL COMPLEMENTAR II Cálculo Diferencial e Integral de Várias Variáveis 1 Resolver as integrais resolvendo Integral Dupla mesma função agora em y Integral Dupla Integral Dupla Inicialmente devemos calcular a integral em relação a y Integral Dupla ₀¹ x 2ydy x 1 Queremos calcular ₀² ₀¹ x 2ydy dx ₀² x 1 dx ₀² x 1 dx d ₀¹ ₀π2 xsenxy dy dx Queremos calcular ₀π2 ₀¹ xsenxy dy dx 1 π2 Integral Dupla com R xy 0 x 2 1 y 3 Escolhendo a ordem de integração ou Vamos calcular Inicialmente Integral Dupla 4x y dx 8y ²₀ 4x y dx 8y INTERVALO 2 Sendo D a região limitada pelas funções g1 x 3x e g2 x x 2 calcule a integral determinando os pontos em comum Integral Dupla Esboçar o gráfico da região D e verificar se é do tipo 1 ou 2 g1 x 3x e g2 x x 2 são retas região tipo 1 Integral Dupla 0 1 x y 3 2 g2x x 2 g1x 3x D Assim D 4 6y dA ᵇₐ g₂x g₁x fxy dy dx Calculando a integral em relação a y Integral Dupla Queremos calcular Assim Integral Dupla 3 Determine por integração dupla a área da região no plano xy limitada pelas curvas y x2 e y x2 4x Representação da região gráficos e pontos comuns Integral Dupla Igualando as funções y x2 e y x2 4x x2 x2 4 x Integral Dupla Graficamente Integral Dupla y x2 y x2 4x 0 2 4 x y 4 Integral Dupla Queremos calcular Assim Integral Dupla INTERVALO 4 Verificar se é solução da equação Arrumando a expressão assim y x y Equação diferencial Função a ser testada Derivada primeira ordem y substituindo na equação Equação diferencial Substituindo na equação y x y vem logo é solução da equação Equação diferencial 5 Determinar a solução da equação diferencial y x senx Devemos separar as variáveis Equação diferencial Calculando a integral dos dois lados de dy x senx dx Equação diferencial Voltando à expressão original solução Equação diferencial 6 Resolver a equação de variáveis separáveis com condição inicial y 2 x y 3 y y0 2 Devemos separar as variáveis Equação diferencial Integrando os dois lados eliminando o logaritmo Equação diferencial exponencial nos dois lados solução geral falta determinar k Equação diferencial Condição inicial y0 2 substituindo na solução geral solução particular Equação diferencial ATÉ A PRÓXIMA